√4 = -2?

[Vinnie Terranova]

Misschien een heel gekke vraag, maar waarom is

\(\sqrt{4} = 2\)

en niet

\(\sqrt{4} = -2\)

? Immers,

\(4 = 2\cdot 2\)

, maar ook

\(4= -2\cdot -2\)

.
Daarom zou je dus kunnen beredeneren:

\(\sqrt{4} = \sqrt{-2 \cdot -2} = -2\)

. Of is er in het verleden een afspraak gemaakt, dat de wortel van een natuurlijk getal altijd positief is?
 
P.S. op de een of andere manier is de uitlijning van m'n bericht niet helemaal lekker...? Ligt dat misschien aan latex?

[Benm]

Compleet valide vraag, en sqrt(4) heeft gewoon 2 oplossingen, nl +2 en -2.

Normaliter gebruikt men het positieve getal, maar daar is verder geen enkele steekhoudende reden toe. Als je gevraagd wordt om in een rekentoets oid de vierkantswortel van 9 te geven mag je -3 antwoorden. Dit geldt uiteraard niet alleen voor vierkwantswortels/kwadraten maar voor alle even machtsverheffingen.

[Math-E-Mad-X]

Compleet valide vraag, en sqrt(4) heeft gewoon 2 oplossingen, nl +2 en -2.

 
Nee, dit klopt niet.
 
Je bent in de war met  "de vergelijking x^2 = 4 heeft 2 oplossingen". Dat is wel een correcte uitspraak.
 
De uitdrukking sqrt(4) heeft maar 1 waarde en dat is 2. De reden daarvoor is dat de vierkantswortel een functie is, en een functie per definitie maar 1 waarde kan retourneren. 
 
Natuurlijk zou je de definitie kunnen veranderen zodanig dat een functie wel meerdere waarden kan geven, maar dan moet je de hele wiskunde overhoop gaan halen. 
 
En er is weldegelijk een goede reden waarom men voor deze definitie heeft gekozen. Stel dat ik zeg : "jij bent mij sqrt(4) euro schuldig" dan moet het wel duidelijk zijn of ik daarmee 2 euro bedoel of -2 euro. Dankzij de definitie dat een functie maar 1 waarde kan hebben zijn dit soort uitspraken ondubbelzinnig. 
 
Merk verder ook het verschil op tussen een functie en een vergelijking. De vierkantswortel is een functie en daarom is een uitspraak als  "sqrt(4) heeft als oplossing.." sowieso een onzinnige uitspraak. Een functie heeft geen oplossingen. Een functie heeft, voor ieder geldig argument, een waarde.  Een vergelijking daarentegen heeft geen waarden, maar wel oplossingen.

 Als je gevraagd wordt om in een rekentoets oid de vierkantswortel van 9 te geven mag je -3 antwoorden. 

 
Als jouw docent dat goedkeurt dan heb je een hele slechte docent.

[klazon]

Het zal wiskundig wel correct zijn, maar ik vind dit een beetje spijkers op laag water zoeken.
 
Hoe gaat het dan als je dit hebt: sqrt(x) = -2  Wat staat er dan op de plaats van x?

[EvilBro]

Hoe gaat het dan als je dit hebt: sqrt(x) = -2  Wat staat er dan op de plaats van x?

Er bestaat geen x waarvoor die vergelijking klopt (in de reeele getallen).

[Emveedee]

Die vergelijking heeft geen oplossing, -2 ligt niet in het bereik van die functie.

Edit: oeps, ik had de reactie van Evilbro niet gezien.

[Safe]

Als je gevraagd wordt om in een rekentoets oid de vierkantswortel van 9 te geven mag je -3 antwoorden.

 
Kan je deze bewering hard maken ...

[klazon]

Het kan zijn dat ik de wiskundige wetgeving niet ken. Maar sqrt is toch de omgekeerde bewerking van kwadrateren?
Dus als (-2)^2 = 4, dan kan sqrt(4) in mijn beleving best -2 zijn.
In dit verband ben ik het helemaal met Benm eens.

[Professor Puntje]

Het kan zijn dat ik de wiskundige wetgeving niet ken. Maar sqrt is toch de omgekeerde bewerking van kwadrateren?
Dus als (-2)^2 = 4, dan kan sqrt(4) in mijn beleving best -2 zijn.
In dit verband ben ik het helemaal met Benm eens.

 
Het is een kwestie van afspraak. In oudere leerboeken lees je ook nog wel over meerwaardige functies, en tegenwoordig lees je nog zeer vaak √-1 als i (of in de elektriciteitsleer j) bedoeld is. In een strenge opbouw van de wiskunde heeft dat geen pas.
 
De inverse goniometrische functies heeft men ook door het weglaten van "andere oplossingen" eenwaardig (en daarmee echte functies) gemaakt.
 
 
Het moet dus zo: x² = 4  =>  x = ±√4 = ±2 .

 

[Math-E-Mad-X]

Het kan zijn dat ik de wiskundige wetgeving niet ken. Maar sqrt is toch de omgekeerde bewerking van kwadrateren?
 

 
Nee, dat is het dus niet. 

Hoe gaat het dan als je dit hebt: sqrt(x) = -2  Wat staat er dan op de plaats van x?

 
Dit is dus weer een verglijking, en zoals ik zei hoeft een vergelijking niet per se 1 oplossing te hebben. Een vergelijking kan ook meerdere oplossingen hebben, of nul oplossingen hebben. In dit geval heeft de vergelijking nul oplossingen.

[EvilBro]

Maar sqrt is toch de omgekeerde bewerking van kwadrateren?

Dit is dus niet het geval.

Stel je hebt een functie f waarvoor geldt:

\(f(x) = x^2 \)

Stel je hebt ook een functie g. Deze functie g is gedefinieerd als de inverse functie (= de omgekeerde bewerking van) de functie f. Er geldt dan dus:

\(g(f(x)) = x\)

Er zou dan dus moeten gelden:

\(g(f(3)) = 3\)

en

\(g(f(-3)) = -3\)

Echter:

\(f(3) = f(-3) = 9\)

Aan het getal 9 is niet te zien of je met 3 of -3 begonnen bent. Kwadrateren is dus niet omkeerbaar. Er bestaat geen globale inverse.
Anders gezegd: Functies die bij twee waarden in het domein dezelfde waarde hebben in het bereik zijn niet globaal inverteerbaar.
Als je nu een domein kiest zodat bij elk punt in het domein slechts 1 punt hoort in het bereik dan is het natuurlijk wel mogelijk om een inverse te bepalen. Dit is precies wat gebeurt door te zeggen dat de vierkantswortel alleen geldt voor positieve getallen (inclusief nul).

[Math-E-Mad-X]

Het zal wiskundig wel correct zijn, maar ik vind dit een beetje spijkers op laag water zoeken.

 
Kijk, voor de meeste huis-tuin-en-keuken wiskunde is het inderdaad allemaal niet zo belangrijk. Maar als je je met meer diepe wiskunde bezig gaat houden dan moet je nou eenmaal extreem precies met je definities zijn. Men heeft er nou eenmaal voor gekozen om het begrip 'functie' op deze manier te definieren en dan moeten we ons daar ook aan houden, want anders wordt de hele wiskunde een puinzooi.
 
Het enige nadeel daarvan is alleen wel dat je dus soms met definities te maken krijgt die voor de gewone leek niet zo logisch lijken (zoals de afspraak dat wortel 4 aleen maar 2 is en niet -2), maar dat moet dan maar. Dat is beter dan het alternatief dat je eerst alle middelbare scholieren een verkeerde definitie aanleert, om dan later op de  universiteit weer te gaan uitleggen dat alles toch anders gedefinieerd moet worden. En het wordt dan al helemaal een probleem voor mensen die ergens op een niveau tussen middelbare-school wiskunde en universitaire wiskunde in zitten. Die worden dan helemaal gek van de verschillende definities.

[klazon]

Ik ben dan ook geen wiskundige. Ik gebruik wiskunde alleen als gereedschap in de techniek. En daar blijkt uit de context vanzelf of de uitkomst positief of negatief is.

[Benm]

Het zal vanwege purisme handig zijn bij conventie te kiezen dat de functie wortel slechts het positieve resultaat geeft. Dit is echter wel weer wat tegenstrijdig met bijvoorbeeld de derdemachtswortel. ³√(-8) zal toch -2 opleveren gezien +2 geen mogelijkheid was.

Feitelijk heb dan een, m.i. ietwat idiote, conventie waarbij je bij wortels in het algemeen stelt een positief antwoord (waarom geen negatief?) te geven indien beschikbaar, maar indien niet beschikbaar is het negatieve opeens wel acceptabel.

Als wikipedia hier een bron mag zijn staat er dit:

In mathematics, a square root of a number a is a number y such that y2 = a, in other words, a number y whose square (the result of multiplying the number by itself, or y × y) is a.[1] For example, 4 and −4 are square roots of 16 because 42 = (−4)2 = 16.

Every non-negative real number a has a unique non-negative square root, called the principal square root, which is denoted by √a, where √ is called the radical sign or radix. For example, the principal square root of 9 is 3, denoted √9 = 3, because 32 = 3 × 3 = 9 and 3 is non-negative. The term whose root is being considered is known as the radicand. The radicand is the number or expression underneath the radical sign, in this example 9.

Every positive number a has two square roots: √a, which is positive, and −√a, which is negative. Together, these two roots are denoted ± √a (see ± shorthand). Although the principal square root of a positive number is only one of its two square roots, the designation "the square root" is often used to refer to the principal square root. For positive a, the principal square root can also be written in exponent notation, as a1/2.[2]

Er zijn blijkbaar verschillende definities, en het positieve getal is de 'principe square root', maar het negatieve getal is evengoed een geldige wortel.

[Professor Puntje]

Het is lastig om oude gebruiken en benamingen op te ruimen...