Als (2^n)-1 priemgetal is, dan is n een priemgetal

[Uomo Universale]

Gegeven is volgende stelling:
 
"Als

\(2^n - 1\)

een priemgetal is, dan is n een priemgetal."
 
Ik zou dit graag willen bewijzen via de contrapositieve:
 
"Als n een samengesteld getal is, dan is  

\(2^n - 1\)

ook samengesteld."
 
Als n samengesteld is, dan betekent dit dat:

\(\exists a, b \epsilon N_{{0,1}}: n = ab\)

(Wat zijn de notaties voor verzamelingen natuurlijke, gehele, reële, etc. getallen in LaTeX?)
 
Dan is 

\(2^n - 1 = 2^{ab} - 1\)

 
 
Indien dit een goed begin zou zijn, dan weet ik niet goed hoe het hier verder moet. Ik zou dit graag op een zo elementair mogelijke manier willen bewijzen (indien mogelijk). Iemand enige suggesties?
 
 
Alvast bedankt!
 
 

[Benm]

Je moet wel oppassen met de term 'priemgetal', neem bijvoorbeeld 2^11. Decimaal gerekend is 11 een priemgetal, maar 2^11-1 is een samengesteld getal. Zelfde geldt bijvoorbeeld voor 23 en 29.

De contrapositieve lijkt me gemakkelijker te bewijzen, 2^(ab) - 1 is te factoreren, al is het vast een heidens karwei.

[317070]

Gegeven is volgende stelling:
 
"Als

\(2^n - 1\)

een priemgetal is, dan is n een priemgetal."
 
Ik zou dit graag willen bewijzen via de contrapositieve:
 
"Als n een samengesteld getal is, dan is  

\(2^n - 1\)

ook samengesteld."
 
Als n samengesteld is, dan betekent dit dat:

\(\exists a, b \epsilon N_{{0,1}}: n = ab\)

(Wat zijn de notaties voor verzamelingen natuurlijke, gehele, reële, etc. getallen in LaTeX?)
 
Dan is 

\(2^n - 1 = 2^{ab} - 1\)

 
 
Indien dit een goed begin zou zijn, dan weet ik niet goed hoe het hier verder moet. Ik zou dit graag op een zo elementair mogelijke manier willen bewijzen (indien mogelijk). Iemand enige suggesties?
 
 
Alvast bedankt!
 
 

\(2^n - 1 = 2^{ab} - 1 = (2^a)^b - 1 = (2^a - 1) ((2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + (2^a)^{b-3} + \cdots + 1 )\)

 
Dus als n samengesteld is, is 

\(2^n - 1\)

dat ook. Let wel: enkel als

\(2^a > 1\)

!