rijtje symbolen (vb.: MIIU...)

[Shadow]

Hay,
 

Rijtjes symbolen 724 keer bekeken

 
Mijn vermoeden is nee, aangezien [ik denk dat] een macht van twee niet als een drievoud geschreven kan worden. Als dit inderdaad de juiste redenatie is, vraag ik me af hoe ik dat kan aantonen?
 
Ik heb een 'idee', maar dat is meer intuïtief:
 
- Een drievoud kun je schrijven als 3k (met k een geheel, positief getal), een macht van twee als 2(x2x2...)* (oké, dat is niet zo netjes, maar ik kan even niks beters verzinnen).
- Als we ervan uitgaan dat een macht van twee wel een drievoud kan zijn, dan moeten we een n en een k kunnen vinden waarvoor geldt 2ⁿ = 3k. Als k even is, dan kun je daar een twee uithalen ** (ook niet zo'n nette verwoording denk ik, maar ik weet het gewoon niet), en dit kun je blijven herhalen totdat je een oneven getal overhoudt. Als k oneven is, ga direct door naar de volgende stap, waarbij k=k'.
- Je krijgt dan iets in de vorm van: 2x2x...x3k' ***. (met k' het oneven getal dat overblijft waaruit zoveel mogelijk 2'en zijn gehaald - nogmaals, excuses:p). Je ziet nu dus dat 3k' gelijk moet zijn aan een tweedemacht, en dat kan niet want 3k' is oneven en een tweedemacht is even.
 
Klopt dit? (Zo ja,) wat is een nette/handige/correcte notatie voor *, **, ***?

[Demophilus]

- Een drievoud kun je schrijven als 3k (met k een geheel, positief getal), een macht van twee als 2(x2x2...)* (oké, dat is niet zo netjes, maar ik kan even niks beters verzinnen).

Wat is er mis met 2ⁿ (zoals je verder hier gebruikt)? Verder vind ik er persoonlijk niks mis mee, zolang je achter de puntjes nog eens een twee erbij zet dus: 2x2x2x...x2. Zo is het duidelijker dat je maar een eindig aantal keren vermenigvuldigt.
 

- Als we ervan uitgaan dat een macht van twee wel een drievoud kan zijn, dan moeten we een n en een k kunnen vinden waarvoor geldt 2ⁿ = 3k. Als k even is, dan kun je daar een twee uithalen ** (ook niet zo'n nette verwoording denk ik, maar ik weet het gewoon niet)

 
Waarom probeer je het niet te redeneren vanuit dat 2ⁿ niet deelbaar kan zijn door drie?

[Shadow]

Oke:
 
- 2⁰= 1 (is niet deelbaar door 3).
- 2ⁿ⁺¹ is te schrijven als 2x2ⁿ. Aannemen dat 2ⁿ niet deelbaar is door 3. De vraag die nu van belang is: is een product van twee factoren, die beide niet deelbaar zijn door 3, ook niet deelbaar door 3?
 
Nou, ja dus, want:
 
- Stel je hebt pq, met p= 3m + 1 v p= 3m + 2 (met m een geheel getal)) en q= 3n + 1 v q= 3n + 2 (voor n hetzelfde als m)
- Dan geldt voor de mogelijke producten van p en q:
(3m + 1)(3n + 1)= 9mn + 3m + 3n + 1= 3(3mn + m + n) + 1
(3m + 1)(3n + 2)= 3(3mn + 2m + n) + 2
(3m + 2)(3n + 1)= 3(3mn + m + 2n) + 2
(3m + 2)(3n + 2)= 3(3mn + 2n + 2m) + 4= 3(3mn + 2n + 2m + 1) + 1
 
Conclusie: voor alle n geldt dat 2ⁿ niet deelbaar is door 3.
 
Dus.

[Shadow]

Oh trouwens, de reden dat ik die notatie niet mooi vond, is omdat het lijkt als 2, 2x2, 2x2x2 er niet bijhoren... Ik zocht naar een productnotatie die 2ⁿ voor zowel een kleine als een grote n representeert.

[Demophilus]

Dat is ook niet meteen het meest elegante bewijs.
Ben je bekend met het lemma van Euclides?
Dat geeft je eigenlijk het precieze resultaat dat je hier nodig hebt, als je interesse hebt zoek je het maar eens op.
 

Oh trouwens, de reden dat ik die notatie niet mooi vond, is omdat het lijkt als 2, 2x2, 2x2x2 er niet bijhoren... Ik zocht naar een productnotatie die 2ⁿ voor zowel een kleine als een grote n representeert.

Wat vind je bijvoorbeeld hiervan:

\(\underbrace{2 \cdot 2 \ldots \cdot 2}_\text{n keer} \)

[Th.B]

Okay, dus 2ⁿ is geen drievoud. Hoe maak je het bewijs nu af?

[Shadow]

Okay, dus 2ⁿ is geen drievoud. Hoe maak je het bewijs nu af?

 

Misschien iets in de trant van:
 
Om van MI naar MU te gaan, zal in ieder geval de I verwijderd moeten worden en een U toegevoegd. Het mag duidelijk zijn dat de I niet kan verdwijnen, aangezien de regel voor het weglaten van I's stelt dat deze in een veelvoud van 3 moeten voorkomen. Een rij van I's kan nooit een veelvoud zijn van 3, omdat de rij zelf groeit gelijk een tweedemacht, 2ⁿ.
 
Het antwoord op de vraag is dus nee.
 

Dat is ook niet meteen het meest elegante bewijs.
Ben je bekend met het lemma van Euclides?
Dat geeft je eigenlijk het precieze resultaat dat je hier nodig hebt, als je interesse hebt zoek je het maar eens op.
 
Wat vind je bijvoorbeeld hiervan:

\(\underbrace{2 \cdot 2 \ldots \cdot 2}_\text{n keer} \)

Zal ik naar kijken en ik kom er op terug.
 
En:
 
Door 'n keer' toe te voegen verander je niet de visuele weergave van de productnotatie, dus dit is voor mij geen beter alternatief. Aangezien ik zelf zo 1-2-3 niks anders kan bedenken, houd ik het (voorlopig) op de notatie zonder accolade. Bedankt voor het meedenken

[Th.B]

Ja, da's bijna goed. Je mist alleen nog 1 stukje (naar mijn mening dan) want je mag ook bijvoorbeeld ook van 8 naar 5 I's gaan volgens regel 3. Als je daarna weer verder gaat volgens die tweemachten, krijg je 5 x 2 x 2 x .... en je kan zo bijvoorbeeld ook van 10 naar 7 gaan, of van 40 naar 37. Hoe zit dat precies, en waarom werkt het dan alsnog niet?

[Shadow]

We weten dat elke tweedemachtswortel niet deelbaar is door drie, dus te schrijven is als 3n+1 of 3n+2. Wanneer je van een dergelijk getal drievouden afhaalt, houd je nog steeds een getal dat niet deelbaar is door drie over; n verandert in m (geheel getal uiteraard). We krijgen een situatie die al gedekt is: als we dit getal vermenigvuldigen met machten van twee, hebben we weer te maken met een product waarvan beide factoren niet deelbaar zijn door drie.

[Th.B]

Yess top!

[EvilBro]

Ik zou het zo doen. Ik ben benieuwd of men er problemen in ziet.

Ik noem \(i_n\) het aantals I's in het rijtje na de n-de stap. Voor de vier mogelijke regels geldt het volgende:

\(1.\ i_{n+1} = i_n\)

\(2.\ i_{n+1} = 2 \cdot i_n \)

\(3.\ i_{n+1} = i_n - 3\)

\(4.\ i_{n+1} = i_n\)

Nu kijk ik naar deze regels 'modula 3'. Hierbij is alleen de tweede regel interessant (bij de overige regels blijft de waarde hetzelfde). Er zijn drie mogelijkheden.

\(i_n = 0 \mod 3 \rightarrow i_{n+1} = 0 \mod 3\)

\(i_n = 1 \mod 3 \rightarrow i_{n+1} = 2 \mod 3\)

\(i_n = 2 \mod 3 \rightarrow i_{n+1} = 1 \mod 3\)

Hieruit volgt dat je vanaf een situatie \(i_n = 1 \mod 3\) of \(i_n = 2 \mod 3\) alleen bij situaties kan komen die of \(i_m = 1 \mod 3\) of \(i_m = 2 \mod 3\) hebben. Combineer dit met dat je begint met \(i_0 = 1 (\mod 3)[/tex] en moet eindigen met [itex]i_n = 0\). Dit kan dus niet.

[Th.B]

Da's eigenlijk gewoon hetzelfde als wat we hier besproken hebben, maar misschien is het voor TS nuttig om te zien hoe je zo'n bewijs beknopt en duidelijk noteert

[Shadow]

Dat ziet er een stuk netter en overzichtelijker uit, ja=P Bedankt, dat was wel nuttig voor me.