Voorbeeldexamen hogere wiskunde 2 deel 1: bewijs ivm eigenvectoren

[Brent Smits]

Heyyy allemaal =)
 
Ik was de bewijzen aan het uitwerken die we moeten kennen voor ons examen hogere wiskunde 2 (richting handelsingenieur unief) en er was eentje waar ik een beetje mee vastliep. Na wat online zoeken kwam ik op een document uit wat een voorbeeldexamen is van echt alles wat we moeten kennen (hoe bizar ) en het stond op dit forum. Het bewijs stond er ook in gevraagd met enkele tussenstapjes maar ik kom niet verder bij een bepaalde stap.
 
Wat er gevraagd wordt: Als MX = X, waarbij X = (x1,x2,...,xn) (een eigenvector dus) dan geldt er dat (|x1|,...,|xn|) ook een eigenvector is bij de eigenwaarde 1. 
 
Wat is er nu gegeven in het voorbeeldexamen:
 

eigenvector1 676 keer bekeken

 
Hetgeen ik heb tot nu toe (gebruik makende van het gegeven op het examen: 
 

eigenvector2 676 keer bekeken

 
En daarna zit ik vast =(
 
Mocht iemand weten hoe het verder moet, dan zou het fijn zijn om duidelijk uit te leggen waarom je volgende stap doet en niet zomaar met symbolen gaan gooien die dan weer niet begrijpbaar zijn
 
Nog een bijkomende vraag: heeft iemand van dit voorbeeldexamen de oplossing?
De link naar het voorbeeldexamen: 

Voorbeeldexamen

(118.65 KiB) 332 keer gedownload

 
Alvast bedankt

[descheleschilder]

Ten eerste: welkom op dit forum!
Klopt het als ik zeg dat M een diagonaal matrix is? Misschien zelfs een eenheidsmatrix? Voor zo´n matrix lijkt mij toch te gelden dat MX=X (λ=1).

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

TIP: afbeeldingen gehost op externe filehosts hebben de neiging over enige tijd ontoegankelijk te worden, wat de waarde van een topic voor de toekomst ernstig aantast.
 
We willen iedereen dan ook vriendelijk verzoeken om verklarende afbeeldingen rechtstreeks als bijlage in het bericht in te voegen. Dat is trouwens niet meer werk dan uploaden naar tinypic of imageshack etc. Een eenvoudige handleiding daarvoor is beschikbaar.

[Th.B]

Waarom denk jij dat die som over de m_ij per se 1 is? Bovendien lijk je ook bij die driehoeksongelijkheid aan te nemen dat ze positief zijn. Gebruik je daar een stelling of iets dergelijks?

[Brent Smits]

Oja dat was misschien niet duidelijk, het gaat weldegelijk over stochastische matrices (eigenschap hiervan is dat elke m_ij > 0 (geen idee of het hier uitmaakt of het >= 0 moet zijn of gewoon >) en dan is het ook zo dat de som van de elementen van een kolom altijd gelijk is aan 1. 
Hopelijk kunnen jullie nu verder
 
Verder excuses Jan van de Velde, eerste keer op dit forum en ik heb geen idee hoe je dit nu hebt gedaan O.o dus maar toch sorry. 
Nog een bijkomende eigenschap (hiervan zijn talloze bewijzen te vinden) is dat een stochastische matrix dat er een eigenwaarde is die 1 is. Alle andere eigenwaarden zijn in absolute waarde kleiner of gelijk aan 1. 
 
Als er nog iets nodig is dan vraag gerust =)

[Brent Smits]

Ik kan wel nog iets toevoegen =)
Als je mijn laatste stap (sommeren over i) weglaat, dan zie je dat uit hetgeen boven die stap staat, dat de eigenwaarden na verder uitwerken groter of gelijk zijn aan 1. Er is gegeven dat eigenwaarde is 1, vandaar dus dat je die sommatie met de gelijk aan en groter aan moet opsplitsen. Enerzijds is er het geval waarbij geldt dat eigenwaarde = 1 (en dan is absolute waarde xi gelijk aan de sommatie) anderzijds is eigenwaarde > 1 (kan niet tegenstrijdig want gegeven dat eigenwaarde = 1) dus deze situatie moeten we niet meer beschouwen.
 
Wat er dan nog staat is dat de absolute waarde van de som van de elementen gelijk moet zijn aan de som van de absolute waarden.
Dit kan enkel en alleen maar als die xi allemaal hetzelfde teken hebben (want m_ij is > 0 (zie vorige post hiervoor) en dus moet xi ofwel allemaal positief zijn ofwel allemaal negatief.
Als xi > 0 : dan is inderdaad xi = absolute waarde xi en dat is wat we zochten
als xi <0: dan is xi = - absolute waarde xi en dat klopt ook want een eigenvector heeft oneindig veel mogelijke oplossingen. (Als de eigenvector gelijk is aan t,-t, dan is een mogelijke oplossing 1, -1 maar ok 500,-500 is een oplossing) dus als we deze eigenvector maal -1 doen krijgen we inderdaad ook weer dat xi = absolute waarden xi en dat is wat we zochten
Bewijs is af.
 
Nu vraag ik me af waarom mijn laatste stap niet kan en ook hoe het bewijs zoals in het voorbeeldexamen verder afloopt? Misschien dat iemand dit nu wel inziet door deze bovenstaande uitleg? =)

[EvilBro]

Uit de laatste regel van jouw bewijs in de eerste post volgt dat het 'kleiner-gelijk-teken' een 'gelijk aan'-teken is.

[Brent Smits]

Dat is inderdaad logisch. Maar hoe ga ik dan verder? En daarmee bedoel ik symbolisch want de uitleg is nog steeds dezelfde over de som van de absolute waarden en de absolute waarde van de som =) 
Dus hoe kan ik dit uitschrijven gebruik makende van sommatie tekens en of andere wiskunde symbolen of is dit gewoon overbodig als de uitleg correct is die erna volgt?

[Th.B]

Doordat die twee sommaties aan elkaar gelijk zijn, volgt dat de gelijkheid in het begin van de laatste regel een gelijkheid is. Dat kun je niet echt fraai in symbolen zetten, ook in een net bewijs zou je zoiets gewoon in woorden moeten uitleggen.
Omdat die ongelijkheid een gelijkheid is, moet wel gelden dat voor alle i, de ongelijkheden rechts in de derde regel van onder allemaal gelijkheden zijn. Daarmee is de propositie bewezen.

[Jan van de Velde]

 
Verder excuses Jan van de Velde, eerste keer op dit forum en ik heb geen idee hoe je dit nu hebt gedaan 
 

excuses niet nodig
ik heb je linkjes bezocht, screenhotjes ervan gemaakt, opgeslagen en vervolgens geüpload als bijlagen naar jouw topicstart. Conciërgewerk zoals wij moderatoren dat wel vaker doen   .
Zoals gezegd, zie de eenvoudige handleiding waarheen ik verwees als je nog een paar afbeeldingen wilt uploaden in een volgend bericht. 

[Brent Smits]

Ok bedankt =) Dan is het dus in orde.
 
Allemaal nog veel succes verder en fijne feestdagen