Volledig elastische botsing in 2D

[Mafkees]

[attachment=19888:elastische botsing van puntmassa's in 2d.jpg]
 
Ik heb even ter verduidelijking van het probleem 'n simpele illustratie gemaakt in Paint.
Het spreekt redelijk voor zich denk ik, maar even voor de duidelijkheid, het linkerplaatje is vóór de botsing, het middelste tijdens en het rechtse na.
En de x-as is positief naar rechts en de y-as is positief naar boven.
Gegeven zijn twee puntmassa's met massa m1 en m2 en snelheidsvectoren v1 en v2 die respectievelijk 'n hoek van α en β maken tov de x-as.
Het gaat om 'n volledig elastische botsing in twee dimensies.
Gevraagd wordt om v1', α', v2' en β' uit te drukken in termen van v1, v2, α en β.
Nou weet ik dat je de wet van behoud van impuls toe kunt passen.
Dit leidt tot twee vegelijkingen:
 
In de x-richting: m1 * v1,x * cos α + m2 * v2,x * cos β = m1 * v1,x' * cos α' + m2 * v2,x' * cos β'
In de y-richting: -m1 * v1,y * sin α + m2 * v2,y * sin β = m1 * v1,y' * sin α' - m2 * v2,y' * sin β'
 
En omdat 't 'n volledig elastische botsing betreft, kun je dus ook de wet van behoud van energie toepassen voor de kinetische energie.
 
Dus dan krijg je: .5 * m1 * v1^2 + .5 * m2 * v2^2 = .5 * m1 * v1'^2 + .5 * m2 * v2'^2
 
Maar dan heb je dus 3 vegelijkingen met 4 onbekenden. Ik heb wel 's ooit gezien dat je 't trucje toe kunt passen dat je net doet alsof tijdens de botsing 't andere deeltje 'n muur is, waardoor er dan 1 of meer onbekenden wegvallen. Maar ik snap niet onder welke hoek je die muur dan moet tekenen. En kun je dan gewoon gebruiken dat de hoek van inval de hoek van terugkaatsing is? Dat voelt nl nogal contra-intuïtief voor mij. Want dan zou 't dus niets uitmaken onder welke hoek de deeltjes elkaar raken of met welke speed of met welk massaverschil.

[jkien]

Gezien de twee oplossingen in Wikipedia (klik) lijkt het me eleganter om het hoekvrij, in vectorvorm, aan te pakken.

[Safe]

Klopt helemaal, je zal dus nog een gegeven nodig hebben ...

[jkien]

Dus naast θ₁ en θ₂ is er een derde hoek, de contacthoek φ, die aangeeft hoe de ballen elkaar raken. Dat is hier uitgewerkt: http://williamecraver.wix.com/elastic-equations

[physicalattraction]

Er kan alleen impulsverandering in een van beide bollen optreden loodrecht op het contactoppervlak. In dit geval kan er dus alleen impuls overgedragen worden in de y-richting. De ene vergelijking voor impulsbehoud in de x-richting, kun je daarom opschrijven als twee individuele vergelijkingen met impulsbehoud per bol in de x-richting. Je hebt dan vier vergelijkingen.
 
In het algemeen zal het contactoppervlak niet evenwijdig aan de x- of y-richting liggen. Het principe van impulsoverdracht in slechts een richting blijft dan bestaan, maar is moeilijker uit te rekenen. Je kunt bijvoorbeeld eerst de coördinaten roteren, zodat het contactoppervlak wel evenwijdig aan de x- of y-richting ligt.