Limiet van deze functie?

[gallo]

Middag,

 
Onderwerp is hoe de volgende functie zich gedraagt:
 
0,9 ^ 180

0,99 ^ 1800

0,999 ^ 18000

0,9999 ^ 180000

…

Wanneer ik de sommen in m’n iphone invoer lijkt het dat de antwoorden steeds kleiner zijn dan 1,6 * 10-8 en daar steeds dichter naar naderen. Totdat ik een som invoer met negen 9s. dan is het antwoord ineens weer 0,11. Vermoedelijk een gebrek van m’n iphone.  
 
De functie wordt in formulevorm volgens mij gegeven door:
 

\(\left (1-\frac{1}{10^{x}\right) }^{18*10^{x}}\)

 
Vraag die nu speelt is: klopt het dat 1,6 * 10-8 de limiet is van deze functie? En dat de functie ook convergent is naar die 1,6 (dus dat antwoorden steeds dichter bij komen te liggen). Is dat ook logisch en valt dat aan te tonen of te bewijzen, behalve dan door simpelweg de antwoorden te berekenen?

Bij voorbaat dank!

[Th.B]

De limiet is e^-18, waarbij e het getal van Euler is. Die limiet is ongeveer 1.52 * 10^-8.

[gallo]

Aan de hand van die limiet is het kinderlijk eenvoudig aan te tonen dat er dan een bepaald getal bestaat vanaf waar het vermoeden van goldbach voor elk even nummer groter dan dat getal geldig is (d.w.z.: dat ieder even nummer groter dan dat getal precies tussen 2 priemgetallen ligt).

Ik gok dat er op soortgelijke manier dan ook voor de oneven getallen zo’n getal zal bestaan.
 
Heeft het zin om dit getal te berekenen of is dit reeds al eens aangetoond?

[Th.B]

Nou, hoe zie je dat voor je dan? Ik ben benieuwd, zo'n lemma ken ik niet.

[Demophilus]

Aan de hand van die limiet is het kinderlijk eenvoudig aan te tonen dat er dan een bepaald getal bestaat vanaf waar het vermoeden van goldbach voor elk even nummer groter dan dat getal geldig is (d.w.z.: dat ieder even nummer groter dan dat getal precies tussen 2 priemgetallen ligt).

Ik gok dat er op soortgelijke manier dan ook voor de oneven getallen zo’n getal zal bestaan.

 
Heeft het zin om dit getal te berekenen of is dit reeds al eens aangetoond?

Is het vermoeden van goldbach niet dat voor elk even hetal groter dan 2 dit valt te schrijven als de som van twee priemgetallen? Ook is dit een onopgelost probleem naar mijn weten.

Maar als ik het verkeerd heb of je bedoelt iets anders dan mag je mij wel eens uitleggen wat precies tussen twee priemgetallen ligt betekent?

[Th.B]

Hij bedoelt waarschijnlijk dat dat even getal dan het gemiddelde is van twee priemgetallen, waarmee het vermoeden van Goldbach aangetoond zou zijn voor alle viervouden. Als je dan ook laat zien dat ieder oneven getal het gemiddelde van twee priemgetallen is, heb je Goldbach bewezen voor alle getallen congruent aan 2 modulo 4 en in combinatie met eerstgenoemde heb je dus Goldbach bewezen.
 
Maar nogmaals, hoe dat met deze limiet in verband staat zie ik even niet.

[descheleschilder]

 
Een even getal ligt soms wel (11 en 17) en soms niet (11 en 19) precies tussen twee priemgetallen en de bewering dat een even getal precies tussen twee priemgetallen in ligt is inderdaad niet het vermoeden van Goldbach. En ook al zou dat vanaf een zeker getal wél zo zijn dan is dat inderdaad niet het vermoeden van Goldbach, dat zegt dat elk even getal de som van twee priemgetallen is. Ik vermoed wel dat alle ``grote`` even getallen precies tussen twee priemgetallen liggen (als je links en rechts van die even getallen op de getallenlijn steeds 1,3,5,7, etc. omlaag, respectievelijk omhoog gaat, kom je vast wel op een gegeven moment twee priemgetallen tegen), net zoals ik vermoed dat alle oneven getallen die ``groot`` genoeg zijn precies tussen twee priemgetallen liggen (als je links en rechts van die oneven getallen op de getallenlijn steeds 2,4,6,8, etc. omlaag respectievelijk...), maar ik zie ook niet in hoe het eerste vermoeden m.b.v. die limiet bewezen kan worden, laat staan het tweede.

[Th.B]

Zie mijn vorige post, als je aantoont dat alle getallen het gemiddelde zijn van twee priemgetallen, is dat hetzelfde als het vermoeden van Goldbach.

[EvilBro]

Een even getal ligt soms wel (11 en 17) en soms niet (11 en 19) precies tussen twee priemgetallen...

Kun je een even getal geven dat niet precies tussen twee priemgetallen ligt?
4 ligt precies tussen 3 en 5.
6 ligt precies tussen 5 en 7.
8 ligt precies tussen 5 en 11.
10 ligt precies tussen 7 en 13.
12 ligt precies tussen 11 en 13.
14 ligt precies tussen 11 en 17.
16 ligt precies tussen 13 en 19.
18 ligt precies tussen 17 en 19.
enz.

[Demophilus]

Een even getal ligt soms wel (11 en 17) en soms niet (11 en 19) precies tussen twee priemgetallen en de bewering dat een even getal precies tussen twee priemgetallen in ligt is inderdaad niet het vermoeden van Goldbach. En ook al zou dat vanaf een zeker getal wél zo zijn dan is dat inderdaad niet het vermoeden van Goldbach, dat zegt dat elk even getal de som van twee priemgetallen is. Ik vermoed wel dat alle ``grote`` even getallen precies tussen twee priemgetallen liggen (als je links en rechts van die even getallen op de getallenlijn steeds 1,3,5,7, etc. omlaag, respectievelijk omhoog gaat, kom je vast wel op een gegeven moment twee priemgetallen tegen), net zoals ik vermoed dat alle oneven getallen die ``groot`` genoeg zijn precies tussen twee priemgetallen liggen (als je links en rechts van die oneven getallen op de getallenlijn steeds 2,4,6,8, etc. omlaag respectievelijk...), maar ik zie ook niet in hoe het eerste vermoeden m.b.v. die limiet bewezen kan worden, laat staan het tweede.

Je vergist je volgens mij, zoals Th.B zei als elk even getal het gemiddelde is van twee priemgetallen dan geldt goldbach voor alle veelvouden van vier.

Je voorbeeld is dan ook verkeerd, een even getal ligt (waarschijnlijk) altijd tussen twee priemgetallen maar tussen twee priemgetallen ligt uiteraard niet altijd een even getal. Je voorbeeld toont enkel het laatste aan.

[gallo]

Nou, hoe zie je dat voor je dan? Ik ben benieuwd, zo'n lemma ken ik niet.

Ik was te snel, het klopt niet (uiteraard) en het heeft me heel de dag gekost om erachter te komen waar de fout zat. Conclusie is in ieder geval dat (1,52 * 10^-8) ^x keer 10^xnatuurlijk nooit groter kan worden dan 1  
 
Desalniettemin nog bedankt voor je antwoord.

[Th.B]

Jammer, geen probleem

[descheleschilder]

 
 

[descheleschilder]

 
Allereerst mijn excuses aan Demophilus. Wat ik schreef sloeg inderdaad nergens op (een even getal hoeft o.a. niet precies tussen twee niet priemgetallen te liggen).
Wat als we alle niet priemgetallen opschrijven als
 
9, 15, 21, 27 etc,
15, 25, 35, 45 etc.
21, 35, 49, 63, etc.
  .
  .
etc.
 
Stel we nemen het getal 16. Dat ligt tussen 7 en 17, 11 en 17, 13 en 17. Het grootste getal is niet van zoveel belang. Het getal 7 voldoet niet aan de voorwaarde daar het ander getal dan 9 is hetgeen geen priemgetal is. De ander twee getallen voldoen wel (11 en 5). Maar bij nader inzien zie ik dat dit hetzelfde is als het vermoeden zelf, daar je dan vermoedt dat alle getallen die bij het complement van het kleinste priemgetal horen, zoals 5 bij 11 (om tot de even som te komen), ook priemgetallen zijn.
                          

[EvilBro]

Ik heb niet het gevoel dat aan deze laatste post een touw vast te knopen is...

Allereerst mijn excuses aan Demophilus. Wat ik schreef sloeg inderdaad nergens op

Oke, goed begin en tot hier toe duidelijk.

(een even getal hoeft o.a. niet precies tussen twee niet priemgetallen te liggen).

Voor elk even getal bestaan er tenminste twee getallen die geen priemgetallen zijn zodat het eerste even getal precies tussen deze twee laatste getallen ligt.
2 ligt precies tussen 0 en 4.
4 ligt precies tussen 2 en 6.
6 ligt precies tussen 4 en 8.
enz.
Kortom: Wat beweer je nou? Deze vraag geldt ook voor de rest van je post, want het wordt er naarmate je verder leest niet beter op. Kun je verduidelijken wat je aan het doen bent?