[natuurkunde] kinetische energie

[piet4ever]

Beste lezer, 
 
Na het lezen van de algemene regels heb ik het idee dat ik deze vraag hier moet stellen en niet bij huiswerk. Ik loop tegen iets aan bij het bepalen van de kinetische energie van een onderdeel. De opgave staat in het plaatje:
 

opgave 470 keer bekeken

 
Het betreft een puntmassa, met massa m, die frictieloos beweegt in een sleuf waarin een veer is bevestigd. De schijf heeft een constante hoeksnelheid (omega). Over de schijf zijn verder geen details opgegeven. De enige gegeneraliseerde coördinaat is de verlenging van de veer. Ik moet onder andere de kinetische energie bepalen. Ik heb tot nu toe het volgende:
 
Rotatie van de puntmassa ten opzichte van de oorsprong: De straal is sqrt(u^2+a^2). Gebruik makend van: de snelheid is gelijk aan de hoeksnelheid maal de straal en van 0,5*m*v^2 geeft: 0,5*m*(u^2+a^2)*omega^2 
 
De puntmassa kan ook een translatie ondergaan: Dit geeft 0,5*m*(u')^2.
 
Volgens mij komt de totale kinetische energie uit op:  0,5*m*(u^2+a^2)*omega^2  +  0,5*m*(u')^2
 
Het boek geeft dit antwoord plus nog een term die ik niet kan plaatsen: m*a*omega*(u'). 
 
Ik ziet niet waar deze term vandaan komt. Wie kan mij helpen? 
 
Groet,
Piet
 
 
 
 
 
 
 

[Michel Uphoff]

De straal is conform Pythagoras √(u²+a²). 

Bij verplaatsing van de massa wijzigt alleen u, na verplaatsing moet r dan √((u+u')²+a²) zijn.
Waarbij u' een negatieve waarde krijgt als de verplaatsing richting rotatiecentrum is.

De omtreksnelheid is dan √((u+u')²+a²).ω

En de energie 0,5m.(√((u+u')²+a²).ω)²

Te vereenvoudigen tot: E_k = 0,5m.((u+u')²+a²).ω²

 

Ik zie ook niet hoe dat boek aan die extra term komt.

[Professor Puntje]

Als je te maken hebt met twee loodrecht op elkaar staande snelheidscomponenten kun je wegens Pythagoras voor de totale kinetische energie de afzonderlijke voor die snelheidscomponenten berekende kinetische energieën bij elkaar optellen. Immers:
 
1/2 . m . v²  = 1/2 . m . (v_x² + v_y²) = 1/2 . m .v_x²  +  1/2 . m . v_y² .
 
Maar hier staan de momentane rotatiesnelheid en de momentane translatiesnelheid (in de sleuf) niet loodrecht op elkaar.

[Professor Puntje]

twee-snelheden 463 keer bekeken

 
Ziehier de twee snelheden:
 
v_r = de rotatiesnelheid
 
v_s = de sleufsnelheid.

[Professor Puntje]

\( v^2 \, = \, (v_s + v_ r . \cos \alpha)^2 \, + \, (v_r . \sin \alpha)^2 \)

 

\( v^2 \, = \, v_s^2 + 2 . v_ s . v_r . \cos \alpha + v_ r^2 . \cos^2 \alpha + v_ r^2 . sin^2 \alpha \)

 

\( v^2 \, = \, v_s^2 + 2 . v_ s . v_r . \cos \alpha + v_r^2 \)

 
Met:
 

\( \alpha = \arctan \left (\frac{u}{a} \right ) \)

 
Zodat:
 

\( \cos \alpha \, = \, \frac{1}{\sqrt{1 + (u/a)^2}} \)

 
Dus:
 

\( v^2 \, = \, v_s^2 + \frac{2 . v_ s . v_r}{\sqrt{ 1 + (u/a)^2}} + v_r^2 \)

 

\( v^2 \, = \, v_s^2 + \frac{2 . a . v_ s . v_r}{\sqrt{ a^2 + u^2}} + v_r^2 \)

 
 
Verder hebben we:
 

\( v_ s = \dot{u} \)

 

\( v_r = \Omega . \sqrt{a^2 + u^2} \)

 
 
Invullen geeft:
 

\( v^2 \, = \, \dot{u}^2 + 2 . a . \dot{u} . \Omega + \Omega^2 . (a^2 + u^2) \)