machtsverzameling

[Shadow]

Hay,

Ik heb mijn vraag uitgeschreven:

[attachment=19191:WP_20150707_10_34_10_Pro.jpg

WP_20150707_10_34_56_Pro 1209 keer bekeken

b.v.d.!:)

[Math-E-Mad-X]

wanneer misschien wel geldt

\(f(x_1, x_2,x_3,x_4) = B\)

 
Nee, dit kan niet, want f is per definitie een afbeelding van A naar P(A). Dat wil zeggen dat f maar één argument kan hebben, maar dat dat argument door f kan worden afgebeeld op een verzameling van elementen van A.
Bijvoorbeeld:

\(f(x) = \{x_1, x_2,x_3,x_4\} = B\)

voor één of ander element x in A.

[Math-E-Mad-X]

Hoe kan het dat je maar één element invult in een formule, en daar vervolgens een complete verzameling uit krijgt?

 
De afbeelding f is gewoon zo gedefinieerd. Stel bijvoorbeeld

\(A = \{1, 2,3 \}.\)

Dan kunnen we de afbeelding f bijvoorbeeld definieren als:

\(f(1) = \{1,2,3\}\)

\(f(2) = \{2\}\)

\(f(3) = \{2,3\}\)

(dit is slechts een willekeurig voorbeeld, je kunt voor f ook een hele hoop andere definities verzinnen)
 
Het heeft niet zoveel zin om te vragen hoe het kan dat f zo gedefinieerd is, want ik heb het gewoon zo gekozen, omdat ik dat wil.
Overigens kun je f beter niet een formule noemen, maar een afbeelding. Een formule is slechts een bepaalde manier om een afbeelding op te schrijven.

[Shadow]

Ik heb ondertussen wel 6 bewijzen van deze Cantor stelling bekeken, en het kwartje wíl maar niet vallen, dus...
 
1)
OK, ik snap het voorbeeld, maar even voor de zekerheid: stel je hebt f:S->P(S) gegeven door f(x)=x²?
Klopt het dat alle deelverzamelingen afzonderlijk van P(S), waarvoor een x in S is, maar uit één element bestaan? 
 
2)
Ik vind die verzameling B een beetje vreemd. B bestaat uit de elementen in A, die geen deelverzameling zijn van A? Dat is toch onzinnig?
 
Zou je dan ook zoiets - voor een andere situatie - kunnen maken:
B= {x in A|x niet in A}
 
Zo vat ik het op... ik kan mijn verwarring niet echt naar wiskundige termen vertalen, maar ik heb het gevoel dat er een contradictie in de verzameling zelf zit... Het is niet de lege verzameling, want dan wordt het per definitie geen lege verzameling meer, en vice versa...
 
Begrijp je wat ik bedoel?
 
3)
Ik heb trouwens nog een vraag:
[attachment=19227:Cantor's Theorem.png]
Waarom staat er:
T=f(a)
en niet:
f(A)=T?
Of anders f(a) is een element in T?
 
4)
In een ander voorbeeld hanteren ze de volgende notatie:

Cantor2 1209 keer bekeken

Hier schrijven ze dat a [g]een element is van f(a).
Bedoelen ze dan met f(a) de complete functie, oftewel het domein, het codomein en de grafiek?
Oftewel, ze bedoelen: a is geen element van f:A->B met f(a)={a}?
En hadden ze niet evengoed kunnen schrijven {a} is een element van f(a)?
 
Ik heb hier nu echt uren aan gezeten, en om de een of andere reden lukt het me gewoon niet om het te snappen. Dus ik heb maar al deze vragen uitgetypt, misschien blijkt uit een van die vier vragen wel waar ik nou eigenlijk bij vastloop...
 
Trouwens die vragen over notaties stel ik niet uit luiheid, ik kan de notaties uit het dictaat waar ik uit lees wel volgen, maar op het internet raak ik door de war, althans, bij deze opgave...

[Math-E-Mad-X]

Ik denk dat je verwarring deels komt doordat je niet voldoende onderscheid maakt tussen de begrippen 'element' en 'deelverzameling'.
 
Bijvoorbeeld, 3 is een element uit de verzameling

\(\mathbb{R} \)

 Terwijl {3} een deelverzameling van 

\(\mathbb{R} \)

is die slechts één element bevat, namelijk het getal 3.
Oftewel: 3 is niet hetzelfde als {3}
 
Ook belangrijk is om je te beseffen dat je ook een verzameling van verzamelingen kunt hebben. Bijvoorbeeld:
X = { {1,2,3} ,  {5} , {1} , {1000, 5, 33} }
 
Hier is X een verzameling van 4 elementen, namelijk:   {1,2,3} ,  {5} , {1}  en  {1000, 5, 33}
Echter, de elementen van X zijn zelf ook weer verzamelingen. Het element {1,2,3} bijvoorbeeld is zelf weer een verzameling die 3 elementen bevat, namelijk: 1, 2 en 3.

 
OK, ik snap het voorbeeld, maar even voor de zekerheid: stel je hebt f:S->P(S) gegeven door f(x)=x²?
 

 
Nee, de functie

\(f(x) = x^2\)

is een functie van S naar S, want

\(x^2\)

is geen deelverzameling, maar een element van S
 
Je zou wel de functie

\(f(x) = \{x^2\}\)

Kunnen definieren. In dat geval wordt ieder element x afgebeeld op een deelverzameling van S die precies één element bevat. Dat element is dan het getal

\(x^2\)

[Math-E-Mad-X]

 
2)
Ik vind die verzameling B een beetje vreemd. B bestaat uit de elementen in A, die geen deelverzameling zijn van A? 
 

 
Nee B bestaat uit de elementen x van A die niet in f(x) zitten.
 
Bijvoorbeeld, A = {1,2,3,4}
f(1) = {1,2,3}
f(2) = {2}
f(3)= {2,3}
f(4) = {5}
 
In dit geval geldt:  

\(1 \in f(1),\quad 2 \in f(2)\)

en 

\(3 \in f(3)\)

, maar er geldt niet  

\(4 \in f(4)\)

 
Dus we hebben: B = {1,2,3}

[Math-E-Mad-X]

 
3)
Waarom staat er:
T=f(a)
en niet:
f(A)=T?
Of anders f(a) is een element in T?
 

 
f is gedefinieerd als een functie van S naar P(S). Dat wil zeggen dat f(a) een deelverzameling van S is, en niet een element van S.
 
Als f gedefinieerd was als een functie van S naar S, dan inderdaad zou f(a) een element van S zijn.

[Math-E-Mad-X]

 
Bedoelen ze dan met f(a) de complete functie, oftewel het domein, het codomein en de grafiek?
 

 
Met f(a) bedoelen ze de verzameling waar a op wordt afgebeeld.
Bijvoorbeeld als we weer de functie nemen die ik in post #6 definieerde:
 
als a = 1  dan is f(a) de verzameling {1,2,3}
als a = 2  dan is f(a) de verzameling {2}
als a = 3  dan is f(a) de verzameling {2,3}
als a = 4 dan is f(a) de verzameling {5}

En hadden ze niet evengoed kunnen schrijven {a} is een element van f(a)?

 
Nee, want zoals ik hierboven uitlegde: a is niet hetzelfde als {a}
 
Je kunt wel zeggen "a is een element van f(a)", of je kunt zeggen "{a} is een deelverzameling van f(a)". Die twee uitspraken betekenen exact hetzelfde.

[Shadow]

So, poehoe, eindelijk, ik begin een aantal dingen door te krijgen! Awesome, bedankt voor je hulp!, maar ik heb nog wel een paar vragen:
 

Nee, de functie

\(f(x) = x^2\)

is een functie van S naar S, want

\(x^2\)

is geen deelverzameling, maar een element van S
 
Je zou wel de functie

\(f(x) = \{x^2\}\)

Kunnen definieren. In dat geval wordt ieder element x afgebeeld op een deelverzameling van S die precies één element bevat. Dat element is dan het getal

\(x^2\)

 
OK, dat snap ik: x² is geen element van P(S), maar {x²} wel. Wat zou je x² van P(S) wel kunnen noemen? Een element van een element? Of is daar geen term voor?
 

 
Nee B bestaat uit de elementen x van A die niet in f(x) zitten.
 
Bijvoorbeeld, A = {1,2,3,4}
f(1) = {1,2,3}
f(2) = {2}
f(3)= {2,3}
f(4) = {5}
 
In dit geval geldt:  

\(1 \in f(1),\quad 2 \in f(2)\)

en 

\(3 \in f(3)\)

, maar er geldt niet  

\(4 \in f(4)\)

 
Dus we hebben: B = {1,2,3}

 
Huh?, ik zou dan denken dat B = {4}...
 
Btw, in het geval dat het codomein (dat je niet expliciet hebt vermeld) de machtsverzameling van A is, geldt toch dat f(4) niet gedefinieerd is? En klopt het dat B (zowel in jouw voorbeeld als in mijn voorbeeld) de lege verzameling is, aangezien geldt dat het codomein waar A op wordt afgebeeld de machtsverzameling van A is? 
 
Kun je het ook zo verwoorden:
B bestaat uit de elementen x van A, die geen element zijn in de deelverzamelingen van A, waarop x wordt afgebeeld? Als het klopt dat dit een lege verzameling is, is het dan zo dat voor dit bewijs [in zijn algemeenheid] gewoon een verzameling gevonden moet worden, waarvoor geen x te vinden is?
 
Zou je dan ook niet kunnen zeggen:
 
C= {x in A: x<2 en x>3}
 
In het geval van een surjectie kom je hier ook uit op een tegenspraak.

[Math-E-Mad-X]

Wat zou je x² van P(S) wel kunnen noemen? Een element van een element? Of is daar geen term voor?
 

 
Euh, nee, daar is voor zover ik weet geen naam voor.

Huh?, ik zou dan denken dat B = {4}...
 

 
Oeps, sorry, je hebt gelijk, B is natuurlijk {4}

Btw, in het geval dat het codomein (dat je niet expliciet hebt vermeld) de machtsverzameling van A is, geldt toch dat f(4) niet gedefinieerd is? 
 

 
Huh? Deze redenering snap ik niet. Als het beeld van f de machtsverzameling van A is, dan wil dat zeggen dat f(4) een deelverzameling van A is. Ik snap niet hoe je er bij komt dat f(4) niet gedefinieerd zou zijn.
 
Bovendien geeft mijn voorbeeld heb ik f expliciet zodanig gekozen dat f(4) de verzameling {5} is. Dan is f(4) dus juist wel gedefinieerd.

 
En klopt het dat B (zowel in jouw voorbeeld als in mijn voorbeeld) de lege verzameling is,

 
Nee, de lege verzameling is de unieke verzameling met 0 elementen. B is {4} dus B bevat juist wel een element, namelijk het getal 4.
 
De lege verzameling wordt normaal gesproken aangegeven met

\(\emptyset\)

maar zou je ook gewoon met { } aan kunnen geven.
 
de verzameling {88, 7,  503} heeft 3 elementen
de verzameling {88, 7} heeft 2 elementen
de verzameling {88} heeft 1 element
de verzameling { } heeft 0 elementen (en is dus de lege verzameling).

Laat ik het voorbeeld van hierboven even zodanig aanpassen dat f(4) = {4}. Het voorbeeld wordt dan:
 
A = {1,2,3,4}
f(1) = {1,2,3}
f(2) = {2}
f(3)= {2,3}
f(4) = {4}
 
Nu geldt voor iedere x in A dat

\( x \in f(x).\)

En dus geldt nu wel dat B de lege verzameling is.

 
Kun je het ook zo verwoorden:
B bestaat uit de elementen x van A, die geen element zijn in de deelverzamelingen deelverzameling van A, waarop x wordt afgebeeld? 

 
Ja, dit klopt, alleen heb ik er enkelvoud van gemaakt, want iedere x wordt op precies 1 deelverzameling van A afgebeeld.

[Math-E-Mad-X]

 
 Als het klopt dat dit een lege verzameling is, is het dan zo dat voor dit bewijs [in zijn algemeenheid] gewoon een verzameling gevonden moet worden, waarvoor geen x te vinden is?
 

 
Het gaat erom dat je onafhankelijk van welke f je kiest, je altijd een deelverzameling S van A kan vinden zodanig dat er geen enkele x is waarvoor geldt f(x) = S

 
Zou je dan ook niet kunnen zeggen:
 
C= {x in A: x<2 en x>3}
 
In het geval van een surjectie kom je hier ook uit op een tegenspraak.
 

 
De verzameling C die je hier definieert is gewoon de lege verzameling. Maar hiermee heb je nog niks bewezen want je kunt best een functie verzinnen die x afbeeldt op de lege verzameling. Bijvoorbeeld:
 
A = {1}
f(1) = { } 

[Shadow]

Huh? Deze redenering snap ik niet. Als het beeld van f de machtsverzameling van A is, dan wil dat zeggen dat f(4) een deelverzameling van A is. Ik snap niet hoe je er bij komt dat f(4) niet gedefinieerd zou zijn.
 
Bovendien geeft mijn voorbeeld heb ik f expliciet zodanig gekozen dat f(4) de verzameling {5} is. Dan is f(4) dus juist wel gedefinieerd.
 
Nee, de lege verzameling is de unieke verzameling met 0 elementen. B is {4} dus B bevat juist wel een element, namelijk het getal 4.
 

 
Mijn redenering: 5 is geen deelverzameling van A en zit dus niet in het codomein... daarom is f(4) niet gedefinieerd. (Ik ga er vanuit dat het codomein de machtsverzameling van het domein is, omdat dat ook zo in de opgave gedaan wordt)
 
 

 
Het gaat erom dat je onafhankelijk van welke f je kiest, je altijd een deelverzameling S van A kan vinden zodanig dat er geen enkele x is waarvoor geldt f(x) = S
 

 
Oké, ik begrijp de opgave nu wel. Je hebt de verzameing B gedefinieerd als de deelverzameling van A, waarvoor geldt dat een x in B geen element is in het bijbehorende beeld (dat een deelverzameling is van A). Aangezien f surjectief is, zou er een x te vinden moeten zijn voor verzameling B, die een element is van het codomein. Die x zit of wel of niet in B. Als die wel in B zit, dan is x een element in f(x), maar dan kan die niet in B zitten volgens de definitie. Als x niet in B zit, dan is x ook geen element van f(x), maar dan zit ie juist wel in B.
 
We hebben dus een deelverzameling gevonden waarvoor je geen origineel kunt vinden.
 
Bedankt voor al je hulp, Math-E-Mad-X! Sorry dat ik zo laat reageer...
 
Fijne dag nog!

[Math-E-Mad-X]

Niets te danken!