Tensorproduct van vectorruimten

[Math-E-Mad-X]

 
Schrijven we bovendien (voorlopig) voor vectoren (<b>uv</b>)((x,y)) = <b>u</b>(x) . <b>v</b>(y), dan vinden we als een bij de bovenstaande vectorruimte behorend stelsel basisvectoren: {αγ , αδ , αε , βγ , βδ , βε}.
 
Alle vectoren uit de bovenstaande vectorruimte zijn dus op eenduidige wijze te schrijven in de vorm:
 
z₁αγ + z₂αδ + z₃αε + z₄βγ + z₅βδ + z₆βε  (met de z_i reële getallen).

 
Jep, klopt helemaal!

[Professor Puntje]

Nu dan de duale vectorruimte ((F(S))*, + , . ) bij de vectorruimte (F(S), + , . ).  (De duale vectorruimte
((F(T))*, + , . ) bij (F(T), + , . ) vinden we op analoge wijze.) De verzameling (F(S))* is de verzameling van alle lineaire afbeeldingen van F(S) naar R. Daarbij zijn de optelling en scalaire vermenigvuldiging voor de elementen (ook wel covectoren genoemd) van (F(S))* gedefinieerd als:

(φ + ψ)(x) = φ(x) + ψ(x)

(aφ)(x) = aφ(x)
 
Hoe ziet die duale vectorruimte eruit? Laat ζ een element (covector) van (F(S))* zijn. Dan hebben we:
 
ζ(aα + bβ) = ζ(aα) + ζ(bβ)
ζ(aα + bβ) = aζ(α) + bζ(β)
 
Dus zijn alle covectoren ζ van de vorm: ζ(aα + bβ) = a.p + b.q (met p en q reële constanten). Geldt ook het omgekeerde?
 
Laat η een afbeelding van F(S) naar R zijn die is te schrijven als: η(aα + bβ) = a.p + b.q (met p en q reële constanten). Dan hebben we:
 
η((aα + bβ) + (a'α + b'β)) = η((a+a')α + (b+b')β))
η((aα + bβ) + (a'α + b'β)) = (a+a').p + (b+b').q
η((aα + bβ) + (a'α + b'β)) = (a.p + b.q) + (a'.p + b'.q)
η((aα + bβ) + (a'α + b'β)) = η(aα + bβ) + η(a'α + b'β)
 
η(r.(aα + bβ)) = η(raα + rbβ)
η(r.(aα + bβ)) = ra.p + rb.q
η(r.(aα + bβ)) = r.(a.p + b.q)
η(r.(aα + bβ)) = r.η(aα + bβ)
 
Dus is η een lineaire afbeelding van F(S) naar R. Waarmee is bewezen dat de covectoren in ons geval juist uit alle afbeeldingen van F(S) naar R bestaan waarvoor: η(aα + bβ) = a.p + b.q (met p en q reële constanten).

[Professor Puntje]

Fijn - dan ben ik kennelijk nog steeds op de goede weg.

 

Wat is een basis van ((F(S))*, + , . ) ? De verzameling (F(S))* is de verzameling van alle lineaire afbeeldingen van F(S) naar R. Dus ik vermoed als basis van ((F(S))*, + , . ) zoiets:

 
λ met λ(aα +  bβ) = a
μ met μ(aα + bβ) = b

 

Nu zien of {λ, μ} inderdaad een basis van ((F(S))*, + , . ) is. Laat ρ een willekeurige covector uit ((F(S))*, + , . ) zijn. Dan hebben we:

 
ρ(aα +  bβ) = a.ρ(α) +  b.ρ(β)
ρ(aα +  bβ) = ρ(α).a +  ρ(β).b
ρ(aα +  bβ) = ρ(α).λ(aα +  bβ) + ρ(β).μ(aα + bβ)
ρ(aα +  bβ) = u.λ(aα +  bβ) + v.μ(aα + bβ)
(Waarin u =  ρ(α) en v = ρ(β) bij ρ, α en β behorende constante reële getallen zijn.)
ρ(aα +  bβ) = (u.λ)(aα +  bβ) + (v.μ)(aα + bβ)
ρ(aα +  bβ) = (u.λ + v.μ)(aα + bβ)
ρ = u.λ + v.μ .

 

Zijn de twee covectoren λ en μ ook onafhankelijk? Stel dat: x.λ + y.μ = 0, dan moet voor alle reële getallen a en b gelden dat:

 

(x.λ + y.μ)(aα +  bβ) = 0

(x.λ)(aα + bβ) + (y.μ)(aα + bβ) = 0
x.λ(aα + bβ) + y.μ(aα + bβ) = 0
x.a + y.b = 0
x=y=0 .
 
Dus vormen de twee covectoren λ en μ een onafhankelijk stelsel basisvectoren.

[Emveedee]

Ik volg het topic nog steeds, maar het heeft even tijd nodig om tot me door te dringen wat alles nou precies betekent.
 

Alle vectoren uit de bovenstaande vectorruimte zijn dus op eenduidige wijze te schrijven in de vorm:
 
z₁αγ + z₂αδ + z₃αε + z₄βγ + z₅βδ + z₆βε  (met de z_i reële getallen).

We hebben dus te maken met een 6-dimensionale vectorruimte, wat logisch is.
 

Schrijven we bovendien (voorlopig) voor vectoren (uv)((x,y)) = u(x) . v(y), dan vinden we als een bij de bovenstaande vectorruimte behorend stelsel basisvectoren: {αγ , αδ , αε , βγ , βδ , βε}.

Ik begrijp niet goed wat x en y hier voorstellen. Als

\(x\in S\)

, dan is x dus A of B. Dat betekent dat een van de twee basisvectoren α of β dus altijd 0 is. Idem dito voor

\(y\in T\)

. Hoe wordt dan de gehele ruimte opgespannen? Ik heb het idee dat op deze manier alleen 6 lijnen in de ruimte worden opgespannen...

Wat zie ik hier over het hoofd?

[Professor Puntje]

Volgens de eerste definitie hebben we:

 

\( F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{T}) = F(\mbox{S} \times \mbox{T}) \)

 

\( F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{T}) = F(\{(A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E) \}) \)

 

Dat levert tezamen met de voor functies gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging over R de vectorruimte (F({(A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E)}) , + , . ) op.

 

 

Schrijven we bovendien (voorlopig) voor vectoren (uv)((x,y)) = u(x) . v(y), dan vinden we als een bij de bovenstaande vectorruimte behorend stelsel basisvectoren: {αγ , αδ , αε , βγ , βδ , βε}.

 

Alle vectoren uit de bovenstaande vectorruimte zijn dus op eenduidige wijze te schrijven in de vorm:

 

z₁αγ + z₂αδ + z₃αε + z₄βγ + z₅βδ + z₆βε  (met de z_i reële getallen).

 

 

Ik volg het topic nog steeds, maar het heeft even tijd nodig om tot me door te dringen wat alles nou precies betekent.

 
Bij mij heeft het ook zéér lang geduurd. In de loop van tientallen jaren ben ik er steeds weer op terug gekomen omdat ik heel graag de ART in de wiskundige formulering wil kunnen begrijpen. Het grootste probleem van de definitie van tensoren is - voor mij - het enorme abstractieniveau waardoor ik steeds de draad kwijt raakte bij het volgen van wat voor wiskundige objecten de letters en symbolen nu precies voorstellen. Ik wil het ook echt <i>begrijpen</i> en niet slecht trucjes met symbolen en indices uithalen.
 

We hebben dus te maken met een 6-dimensionale vectorruimte, wat logisch is.

 

Dat klopt.

 

Ik begrijp niet goed wat x en y hier voorstellen. Als

\(x\in S\)

, dan is x dus A of B. Dat betekent dat een van de twee basisvectoren α of β dus altijd 0 is. Idem dito voor

\(y\in T\)

. Hoe wordt dan de gehele ruimte opgespannen? Ik heb het idee dat op deze manier alleen 6 lijnen in de ruimte worden opgespannen...

Wat zie ik hier over het hoofd?

 

De x en y zijn hier variabelen die lopen over respectievelijk S en T. Dus x kan A of B zijn, en y kan C, D of E zijn. De basisvectoren zijn hier gedefinieerd:

 

Als een basis van (F(S), + , . ) hebben we dan {α, β} met:

 
α(A)=1, α(B)=0
β(A)=0, β(B)=1

 

En als een basis van (F(T), + , . ) hebben we {γ, δ, ε} met:

 
γ(C )=1, γ(D)=0, γ(E)=0
δ(C )=0, δ(D)=1, δ(E)=0
ε(C )=0, ε(D)=0, ε(E)=1

 

Alle elementen van F(S) kunnen we nu op een eenduidige manier in de vorm aα + bβ schijven; en alle elementen van F(T) op een eenduidige manier in de vorm cγ  + dδ + eε .

Alle vectoren v van F(S) kunnen dus geschreven worden als:  v = aα + bβ (met bij v passende reële getallen a en b). De objecten die in F(S) zitten zijn functies. De vector v bijvoorbeeld is de functie met: v(A)=a en v(B)=b. Immers:

 

Als x=A hebben we: v(x) = v(A) = (aα + bβ)(A) = aα(A) + bβ(A) = a.1 + b.0 = a

Als x=B hebben we: v(x) = v(B) = (aα + bβ)(B) = aα(B) + bβ(B) = a.0 + b.1 = b

 

De vector v heeft dus twee vrij te kiezen reële "componenten" a en b. Aldus is te begrijpen dat F(S) tweedimensionaal is.
 
Is dat te volgen?

[Emveedee]

Ja, dat is nog duidelijk. Maar hoe krijg ik dan een vector die bijv. a + b is? Kan ik ook x = A + B kiezen? Die zit immers niet in S? (Maar wellicht dat dat volgt uit de definities voor optelling en vermenigvuldiging?)

[Professor Puntje]

Ja, dat is nog duidelijk. Maar hoe krijg ik dan een vector die bijv. a + b is? Kan ik ook x = A + B kiezen? Die zit immers niet in S? (Maar wellicht dat dat volgt uit de definities voor optelling en vermenigvuldiging?)

 
Volgens de precieze definitie bestaan de vrije vectorverzamelingen F(S) en F(T) over R uit alle functies van respectievelijk S en T naar R. In F(S) en F(T) zitten dus precies de aangeduide functies, niet meer en niet minder. Pluk ik nu uit F(S) een (willekeurig) element dan is dat altijd een functie van S naar R. Als argument van die functie zijn enkel de elementen van S (in ons geval A of B) toegestaan. Je zou als argument alleen A+B mogen kiezen in het triviale geval dat A+B ofwel A ofwel B is. De optelling is voor A en B echter niet gedefinieerd en speelt - voor zover ik dat gezien heb - verder ook geen rol. Er wordt met die A en B niets gedaan. Ik denk zelf consequent aan die vectoren in F(S) als functies wat ze per definitie ook zijn. Later zal er wel een identificatie met de gebruikelijke vectoren uit de natuur- en meetkunde plaatsvinden, maar daar probeer ikzelf op dit moment zo min mogelijk aan te denken. De wiskundige onderbouwing moet immers op eigen benen kunnen staan. Overigens zijn we al bijna bij de definitie van tensoren aangeland, en daarna wil ik zo snel mogelijk bekijken wat we ermee kunnen.
 
Ik begrijp nog niet goed wat je met "een vector die bijv. a + b is" bedoelt...

[Emveedee]

Vectoren zien als functies blijf ik toch altijd moeilijk vinden. Zo denk ik bijv. bij een basis aan i, j, en k als eenheidsvectoren van een cartesisch stelsel, waarmee de lineaire combinatie van die 3 de gehele ruimte, de R³ dus, opspannen. In dat geval is bijv.

\(\vec{v} = a \vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}\)

een beschrijving van elke mogelijke vector.

Uit de meetkunde ben ik gewend om een vector in de x-richting bij een vector in de y-richting op te kunnen tellen. Kan zoiets hier ook?

Dus bijv. v(A) + v(B) <b>=</b> (aα + bβ)(A)  + (aα + bβ)(B) = aα(A) + bβ(A) + aα(B) + bβ(B)  = a.1 + b.1 = a + b
 
Hebben a en b dus iets als een richting (bij gebrek aan een beter woord)? Zijn a en b onafhankelijke componenten van de vector v?
Ze zijn immers vrij te kiezen. Als dat niet zo is, en ik kies a = b = 1, dan zie ik geen verschil tussen v(A) en v(B).

[Professor Puntje]

Vectoren zien als functies blijf ik toch altijd moeilijk vinden.

 

Bekijk het eens zo: voor vectoren als pijltjes in een assenstelsel gelden een aantal wetten die je geformuleerd als vereisten of axioma's kunt gebruiken om er het algebraïsche object "vectorruimte" mee te definiëren. Omdat de vectoren als pijltjes alvast aan die vereisten voldoen weet je dat er in elk geval één soort vectorruimten bestaat. Maar wie schetst onze verbazing: allerlei andere dingen (zoals functies met een bijpassende optelling en scalaire vermenigvuldiging) kunnen nu in algebraïsche zin ook een vectorruimte vormen. Naar keuze kun je zulke functies dan - tot op zekere hoogte - ook als 'vectoren' beschouwen.
 
Meer uitleg volgt...

[Professor Puntje]

Uit de meetkunde ben ik gewend om een vector in de x-richting bij een vector in de y-richting op te kunnen tellen. Kan zoiets hier ook?

Dus bijv. v(A) + v(B) = (aα + bβ)(A)  + (aα + bβ)(B) = aα(A) + bβ(A) + aα(B) + bβ(B)  = a.1 + b.1 = a + b

 

Hebben a en b dus iets als een richting (bij gebrek aan een beter woord)? Zijn a en b onafhankelijke componenten van de vector v?
Ze zijn immers vrij te kiezen. Als dat niet zo is, en ik kies a = b = 1, dan zie ik geen verschil tussen v(A) en v(B).

Je doet niet wat je meent te doen. Immers zijn v(A) en v(B) geen vectoren. De vector is hier de complete functie v van S naar R en niet een functiewaarde voor een bepaald argument (zoals v(A) of v(B)). Met een vector in de x-richting correspondeert hier pα en met een vector in de y-richting qβ. En die twee kun je inderdaad optellen met als resultaat pα+qβ. De uitkomst is opnieuw een functie (zoals het binnen F(S) ook hoort) en geen reeël getal (zoals a+b of p+q).

Functies moet je hier als zelfstandige wiskundige objecten beschouwen waarmee je net zo goed kunt rekenen als met getallen.

[Emveedee]

Ah, dat verheldert een hele hoop. Met α en β als basisfuncties kan ik elke andere functie van S naar R maken. Met z₁αγ+ z₂αδ+ z₃αε+ z₄βγ + z₅βδ+ z₆βε kan ik dus elke functie van S x T naar R maken.

 

Nu eens kijken of ik iets kan maken van die duale vectorruimte. Ik snap nog niet hoe (F(S))* nou verschilt van F(S).

[Professor Puntje]

Nu eens kijken of ik iets kan maken van die duale vectorruimte. Ik snap nog niet hoe (F(S))* nou verschilt van F(S).

 
Wat zijn het voor dingen die in F(S) zitten?
 
Wat zijn het voor dingen die in (F(S))* zitten?

[Math-E-Mad-X]

 

 In de loop van tientallen jaren ben ik er steeds weer op terug gekomen omdat ik heel graag de ART in de wiskundige formulering wil kunnen begrijpen. 

 
Laat ik je alvast een kleine waarschuwing geven hier: wat natuurkundigen met een 'vector' of een 'tensor' bedoelen is niet hetzelfde als wat wiskundigen ermee bedoelen. Dat was zeer verwarrend voor mij omdat ik zowel wiskunde als natuurkunde studeerde en het heel lang geduurd heeft voordat ik dat door kreeg.
 
Waar je nu mee bezig bent is de wiskundige definitie van vectoren en tensoren, en in mijn ogen is het ook het beste om dat eerst te leren en daarna pas de natuurkundige definitie.
 
Wat natuurkundigen een 'vector' of 'tensor' noemen, is wat wiskundigen een 'raakvector' of 'raaktensor' noemen. Raakvectoren en raaktensoren zijn eigenlijk speciale gevallen van vectoren en tensoren, die je kunt opvatten als infinitesimale 'pijltjes' die 'raken' aan een fysische ruimte. Je hoort natuurkundigen dan ook wel eens dingen zeggen als "een tensor moet op de juiste manier meetransformeren met een coordinatentransformatie", maar dan hebben ze het dus eigenlijk over raaktensor.
 
Goed, dit is op dit moment nog niet zo van belang, raaktensoren leer je later nog wel, maar ik zeg maar alvast om later verwarring te  voorkomen.

[Professor Puntje]

Je hoort natuurkundigen dan ook wel eens dingen zeggen als "een tensor moet op de juiste manier meetransformeren met een coordinatentransformatie", maar dan hebben ze het dus eigenlijk over raaktensor.

 
Dat is het soort van definitie dat mij in mijn natuurkundestudie (die ik niet heb afgemaakt) gigantisch tegenstond omdat ik die definitie logisch ondeugdelijk vond. Er werd namelijk niet bij verteld hoe je een object met een coördinatentransformatie moet meetransformeren. Voor een gegeven object kon je dus ook niet vaststellen of het al dan niet een tensor was. Nu kun je zeggen dat tensoren per definitie op de aangegeven wijze meetransformeren, maar dan is het weer de vraag of er überhaupt tensoren bestaan. Wat in de natuurkunde dan weer met natuurkundige begrippen werd "bewezen". Een tensor werd zo een soort van vlees-noch-vis-begrip waar ik maar geen greep op kreeg. Dat ging dus fout omdat ik het vertikte (en nog steeds vertik) om een theorie te leren die althans in de gegeven presentatie op drijfzand leek te berusten.

Pas véél later heb ik een herformulering van de natuurkundige en technische definitie van een tensor gevonden die er wel logisch acceptabel uitziet. Zie: "1.9 Een wiskundige interpretatie van het ’ingenieurs tensor begrip’" in: http://www.win.tue.nl/~degraaf/2F800/TENSOR.pdf

Maar in dit topic wil ik deze aanpak uitproberen: https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_%28intrinsic_definition%29#Definition_via_tensor_products_of_vector_spaces

En dan met de definitie van het tensorproduct zoals hier: http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/198854-tensorproduct-van-vectorruimten/?p=1055832

Dat zou dan het volgende opleveren:

\( F(\mbox{S_1}) \otimes F(\mbox{S_2}) \otimes F(\mbox{S_3}) \,\,\, ... \,\,\, \otimes F(\mbox{S_n}) \,\, = F(\mbox{S_1} \times \mbox{S_2} \times \mbox{S_3} \,\, ... \,\, \times \mbox{S_n}) \)

De elementen van dat tensorproduct zijn dan de tensoren. Deze definitie heeft het nadeel dat ze alleen werkt voor vectorruimten die in de vorm van een vrije vectorruimte zijn gegoten, maar het voordeel dat ze minder abstract is dan de definitie via quotiëntruimten.

Maar is dat ook een legitieme definitie?

[Professor Puntje]

Wikipedia vermeldt:
 

tensors 602 keer bekeken

 
En daar zit een probleempje. :-k Om het tensorproduct volgens de definitie via vrije vectorverzamelingen te kunnen toepassen moeten we nu zowel V als V* als een vrije vectorverzameling schrijven. Dus: V = F(P) en V* = (F(P))* = F(Q) voor zekere bij V te vinden P en Q.