Uniek zijn van Nash oplossingen "bargaining problem"

[bartimore]

Beste forumleden, 
 
ik maak nu voor het vak "decision theory" een verslag over het "onderhandelingsprobleem".
Wat me opviel toen ik keek naar het bewijs van Nash zijn oplossingsfunctie (http://www2.econ.iastate.edu/classes/econ618/Volij/Nash.pdf)
is dat deze functie van het bargaining problem verwijst naar een UNIEK element in S. 
Echter, als je deze functie bekijkt: arg max (s1-d1)(s2-d2) lijkt het heel goed mogelijk dat er een S te vinden is waarvoor deze "functie" meer oplossingen geeft?
 
Stel dat twee partijen onderhandelen om 1 euro en dat deze partijen dezelfde utilityfunctie hebben: u1(x)= exp(x^2) en dus u2(x)=exp( [1-x]^2). In het geval waarin (d1,d2) = (1,1) omdat u1(0)=1. Nu lijkt voor deze u de oplossingsfunctie twee maxima te geven?
Dit lijkt in strijd met het axioma symmetrie dat stelt dat voor gelijke utility functies de uitkomst in de vorm (a,a) zou moeten zijn. (0,5;0,5) in dit geval.
 
Ik weet niet goed onder welk onderwerp ik deze vraag moet neerzetten, omdat ik not niet goed bekend ben met het wiskunde forum.
 
Bij voorbaat dank.

[Th.B]

In de aanname van Nash moet de 'feasible set' (dus de verzameling van alle mogelijke utilities voor de beide spelers) onder anderen convex zijn. Dat is hij in jouw geval niet. Meer formeel: de verzameling S (deelverzameling van R²) gedefinieerd door:
(x,y) in S als er a, b in R bestaan met x = u1(a), y = u2(b) en a+b < 1
is niet convex (zie bijv. Wikipedia voor een definitie van convex, maak een plaatje in Matlab om het te zien).
 
Nog maar een edit: misschien is het zelfs zo dat als je u1 gelijk kiest aan u2 en ze beiden strikt convex zijn (als functies) de bovenstaande S (als verzameling) dat zeker niet is.