√4 = -2?

[EvilBro]

Het zou consequent zijn om dan geen resultaat te krijgen bij een wortel uit een negatief getal, ook niet als het uitstekend te bereken is zoals de derdemachtswortel van -8.

Ik zie niet in hoe dat consequent zou zijn. Is het ook inconsequent dat sin(x) wel voor alle x bestaat maar tan(x) niet? Het zijn immers net als de vierkantwortel en de derdemachtswortel functies die gerelateerd lijken. f(x)=1 bestaat wel voor x=0 terwijl g(x)=x/x dat niet doet. Mag dat dan ook niet? Het probleem dat je lijkt te hebben is dat je vindt dat beide wortelfuncties op elkaar lijken en daarom hetzelfde domein (danwel bereik) zouden moeten hebben. Dat is echter enkel gebaseerd op jouw idee van overeenkomstigheid en dat lijkt mij geen basis voor wiskunde. Het zijn twee verschillende functies.

Anders gesteld: Wat is er niet consequent aan de volgende definitie?
De n-de wortel a van x (in de reeele getallen, n een positief geheel getal) is die a waarvoor geldt a^n = x. Op het moment dat er meerdere reeele getallen zijn die hieraan voldoen dan is a de waarde waarvoor geldt a>=0. Als er geen oplossing bestaat dan bestaat de wortel a niet.
Kun je een situatie verzinnen waarbij deze 'definitie' niet overeenkomt met rekenmachines?

[Benm]

Met die definitie is niets mis. Je kunt je hoogstens afvragen wat de reden is te kiezen voor het positieve getal ipv het negatieve getal als antwoord, maar als dat conventie is heb ik er geen moeite mee.

[tempelier]

Met die definitie is niets mis. Je kunt je hoogstens afvragen wat de reden is te kiezen voor het positieve getal ipv het negatieve getal als antwoord, maar als dat conventie is heb ik er geen moeite mee.

De rede voor de keuze is dat dat beter loopt en dus bruikbaarder is.
 
Een ander misverstand is dat:
 

\(\sqrt{2}\)

 
Een onafgemaakt sommetje is.
Het is gewoon de notatie van een reëel getal, dus een soort teken
en het is niet handig aan het zelfde teken twee verschillende getallen toe te kennen.

[Benm]

Bedoel je dat in de zin van dat de numerieke waarde van de wortel van 2 een irrationeel getal is, en daarmee nooit exact uitgeschreven kan worden?

Ik zie de praktische relevantie daarvan niet zo in - we werken ook met getallen als pi en e, waarvan de waarde voor ieder denkbaar praktisch doel nauwkeurig genoeg bekend is.

[tempelier]

Wat notatie betreft staan ze inderdaad op gelijke voet.
Het decimale stelsel is gewoon niet in staat om er alle getallen er precies mee te omschrijven.
Om er toch mee te werken zijn er dus extra notaties/symbolen nodig.
 
Dat niet exact kunnen  uitschrijven geldt trouwens ook al voor 1/3 in het tientallig stelsel.
Ook hier kan ""1/3"" gezien worden als een symbool voor een getal.
 
PS.
Het begrip ""numeriek waarde"" lijkt me niet erg gelukkig.

[Benm]

Hoe zou je het anders willen noemen?

[mathfreak]

Hoe zou je het anders willen noemen?

Als a geen kwadraat is verstaan we onder √a een irrationaal getal dat positief is en dat de eigenschap (√a)² = a heeft. Kenmerk van een rationaal getal is dat het een eindige of oneindig repeterende decimale representatie heeft, terwijl een irrationaal getal een oneindig niet-repeterende decimale representatie heeft.

[tempelier]

Als a geen kwadraat is verstaan we onder √a een irrationaal getal dat positief is en dat de eigenschap (√a)² = a heeft. Kenmerk van een rationaal getal is dat het een eindige of oneindig repeterende decimale representatie heeft, terwijl een irrationaal getal een oneindig niet-repeterende decimale representatie heeft.

Als a een zuiver kwadraat is geldt het nog steeds,
alleen is er dan een eenvoudiger notatie voor het zelfde getal.

[mathfreak]

Als a een zuiver kwadraat is geldt het nog steeds,
alleen is er dan een eenvoudiger notatie voor het zelfde getal.

Als a een kwadraat is betekent dit dat √a een rationaal getal is. Het ging mij louter om de irrationaliteit van √2 zonder daarbij direct een beroep te doen op Dedekindsneden en dergelijke.