Rollend balletje van helling - een bedenking

[Professor Puntje]

Dit topic deed mij bedenken dat er iets vreemds is met de gebruikelijke benadering.

Als het balletje gaat rollen krijgt het een impulsmoment, maar wegens de wet op het behoud van impulsmoment moet er dan iets anders een tegengesteld impulsmoment krijgen. Is dat de aarde? En valt de baan van het balletje dan nog wel uit te rekenen? Laten we daarbij uitgaan van het geïdealiseerde geval dat de aarde met daarop het hellende vlak aanvankelijk (voordat het balletje begint te rollen) nog niet draait.

[Michel Uphoff]

Als je zo ver achter de komma wilt gaan rekenen, en een presieze uitkomst wil, dan zal je waarschijnlijk ook rekening moeten houden met de door hoogteverlies toenemende zwaartekrachtsgradiënt.

De aarde zal idd onmeetbaar weinig de tegenovergestelde kant op roteren.

Als je het precies wilt weten, kan ik wel even een modelletje opzetten, maar dan met een helling van 1000km hoog en de Maan ipv een balletje. Dan krijgen we ten minste echt betekenisvolle resultaten.

[Professor Puntje]

Er zijn twee zaken die mij interesseren:
 
1. Verdwijnt er zo een noemenswaardige (rotatie)energie richting aarde. Je hebt namelijk weliswaar een minuscule rotatie van de aarde maar deze wordt gecombineerd met de gigantische massa van de aarde.
 
2. Blijft de zaak wel - in principe - berekenbaar, waarbij de feitelijk uitkomst dan verder niet zo zeer ter zake doet.

[Michel Uphoff]

In principe ja. Die stilstaande Aarde zal berekenbaar gaan roteren. Kan je met de klassieke mechanica prima berekenen. Enige waar ik bij twijfel, is de juistheid van zo'n sommetje als er waarden onder Planckschalen komen.

[Professor Puntje]

Er zijn situaties waarbij de klassieke mechanica onbepaalde uitkomsten geeft. Ik weet niet of dat hier zo is, maar het is niet a priori uitgesloten.
 
Verder zal je op basis van het massamiddelpunt van het geheel vermoedelijk al een en ander kunnen zeggen...?

[Professor Puntje]

Stel:

 
Het balletje heeft straal r, massa m, traagheidsmoment I_b en (onder aan het hellende vlak) eindhoeksnelheid ω_b.

 
De aarde (inclusief hellend vlakje) heeft straal R, massa M, traagheidsmoment I_a en eindhoeksnelheid ω_a (bij een aanvankelijk veronderstelde stilstand).

 
Voor de traagheidsmomenten vinden we dan:

 

\( \mbox{I}_b = \frac{2}{5} . \mbox{m} . \mbox{r}^2 \)

 
en (bij benadering):

 

\( \mbox{I}_a = \frac{2}{5} . \mbox{M} . \mbox{R}^2 \)

 

 
Verder geldt voor het impulsmoment:

 

\( \vec{L} = \mbox{I} . \vec{\omega} \)

 
Behoud van impulsmoment geeft dan:

 

\( \mbox{I}_b . \omega_b \, + \, \mbox{I}_a . \omega_a \, = \, 0 \)

 

\( \mbox{I}_b . \omega_b \, = \, - \mbox{I}_a . \omega_a \)

 

\( \mbox{I}_b^2 . \omega_b^2 \, = \, \mbox{I}_a^2 . \omega_a^2 \)

 

\( \frac{\omega_a^2}{\omega_b^2} = \frac{\mbox{I}_b^2}{\mbox{I}_a^2} \)

 

\( \frac{\frac{1}{2} \mbox{I}_a . \omega_a^2}{\frac{1}{2} \mbox{I}_b . \omega_b^2} = \frac{\mbox{I}_b}{\mbox{I}_a} \)

 

 
Voor de energie van rotatie geldt:

 

\( \mbox{E}_{rot} = \frac{1}{2} . \mbox{I} . \omega^2 \)

 
Zodat we voor de verhouding van de kinetische rotatie-energie van de aarde en het balletje vinden:

 

\( \frac{(\mbox{E}_{rot})_a}{(\mbox{E}_{rot})_b} = \frac{\mbox{I}_b}{\mbox{I}_a} \)

 

\( \frac{(\mbox{E}_{rot})_a}{(\mbox{E}_{rot})_b} = \frac{\frac{2}{5} . \mbox{m} . \mbox{r}^2}{\frac{2}{5} . \mbox{M} . \mbox{R}^2} \)

 

\( \frac{(\mbox{E}_{rot})_a}{(\mbox{E}_{rot})_b} = \frac{\mbox{m} . \mbox{r}^2}{\mbox{M} . \mbox{R}^2} \)

 
Dus verwaarloosbaar klein.

[Professor Puntje]

In principe ja. Die stilstaande Aarde zal berekenbaar gaan roteren. Kan je met de klassieke mechanica prima berekenen. Enige waar ik bij twijfel, is de juistheid van zo'n sommetje als er waarden onder Planckschalen komen.

 
Kan een dergelijke opzet als hier niet omgekeerd gebruikt worden om de twijfelachtigheid van Planck-schalen aan te tonen. Belangrijke behoudswetten raken in het gedrang wanneer er bijvoorbeeld een minimaal zinvolle afstand zou bestaan.

[Michel Uphoff]

Hoe het precies zit met behoudswetten op de Planck schaal is m.i. een niet opgelost vraagstuk. We komen dan immers in het domein van de kwantumgravitatie.
 
Ik heb een artikeltje gevonden dat onder meer hierover gaat:

0406276

(183.35 KiB) 180 keer gedownload

 

One of the most fascinating and central questions for contemporary physics is what is the symmetry of the low energy limit of quantum gravity. This question is especially interesting once it has been appreciated that Planck scale effects may be observable.
...
There may also be Planck scale corrections to the conservation laws for energy and momentum and to the transformation properties of particles under spacetime symmetries. Among the possible experimental windows to Planck scale effects are the spectrum of ultra high energy cosmic rays, and a possible Planck scale dependence of the speed of light with energy, observable in near future observations of gamma ray bursts.

[Professor Puntje]

Hoe het precies zit met behoudswetten op de Planck schaal is m.i. een niet opgelost vraagstuk. We komen dan immers in het domein van de kwantumgravitatie.
 
Ik heb een artikeltje gevonden dat onder meer hierover gaat: 0406276.pdf
 

 
Helaas gaat mij dat ver boven de pet. Wel leuk om te weten dat eraan gewerkt wordt.