Derdegraadsvergelijking oplossen

[JWRuitenberg]

Goedenavond,
 
Ondertussen ben ik bezig met het oplossen van een volgend probleem, namelijk een derdegraadsvergelijking. Nu kan ik met behulp van de formule van Cardano behoorlijk ver komen, maar in de opdracht staat:
 
Gebruik x = u^(1/3) - v^(1/3). Ik heb ondertussen op wisfaq en dergelijke gezocht, maar daar kom ik telkens op de formule van Cardano terecht. Is er nog een andere oplossingsmethode die gebruikt wordt voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen die gebruik maakt van de hiervoor genoemde formule? Of zie ik een simpele 'verbouwing' over het hoofd?

[Safe]

Van welke verg ga je uit ...

[JWRuitenberg]

Van x³ + 6x - 20 = 0

[Safe]

Vul deze substitutie eens in ...

[Safe]

Is er een probleem ...

[tempelier]

Dat je weer op Cardano uit komt is niet zo vreemd, want met een degelijke substitutie wordt die formule afgeleid.
 
Misschien is het dus wel de bedoeling dat je daar uitkomt.

[JWRuitenberg]

Maar, en dat komt misschien door mijn beperkte kennis  , ik kom na het invullen van de substitutie even niet verder...
 
(u^(1/3) - v^(1/3))³ + 6(u^(1/3) - v^(1/3)) - 20 = 0
(u^(1/3) - v^(1/3))³ + 6u^(1/3) - 6v^(1/3) - 20 = 0
 
En dan..? 

[Safe]

Ken je de formule voor (a+b)^3 ...
Zo niet, dan wel (a+b)(a+b)(a+b)= ...

[JWRuitenberg]

Dan kom ik uit op u - u^(2/3)v^(1/3) + u^(1/3)v^(2/3) - v
 
Uitwerken levert dan op 
 
u - v - u^(1/3)v^(1/3)(u^(1/3) - v^(1/3)) + 6(u^(1/3) - v^(1/3)) - 20 = 0
 
En volgens mij kun je dan u in v gaan uitdrukken zoals:
 
u^(1/3)v^(1/3) = 6 en u - v = 20
uv = 216 -> u = 216/v
 
of doe ik dan wat verkeerd? Want x = u - v en x is geen 20 in deze vergelijking... 

[Safe]

u -3u^(2/3)v^(1/3) + 3u^(1/3)v^(2/3) - v  let op!
 
u - v - 3u^(1/3)v^(1/3)(u^(1/3) - v^(1/3)) + 6(u^(1/3) - v^(1/3)) - 20 = 0

 
Haal nu 3(u^(1/3) - v^(1/3)  in de tweede en derde term buiten haakjes dan kan je door u^(1/3)v^(1/3)=2 te stellen, de verg u-v=20 en uv=8 verder oplossen ...

[JWRuitenberg]

Ondertussen ben ik zover dat v = 6√3 - 10.
u = 8/(6√3 - 10)
 
Maar hoe ga ik dan verder? Want u moet uitkomen op 6√3 + 10...

[JWRuitenberg]

Sorry... Ik ben er al achter.. Je vermenigvuldigt gewoon met (6√3 + 10)/(6√3 + 10). 
 
Hartelijk bedankt voor alle tips en adviezen, mede dankzij jullie en vooral dankzij Safe heb ik de oplossing gevonden!

[aadkr]

en welke oplossing heb je dan gevonden?

\(x_{1}=2\)

\(x_{2}=.....\)

\(x_{3}=......\)

[JWRuitenberg]

O, ik zie nu dat ik in mijn beginpost niet duidelijk ben geweest. De vraag was om met behulp van x = u^(1/3) - v^(1/3) te laten zien dat voor x³ + 6x - 20 = 0 geldt dat u = 6√3 + 10 en v = 6√3 - 10.

[Safe]

Sorry... Ik ben er al achter.. Je vermenigvuldigt gewoon met (6√3 + 10)/(6√3 + 10). 

 
Goed gevonden! 
Ook, als v=6√3 - 10 en u - v=20 dan is u=...
 
Zijn er nog vragen?