Bewijs ln(0<x<1) = negatief

[anusthesist]

Beetje arbitraire vraag, I know, maar ik was wat aan het spelen met de natuurlijke logaritme en toen viel mij op dat voor alle x = 0<x<1, de uitkomst negatief is. Bij x=0 is het 'undefined' of 'nadert min oneindig' afhankelijk van hoe je ertegenaan kijkt en bij x=1 bekom je 0 als uitkomst.

Nu vroeg ik me af:

Hoe bewijs is dat ln(0<x<1) een negatief getal geeft als resultaat?

Alvast dank

[Shadow]

Ik studeer geen wiskunde en ik weet niet of er een mooi bewijs is hiervoor, maar je kunt het gewoon 'zien':
 
x^0 = 1
Dus ln(1)= 0.
ln(x)=2 -> x= e^2
ln(x)=-2 -> x= e^-2
 
En wat doet een minteken in de macht?

[anusthesist]

Minteken in de macht is gelijk aan x=1/e²

Maar hierdoor valt het kwartje nog niet

[Back2Basics]

Het zit gewoon in de definitie van logaritmen (bron: wikipedia):
"De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen."
Daarbij geldt dat het 'bepaalde getal' groter moet zijn dan 0.
 
Vaak schrijft men  .
Ik geef er de voorkeur aan om enkele letters in te wisselen, en ik krijg dan: ^glog(u)=m  <=> g^m=u, waarbij g het grondtal voorstelt, m de macht, en u de uitkomst: grondtal g tot de macht m is uitkomst u. Leerlingen laat ik het woord "g-u-m" onthouden.
 
Dus als je gaat kijken wanneer je een negatieve macht m (of q) krijgt, wanneer je deze bewerking uitvoert, dan kan dat alleen indien de uitkomst u (of x) tussen 0 en 1 ligt.
 

[anusthesist]

Die definitie wordt een beetje een cirkelredenering...

Er moet toch een wiskundig bewijs zijn dan waarom die definitie klopt?

Ik stel op prijs dat iedereen meedenkt, maar ik ben echt op zoek naar een wiskundig bewijs en geen definitie dat 'het gewoon zo is'.

[Professor Puntje]

Mogelijk dat een bewijs uit het ongerijmde werkt?
 
Overigens moet je wel van de een of andere definitie uitgaan want anders betekent de term 'natuurlijke logaritme' niet eens iets.
 
Ik zal eens kijken of ik wat in elkaar kan sleutelen...

[Professor Puntje]

Het zit gewoon in de definitie van logaritmen (bron: wikipedia):

"De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen."

Daarbij geldt dat het 'bepaalde getal' groter moet zijn dan 0.

 

Vaak schrijft men  .

 
Ik geef er de voorkeur aan om enkele letters in te wisselen, en ik krijg dan: ^glog(u)=m  <=> g^m=u, waarbij g het grondtal voorstelt, m de macht, en u de uitkomst: grondtal g tot de macht m is uitkomst u.

 

Daar gaan we vanuit. Bij het grondtal e heet ^elog(x) de natuurlijke logaritme of neperse logaritme van x, ook wel geschreven als " ln(x) ". (De Briggse logaritme is de logaritme met grondtal 10.)

We bewijzen eerst dat ln(x) voor 0<x<1 niet 0 kan zijn. Als ln(x) wel 0 zou zijn, zou er moeten gelden dat: e⁰ = x. Maar e⁰ = 1, dus zouden we hebben: x=1 in strijd met het uitgangspunt dat 0<x<1. Dus kan ln(x) voor 0<x<1 niet 0 zijn.

 

We gaan opnieuw uit van 0<x<1. Stel dat ln(q) nu voor een q uit (0,1) een positieve uitkomst p zou hebben. Dan zouden we hebben dat e^p = q < 1. Maar we weten (en kunnen ook in de zogeheten analyse bewijzen) dat geldt e^p > 1 voor positieve p. Dus zou er moeten gelden dat:  1 < e^p < 1, hetgeen een ongerijmdheid is. Bijgevolg kan het niet zo zijn dat ln(q) voor een q uit (0,1) een positieve uitkomst p heeft. Dus is ln(x) voor 0<x<1 niet-positief.

 

Combinatie van bovenstaande resultaten geeft dat ln(x) voor 0<x<1 negatief is.

[anusthesist]

Dank prof, dat klinkt logisch en is te volgen!

[Shadow]

Omg, bewijs uit het ongerijmde hiervoor?

Zoals ik al zei, ik ken geen bewijs, maar dat heb je ook niet echt nodig voor het algemene begrip. Dus het minteken in de exponent zegt je dat je het getal met de exponent onder de deelstreep moet doen. Elke breuk met 1 in de teller is een getal tussen 0 en 1 (0 nadert ie). Dat is gewoon je uitleg.

[Shadow]

Oh, nog ff een nuance: dit geldt voor grondtal e (en grondtallen groter dan 1). Bij grondtallen tussen 0 en 1 is het andersom. Dit kun je op dezelfde manier beredeneren. Ik neem dan 1/2 als voorbeeld.

(Ik voel me een beetje schuldig omdat ik het allemaal niet netjes weet, maar ik had zoiets van, ik leg dit regelmatig uit aan vwo-leerlingen, en als dit gewoon helder is en je er toch verder niet veel mee wilt, dan is een uiterst net wiskundig bewijs niet eens zo nodig. Ik zoek vanavond wel een megakort bewijs hiervan, want een bewijs uit het ongerijmde lijkt me overbodig).

[Professor Puntje]

Omg, bewijs uit het ongerijmde hiervoor?

Zoals ik al zei, ik ken geen bewijs, maar dat heb je ook niet echt nodig voor het algemene begrip. Dus het minteken in de exponent zegt je dat je het getal met de exponent onder de deelstreep moet doen. Elke breuk met 1 in de teller is een getal tussen 0 en 1 (0 nadert ie). Dat is gewoon je uitleg.

 

Voor het gewone rekenwerk heb je mijn aanpak inderdaad niet nodig, en daarom zal je die op school ook niet snel aantreffen. Maar wanneer je echte wiskunde wil leren kom je met plaatjes en op goed vertrouwen aangenomen rekenregels niet meer uit. Strikt genomen is mijn bewijs ook nog niet eens rigoureus genoeg want ik heb niet bewezen dat de gebruikte definitie van de logaritme deugt. Wie zegt mij dat er inderdaad voor iedere positieve x precies één exponent q bestaat zodat x = e^q ? En om dat te bewijzen zou ik eigenlijk eerst nog een theorie van het reële getal moeten uitwerken...

 

[Shadow]

Ja klopt, ik ben het met je eens. Ik heb er nu alweer spijt van dat ik heb gereageerd, want ik had gewoon mijn mond moeten houden. Never mind dus.

[Professor Puntje]

Ik studeer(de) ook geen wiskunde, maar ik heb er een hekel aan dingen op gezag aan te nemen. En dan rol je van het een in het ander. Een prachtig oud boek waarin het allemaal wordt uitgelegd is:
 
http://www.worldcat.org/title/getalbegrip-in-het-bijzonder-het-onmeetbare-getal-met-toepassingen-op-de-algebra-de-differentiaal-en-de-integraalrekening/oclc/8406504

[tempelier]

Analytisch gaat het vrij snel:
 
f(x)=ln x (x>0)
f(1)=0
f'(x)=1/x>0  als x>0
dus f is stijgend als (x>0)

[Professor Puntje]

Het is maar net hoeveel theorie je bij het bewijs bekend mag veronderstellen.