Tensorproduct van vectorruimten

[Math-E-Mad-X]

Wikipedia vermeldt:
 
tensors.png
 
En daar zit een probleempje. :-k Om het tensorproduct volgens de definitie via vrije vectorverzamelingen te kunnen toepassen moeten we nu zowel V als V* als een vrije vectorverzameling schrijven. Dus: V = F(P) en V* = (F(P))* = F(Q) voor zekere bij V te vinden P en Q.

 
Ja, maar ik zie niet zozeer in waarom dat een probleem is. Merk op dat de verzameling Q niets anders is dan een verzameling labels die je aan je basisvectoren plakt. Dus het 'vinden van Q' is eigenlijk niets anders dan het bepalen van een basis voor V* en dan vervolgens voor iedere basisvector een willekeurig label kiezen. 
 
Verder zie ik ook niet echt in waarom je zo'n Q zou willen vinden. Het belangrijkste is dat zo'n Q gevonden kan worden zodat je zeker weet dat V* inderdaad als een vectorruimte opgevat kan worden.

[Professor Puntje]

Aha! - dan kan ik weer verder. Het is kennelijk voldoende dat we een object vinden dat weliswaar niet formeel identiek is aan het tensorproduct volgens de andere definitie via de quotiëntruimte maar dat daar wel in alle hier relevante eigenschappen mee overeenstemt.

[Professor Puntje]

We gaan nu (om het zo concreet mogelijk te houden) eerst onderstaande tensorproduct uitproberen:

\( T^m_n = \underbrace{F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{S}) \otimes ... \otimes F(\mbox{S})}_{\mbox{m factoren}} \, \otimes \, \underbrace{(F(\mbox{S}))^* \otimes (F(\mbox{S}))^* \otimes ... \otimes (F(\mbox{S}))^*}_{\mbox{n factoren}} \)

Een basis voor (F(S))* hebben we al eerder gevonden:

 

Wat is een basis van ((F(S))*, + , . ) ? De verzameling (F(S))* is de verzameling van alle lineaire afbeeldingen van F(S) naar R. Dus ik vermoed als basis van ((F(S))*, + , . ) zoiets:

λ met λ(aα + bβ) = a
μ met μ(aα + bβ) = b

Nu zien of {λ, μ} inderdaad een basis van ((F(S))*, + , . ) is. (...) Dus vormen de twee covectoren λ en μ een onafhankelijk stelsel basisvectoren.

Iedere covector uit ((F(S))*, + , . ) is dus op een unieke manier als een lineaire combinatie xλ + yμ (met x en y reële getallen) te schijven. Laat nu de verzameling Q de basis {λ, μ} zijn. Dan bestaat de vrije vectorverzameling F(Q) over R uit alle functies f van Q naar R. Die functies f liggen dus vast door de functiewaarden f(λ) en f(μ) op te geven (want meer beschikbare argumenten zijn er niet). Bovendien kunnen de functiewaarden van f uit héél R gekozen worden. Bij iedere functie f uit F(Q) is er dus een unieke corresponderende covector f(λ).λ + f(μ).μ uit (F(S))*. En bij iedere covector x.λ + y.μ uit (F(S))* is er een unieke corresponderende functie f uit F(Q)met f(λ)=x en f(μ)=y. We maken nu van F(Q) een vectorruimte over R door de bijpassende optelling en scalaire vermenigvuldiging als volgt te kiezen:

 

(v₁ + v₂)(z) = v₁(z) + v₂(z)

(k.v)(z) = k.v(z)

 

Willen ((F(S))*, + , . ) en (F(Q), + , . ) als vectorruimten inwisselbaar (= isomorf) zijn dan moeten ook de bewerkingen gelijk uitpakken. Wikipedia schrijft:

 

isomorphism 525 keer bekeken

 

Laat g de boven vermelde bijectie van (F(S))* naar F(Q) zijn. Dan hebben we:

 

g((x₁.λ + y₁.μ) + (x₂.λ + y₂.μ)) = g( (x₁+x₂).λ  +  (y₁+y₂).μ )

g((x₁.λ + y₁.μ) + (x₂.λ + y₂.μ)) = f met f(λ)=x₁+x₂ en f(μ)=y₁+y₂

g((x₁.λ + y₁.μ) + (x₂.λ + y₂.μ)) = f₁ + f₂ met f₁(λ)=x₁ ; f₁(μ)=y₁; f₂(λ)=x₂ ; f₂(μ)=y₂

g((x₁.λ + y₁.μ) + (x₂.λ + y₂.μ)) = g(x₁.λ + y₁.μ) + g(x₂.λ + y₂.μ ) .

 

g(k.(x.λ + y.μ)) = g(kx.λ + ky.μ)

g(k.(x.λ + y.μ)) = f met f(λ)=kx en f(μ)=ky

g(k.(x.λ + y.μ)) = k.f met f(λ)=x en f(μ)=y

g(k.(x.λ + y.μ)) = k.g(x.λ + y.μ) .

 

Dus zijn ((F(S))*, + , . ) en (F(Q), + , . ) als vectorruimten inderdaad inwisselbaar. We mogen voor het tensorproduct dus ook nemen:

 

\( \underbrace{F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{S}) \otimes ... \otimes F(\mbox{S})}_{\mbox{m factoren}} \, \otimes \, \underbrace{F(\mbox{Q}) \otimes F(\mbox{Q}) \otimes ... \otimes F(\mbox{Q})}_{\mbox{n factoren}} \)

 

 
Later meer...

[Professor Puntje]

We houden het nog steeds zo concreet mogelijk: kies m=2 en n=1. Dat geeft als te beschouwen tensorproduct:

\( \mbox{T} = F(\mbox{S}) \otimes F(\mbox{S}) \, \otimes \, F(\mbox{Q}) \,\, = \,\, F(\mbox{S} \times \mbox{S} \times \mbox{Q} ) \)

De verzameling S x S x Q bevat precies de volgende acht drietallen:

(A, A, λ), (A, A, μ),

(A, B, λ), (A, B, μ),

(B, A, λ), (B, A, μ),

(B, B, λ), (B, B, μ).

Iedere functie uit T ligt dus vast zodra de functiewaarden voor bovenvermelde acht argumenten vastliggen. De vectoren (tensoren in dit geval) in T kunnen dus door (een driedimensionale matrix van) acht reële getallen worden aangeduid.

Laten we eerst van T een vectorruimte maken door de onderstaande (inmiddels bekende) definities voor de optelling en scalaire vermenigvuldiging te kiezen:

(v₁ + v₂)(z) = v₁(z) + v₂(z)

(k.v)(z) = k.v(z)

Verder definiëren we de onderstaande speciale functies uit T:

e₁(z)=1 voor z=(A, A, λ) & e₁(z)=0 voor z≠(A, A, λ)
e₂(z)=1 voor z=(A, A, μ) & e₂(z)=0 voor z≠(A, A, μ)
e₃(z)=1 voor z=(A, B, λ) & e₃(z)=0 voor z≠(A, B, λ)
e₄(z)=1 voor z=(A, B, μ) & e₄(z)=0 voor z≠(A, B, μ)
e₅(z)=1 voor z=(B, A, λ) & e₅(z)=0 voor z≠(B, A, λ)
e₆(z)=1 voor z=(B, A, μ) & e₆(z)=0 voor z≠(B, A, μ)
e₇(z)=1 voor z=(B, B, λ) & e₇(z)=0 voor z≠(B, B, λ)
e₈(z)=1 voor z=(B, B, μ) & e₈(z)=0 voor z≠(B, B, μ)

Deze acht functies vormen duidelijk een basis voor de vectorruimte (T, + , . ).

[Math-E-Mad-X]

Het lijkt nog steeds te kloppen, maar ik vind je notatie wel heel erg verwarrend worden omdat je nu twee basis vectoren uit F(S)* kiest als verzamling Q, terwijl je voor S twee volkomen abstracte objecten had.
 
Het lijkt me dan beter om als verzamling Q juist de basis van F(S) te kiezen in plaats van F(S)*. Immers, een element uit F(S)* is een lineaire afbeelding van F(S) naar R, wat je ook kunt opvatten als een willekeurige afbeelding van de basis van F(S) naar R (immers, een lineaire afbeelding ligt vast als je de waarden voor de basisvectoren gekozen hebt). Op die manier komt je definitie van F(Q) als vrije vectorverzameling over Q precies overeen met de definitie van F(S)* als verzameling lineaire afbeeldingen van F(S) naar R.
 
Maar eigenlijk denk ik dat je het jezelf veel te ingewikkeld maakt door vast te blijven houden aan de notatie via vrije vectorverzamelingen. Dat was in eerste instantie handig om het begrip vectorruimte te definieren, maar maakt de notatie nu wel erg ingewikkeld.
 
Persoonlijk vind ik het veel eleganter om het tensorproduct van twee vectorruimten gewoon te definieren als een abstract algebraisch product.
 
Bijvoorbeeld:
Zij V een n-dimensionale vectorruimte met basis

\(\{v_1,v_2...v_n\}\)

en W een m-dimensionale vectorruimte met basis  

\(\{w_1,w_2...w_m\}\)

Dan is het tensor product

\(V\otimes W\)

gedefinieerd als een mxn-dimensionale vectorruimte met basis:

\(\{v_{1,1},v_{1,2}...v_{n,m}\}\)

Vervolgens kun je het tensor product tussen vectoren definieren als een lineaire afbeelding T van VxW naar

\(V\otimes W:\)

\(T(v_i,w_j) = v_{i,j}\)

En vervolgens kun je dan de gebruikelijke notatie 

\(v_i \otimes w_j\)

gewoon definieren als 

\(v_i \otimes w_j := T(v_i,w_j) = v_{i,j} \)

 
Uiteraard moet je deze definities nog wel even netjes uitbreiden naar lineare combinaties van basisvectoren in V en W. En verder kunnen we opmerken dat W ook de duale ruimte van V mag zijn.

[Professor Puntje]

Ik ben zelf ook niet zo blij met mijn uitwerking. In de literatuur heb ik meerdere verschillende definities van het tensorproduct tussen vectorruimten en van de tensoren zelf aangetroffen. Ik weet nog niet welke definitie mij het beste bevalt.

Voor tensoren twijfel ik tussen de eerder vermelde definitie:

 

(...) heb ik een herformulering van de natuurkundige en technische definitie van een tensor gevonden die er (...) logisch acceptabel uitziet. Zie: "1.9 Een wiskundige interpretatie van het ’ingenieurs tensor begrip’" in: http://www.win.tue.nl/~degraaf/2F800/TENSOR.pdf

En de "basisvrije" definitie:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor#As_multilinear_maps

Om logische kortsluiting in mijn hoofd te voorkomen wil ik maar één definitie als “de echte” beschouwen. Daarna kan ik dan aantonen (of het bewijs daarvoor opzoeken ) dat de andere definities ook tot tensoren leiden.

[Professor Puntje]

Nachtje over geslapen, en keuze gemaakt.
 
Mijn ijkpunt wordt de onderstaande definitie van tensoren als multilineaire afbeeldingen:
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor#As_multilinear_maps
 
Alternatieve omschrijvingen (definities) moeten dan daaraan getoetst worden.

[Professor Puntje]

Een alternatieve definitie van tensoren loopt via het tensorproduct van vectorruimten:

 
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor#Using_tensor_products

 

Omdat ik voor tensoren inmiddels de definitie als multilineaire afbeeldingen als grondslag heb gekozen ligt het nu voor de hand voor het tensorproduct de volgende definitie te hanteren:  Voor eindige vectorruimten (V, + , . ) en (W, + , . ) verstaan we onder het tensorproduct T de verzameling van alle bilineaire afbeeldingen van V x W naar R. We noteren het tensorproduct van V en W als:

\( \mbox{T} = \mbox{V} \otimes \mbox{W} \,\, . \)

 
Daarbij is T met de volgende optelling + en scalaire vermenigvuldiging . tot een vectorruimte (T, + , . ) gemaakt:

(r+s)((x, y)) = r((x, y)) + s((x, y))

(a.r)((x, y)) = a.r((x, y))
 
We zullen (meestal) geen onderscheid maken tussen de tensorproductruimte (T, + , . ) en andere daaraan isomorfe vectorruimten.

 

 
Nu nog zien of dat een deugdelijke en bruikbare definitie is en bekijken hoe die definitie zich verhoudt tot bericht #35 van Math-E-Mad-X...

[Professor Puntje]

Voor eindige vectorruimten (V, + , . ) en (W, + , . ) verstaan we onder het tensorproduct T de verzameling van alle bilineaire afbeeldingen van V x W naar R. We noteren het tensorproduct van V en W als:

\( \mbox{T} = \mbox{V} \otimes \mbox{W} \,\, . \)

Aantekening: het moet zijn eindigdimensionale vectorruimten in plaats van 'eindige vectorruimten' en (V, + , . ) en (W, + , . ) dienen bovendien vectorruimten over R te zijn.

 

Daarbij is T met de volgende optelling + en scalaire vermenigvuldiging . tot een vectorruimte (T, + , . ) gemaakt:

(r+s)((x, y)) = r((x, y)) + s((x, y))

(a.r)((x, y)) = a.r((x, y))

 

Ik moet nog nagaan dat zo inderdaad een vectorruimte ontstaat.

 

We zullen (meestal) geen onderscheid maken tussen de tensorproductruimte (T, + , . ) en andere daaraan isomorfe vectorruimten.

 

Naar ik heb gemerkt is dat gebruikelijk.

 

Nu nog zien of dat een deugdelijke en bruikbare definitie is en bekijken hoe die definitie zich verhoudt tot bericht #35 van Math-E-Mad-X...

 

Daar ben ik nog mee bezig, maar het wordt al weer laat.........

[Professor Puntje]

Persoonlijk vind ik het veel eleganter om het tensorproduct van twee vectorruimten gewoon te definieren als een abstract algebraisch product.
 
Bijvoorbeeld:
Zij V een n-dimensionale vectorruimte met basis

\(\{v_1,v_2...v_n\}\)

en W een m-dimensionale vectorruimte met basis  

\(\{w_1,w_2...w_m\}\)

Dan is het tensor product

\(V\otimes W\)

gedefinieerd als een mxn-dimensionale vectorruimte met basis:

\(\{v_{1,1},v_{1,2}...v_{n,m}\}\)

Vervolgens kun je het tensor product tussen vectoren definieren als een lineaire afbeelding T van VxW naar

\(V\otimes W:\)

\(T(v_i,w_j) = v_{i,j}\)

En vervolgens kun je dan de gebruikelijke notatie 

\(v_i \otimes w_j\)

gewoon definieren als 

\(v_i \otimes w_j := T(v_i,w_j) = v_{i,j} \)

 
Uiteraard moet je deze definities nog wel even netjes uitbreiden naar lineare combinaties van basisvectoren in V en W. En verder kunnen we opmerken dat W ook de duale ruimte van V mag zijn.

 
Op het internet vond ik net onderstaande boekje:
 
http://www.ime.unicamp.br/~llohann/Algebra%20Linear%20Verao%202013/Material%20extra/Linear%20algebra%20via%20exterior%20product.pdf
 
Is dat ongeveer de aanpak die je voorstaat?

[Professor Puntje]

opgave 525 keer bekeken

 
 
Het lijkt me te gaan lukken om uitgaande van de door mij gekozen definities te bewijzen dat (T, + , . ) een nxm-dimensionale vectorruimte is. Maar dat gaat dan wel een bladzijde of tien aan bewijzen kosten. Voor mij is het een goede oefening, maar of het zin heeft dat gepriegel hier te posten?
 
Mogelijk kan het allemaal ook veel sneller, bijvoorbeeld langs de door Math-E-Mad-X geschetste weg?

[Math-E-Mad-X]

 
Op het internet vond ik net onderstaande boekje:
 
http://www.ime.unicamp.br/~llohann/Algebra%20Linear%20Verao%202013/Material%20extra/Linear%20algebra%20via%20exterior%20product.pdf
 
Is dat ongeveer de aanpak die je voorstaat?

 
Dat ziet er inderdaad uit als datgene wat ik bedoelde.