√4 = -2?

[mathfreak]

Voor a≥0 is √a gedefinieerd als het getal dat de eigenschap (√a)² = a heeft, waarbij geldt dat √a≥0.

[Moab]

maar toch 
bij het oplossen van een polynoom komen we volgend formule geregeld tegen 
 

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

 
er zijn twee oplossingen 
formule gebruik we nog geregeld in optimalisatie problemen , 

[Professor Puntje]

maar toch 
bij het oplossen van een polynoom komen we volgend formule geregeld tegen 
 

\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

 
er zijn twee oplossingen 
formule gebruik we nog geregeld in optimalisatie problemen , 

 
Die formule bevestigt de moderne eenwaardige betekenis van de wortel: het ± teken in die formule zou immers overbodig zijn als de wortel zelf al twee waarden kon hebben.

[Math-E-Mad-X]

 het positieve getal is de 'principe square root', maar het negatieve getal is evengoed een geldige wortel.

 
Ja, dat klopt,  -2 is EEN wortel van 4  dat zal ik niet ontkennen.
 
Maar dat is wat anders dan beweren dat

\( \sqrt{4} = -2 \)

 
 
Dat is ook precies wat dat wikipedia artikel zegt. Het symbool 

\(\sqrt\)

is gereserveerd voor de principle square root, (en dat is dus ook waar dit topic over ging!), en dat is per definitie altijd een positief getal.

 Dit is echter wel weer wat tegenstrijdig met bijvoorbeeld de derdemachtswortel. ³√(-8) zal toch -2 opleveren gezien +2 geen mogelijkheid was.

 

 
Waar haal je dat vandaan? Bij mijn weten moet ³√  ook gewoon per definitie altijd een positief getal op leveren. In het geval van -8 is deze dus niet gedefinieerd.

[Math-E-Mad-X]

Het zal vanwege purisme handig zijn bij conventie te kiezen dat de functie wortel slechts het positieve resultaat geeft. 
 

 
Het is wel wat meer dan slechts purisme.
 
Stel dat jij als ingenieur berekeningen moet doen om een robot naar mars te sturen. Je werkt in een team, dus een andere ingenieur zal jouw berekeningen moeten gebruiken. Stel nu dat er ergens in je berekeningen  

\(\sqrt{4}\)

staat. Dan wil je natuurlijk niet dat die andere ingenieur moet gaan gokken of jij daar 2 of -2 mee bedoelde. Een verkeerde gok kan een miljarden-project om zeep helpen. En je wil natuurlijk ook niet dat die andere ingenieur al jouw berekeningen moet gaan overdoen om erachter te komen wat jij bedoelde. Dan zou jij al het werk voor niets gedaan hebben.
 
 
(Okee, sqrt(4) is misschien niet zo'n handig voorbeeld omdat je dan ook gewoon direct 2 kunt opschrijven. Maar het kan natuurlijk een veel ingewikkeldere formule zijn waarin je de wortel niet zo makkelijk kunt wegwerken)

[Benm]

Waar haal je dat vandaan? Bij mijn weten moet ³[background=#f7f7f7]√  ook gewoon per definitie altijd een positief getal op leveren. In het geval van -8 is deze dus niet gedefinieerd.[/background]

Probeer het eens met een calculator. De kubische wortel (is dat nederlands?) van -8 is toch echt -2, of je het nou aan de calculator van openoffice, die van casio, widows of wolframalpha vraagt.

Wellicht zijn al die calculators dan incorrect/kaduuk/eigenwijs, maar het resultaat is dusdanig consequent dat ik ergens vermoed dat het gewoon zo is.

Komt nog bij dat de macht van een wortel niet per se een integer hoeft te zijn. Er is ook nog zoiets als ^2.5√3, wat welliswaar een imaginaire component moet hebben, maar wel bestaat.

[Math-E-Mad-X]

Probeer het eens met een calculator. De kubische wortel (is dat nederlands?) van -8 is toch echt -2, of je het nou aan de calculator van openoffice, die van casio, widows of wolframalpha vraagt.

 
Ik zie dat je gelijk hebt inderdaad. Het is mij dan niet helemaal duidelijk wat dan de oficiele definitie van de 3-de machtswortel is.

[EvilBro]

Daar gaan we weer... We gaan weer hetzelfde doen als we eerder probeerde te doen bij de vierkantswortel: Stel er is een functie f waarvoor geldt:

\(f(x) = x^3\)

Stel dat er ook een functie g is zodat:

\(g(f(x)) = x\)

De vraag is nu, net zoals eerst, of deze functie g bestaat. Bij kwadrateren zagen we dat deze functie niet bestond omdat er bij kwadrateren meerdere waarden een afbeelding hebben op dezelfde waarde in het bereik. Hierdoor was het onmogelijk om gegeven een waarde in het bereik een unieke beginwaarde te vinden. Dit probleem heeft machtsverheffen tot de derde macht niet. Elke waarde in het bereik heeft een unieke waarde in het domein. Anders gezegd: de functie heeft een inverse.

[Safe]

Komt nog bij dat de macht van een wortel niet per se een integer hoeft te zijn. Er is ook nog zoiets als ^2.5√3, wat welliswaar een imaginaire component moet hebben, maar wel bestaat.

 
Waarom denk je dat er een imaginaire component moet zijn en hoe moet ik me dat dan voorstellen ...
Weet je hoe deze macht gedefinieerd is?

[Benm]

Dat denk/verzin ik niet, dat bedachten de wiskundeboeken voor me. Het is een heel verhaal, wellicht gemakkelijker te googelen dan voor mij een poging te wagen het uit te leggen.

@Evilbro:

Qua inverse heb je gelijk, maar het is weinig elegant. Machtsverheffen heeft een (nette) inverse als de macht een oneven integer is, in andere gevallen niet. Anderzijds leert men op school wel aan dat de wortel het omgekeerde is van een kwadraat, en bij dat uitgangspunt is -2 gewoon EEN valide wortel van 4.

[klazon]

Dat is ook zoals ik het heb geleerd (denk ik, want het is al lang geleden): de vierkantswortel is de omgekeerde bewerking van kwadrateren. Normaal gebruik je de positieve uitkomst, maar het kan ook negatief zijn als dat uit de context blijkt. Kennelijk heb ik het dan verkeerd geleerd, of verkeerd onthouden.
 
De derdemachtswortel is een ander geval. De derdemachtswortel uit -8 kan alleen maar -2 zijn, de uitkomst +2 is niet correct. Daar kan dus geen twijfel bestaan. Geldt overigens voor alle onevenmachtswortels.

[EvilBro]

Dat denk/verzin ik niet, dat bedachten de wiskundeboeken voor me.

Echt?

\(\sqrt[2.5]{3} = 3^{\frac{1}{2.5}} = e^{\ln(3^{\frac{1}{2.5}})} = e^{\frac{\ln(3)}{2.5}} \approx 1.5518\)

Geen imaginaire component te bekennen... Tijd voor nieuwe wiskundeboeken misschien?
 

Qua inverse heb je gelijk, maar het is weinig elegant.

Wat heeft elegantie er mee te maken?
 

... Anderzijds leert men op school wel aan dat de wortel het omgekeerde is van een kwadraat,

Zelfs als dat waar is dan maakt het nog niet juist. Dat geeft alleen aan dat het voor het initiele begrip misschien makkelijker is om iets fouts aan te leren omdat het goed genoeg is om mee te beginnen. Om dezelfde reden begint men met Newton ipv met Einstein.
 

en bij dat uitgangspunt is -2 gewoon EEN valide wortel van 4.

Zoals al eerder gezegd: -2 is een wortel van 4, maar zodra je het wortelteken gebruikt, en je dus impliciet een functie gebruikt, dan is er maar 1 antwoord correct.
Maar stel even dat je ook accepteert dat:

\(\sqrt{x^2} = -x\)

Daarmee maak je een hoop stuk. Wat is het volgende:

\(\sqrt{\sqrt{16}}\)

?
2, -2 of een wortel van een negatief getal bestaat niet?

\(4 = \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = -2 \cdot 2 = -4\)

Misschien denk je dat dit valsspelen is, maar op het moment dat je niet met daadwerkelijke getallen te maken hebt maar met onbekenden dan kun je opeens het bovenstaande per ongeluk doen.
Eerst kwadrateren van een positief getal en daarna worteltrekken is niet gelijk aan bij datzelfde getal eerst worteltrekken en dan kwadrateren (en hoe rijm je dat met de "omgekeerde operatie"-visie). En zo kunnen we nog wel even doorgaan met het breken van allerlei rekenregels. Dat vind ik nou niet elegant.

[Benm]

Als je het op die manier aanpakt kan het inderdaad fout gaan.

Overigens maken onbekenden het natuurlijk ook wel weer lastig. Als je een vierkantswortel neemt moet die onbekende positief zijn, bij een derdemachtswortel maakt het niets uit.

Het zou consequent zijn om dan geen resultaat te krijgen bij een wortel uit een negatief getal, ook niet als het uitstekend te bereken is zoals de derdemachtswortel van -8. Dat dat laatste door iedere calculator gedaan wordt lijkt te duiden op inconsequentie.

[Professor Puntje]

Het eenvoudigste is om als argument van de wortelfunctie enkel niet-negatieve getallen toe te laten. De oorsprong van alle verwarring is het dubbelzinnige gebruik van de term "wortel". Zie:
 

Een algebraïsche vergelijking is een vergelijking, waarin een polynoom aan 0 wordt gesteld. Polynoom en vergelijking mogen door elkaar worden gebruikt. Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft iedere vergelijking in één variabele in het complexe vlak minstens één nulpunt. De nulpunten van een polynoom, de oplossingen van de bijbehorende algebraïsche vergelijking heten ook de wortels van de vergelijking. Reële vergelijkingen hebben niet noodzakelijk een reële wortel, al hebben alle polynomen van oneven graad wel minstens één reële oplossing. Het maximale aantal oplossingen is dus gelijk aan de graad van de vergelijking.

 
Bron: https://nl.wikipedia.org/wiki/Vergelijking_%28wiskunde%29#Algebra.C3.AFsche_vergelijkingen_met_.C3.A9.C3.A9n_variabele

[Safe]

Het zou consequent zijn om dan geen resultaat te krijgen bij een wortel uit een negatief getal, ook niet als het uitstekend te bereken is zoals de derdemachtswortel van -8. Dat dat laatste door iedere calculator gedaan wordt lijkt te duiden op inconsequentie.

 
Wat is er inconsequent ...