Oplossen differentiaalvergelijking

[Marko]

Ik weet niets van baggeren, maar ik vond dit document:
 
https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/I._oe4625_Chapter06.pdf
 
Op pagina 15 en 17 staan verhelderende plaatjes:

Geen grote variaties op de tijdschaal van secondes dus, wel een mogelijke significante toe- en/of afname binnen de tijdschaal van je simulatie. 
 
 
Ik heb wat moeite met je berekening van het gemiddelde. De gemiddelde dichtheid in de pijp begint direct na de opstart toe te nemen, niet pas na 40 seconden. Na 40 seconden komt het eerste slib aan de bovenkant uit de pijp, de gemiddelde dichtheid in de pijp is dan gelijk aan het gemiddelde van de dichtheden tussen 0 en 40 seconden. 
 
Wat je dus moet/kunt doen is eerst een array vullen met (in dit geval) 340 datapunten, waarvan de eerste 40 gelijk zijn aan de dichtheid van het water dat dan uit de pijp komt. Daarna 300 datapunten die overeenkomen met dedichtheid van het baggerslib wat uit de pijp komt. 
 
Vervolgens maak je een nieuwe array de gemiddelde dichtheid, het eerste elemten is het gemiddelde van t=1 tot t=40, het tweede van t=2 tot t=41 enzovoort. Uiteindelijk krjig je dan een array die net zo lang is als je simulatie, en die voor ieder tijdstip van de simulatie (bij benadering) de gemiddelde dichtheid in de opstaande pijp geeft.
 
Zo kun je je simulatie uitvoeren met de dichtheid ter plaatse van de pomp, waar die dichtheid relevant is, en met de gemiddelde dichtheid in de pijp op de plaatsen waar dat gemiddelde relevant is.
 
Wat interessant zou kunnen zijn om te simuleren is wat er gebeurt wanneer (vrij plotseling) de dichtheid bij de pomp af- of toeneemt, dus een plotselinge verandering van grondsoort of iets dergelijks, en zo blijft (een stapfunctie dus). 

[Igor Batoukhtine]

Ik heb wat moeite met je berekening van het gemiddelde. De gemiddelde dichtheid in de pijp begint direct na de opstart toe te nemen, niet pas na 40 seconden. Na 40 seconden komt het eerste slib aan de bovenkant uit de pijp, de gemiddelde dichtheid in de pijp is dan gelijk aan het gemiddelde van de dichtheden tussen 0 en 40 seconden.

Daar heb je gelijk in, mijn redenatie was dat het gemiddelde pas na 40 seconden bekend is (door de 1e meting die na 40 seconden plaats vindt), maar het blijft wel om het gemiddelde gaan tijdens de verandering. Is het alleen nog de vraag hoe dit in Simulink aangeboden zal gaan worden aan de DV. Omdat de meting pas na 40 seconden plaats vindt zal de 1e dichtheid pas na 40 seconden bekend zijn (zie 1e figuur. waarbij de 1e 40 seconden de gemiddelde dichtheid die van water is). Vanaf 40 secconden zal de gemiddelde dichtheid toe gaan nemen (met wat er bekend is).
 

rho gemiddeld 315 keer bekeken

Wat interessant zou kunnen zijn om te simuleren is wat er gebeurt wanneer (vrij plotseling) de dichtheid bij de pomp af- of toeneemt, dus een plotselinge verandering van grondsoort of iets dergelijks, en zo blijft (een stapfunctie dus). 

Dit lijkt mij ook een goede situatie inderdaad. Dit weekend is het nog even druk met andere zaken, maar ik zal hier maandag weer mee aan de slag gaan in Simulink (de Matlab basis is er in ieder geval). Ik laat het je maandag weer weten. Bedankt in ieder geval voor je tips en advies !

[Marko]

Daar heb je gelijk in, mijn redenatie was dat het gemiddelde pas na 40 seconden bekend is (door de 1e meting die na 40 seconden plaats vindt), maar het blijft wel om het gemiddelde gaan tijdens de verandering. Is het alleen nog de vraag hoe dit in Simulink aangeboden zal gaan worden aan de DV. Omdat de meting pas na 40 seconden plaats vindt zal de 1e dichtheid pas na 40 seconden bekend zijn (zie 1e figuur. waarbij de 1e 40 seconden de gemiddelde dichtheid die van water is). Vanaf 40 secconden zal de gemiddelde dichtheid toe gaan nemen (met wat er bekend is).

 
Je moet 2 dingen scheiden: In de praktijk zul je steeds een dichtheid kunnen meten, 40 seconden nadat de vloeistof met die dichtheid door de pomp ging. Dat kan gevolgen hebben voor het regelen. In feite kun je helemaal niets met die meting. Het liefst had je waarschijnlijk de dichtheid bij de pomp willen meten, zodat je direct de pomp op die veranderende dichtheid kunt regelen. 
 
Voor het regel kun je er niets mee, behalve eventueel als extra controle: als blijkt dat de pomp bijgeregeld moet worden en 40 seconden later meet je een veranderde dichtheid, dan kun je concluderen dat dat de oorzaak van de snelheidsverandering was. Moet de pomp bijgeregeld worden en meet je 40 seconden later nog steeds dezelfde dichtheid, dan zal er een andere oorzaak zijn. 
 
Maar nu doe je een simulatie. Die simulatie maakt gebruik van getallen die je er zelf instopt. Een van die getallen (de dichtheid van de ingaande stroom) komt op verschillende plaatsen en op verschillende tijdstippen terug: op het moment dat de vloeistof met die dichtheid de pomp ingaat, maar ook nog de daarop volgende 40 seconden omdat het de gemiddelde dichtheid in de pijp beïnvloedt. Er is echter geen sprake van dat een waarde pas 40 seconden ná het tijdstip dat het van belang is bekend is. Op ieder tijdstip is bekend welke waardes van invloed zijn en meegenomen moeten worden. Maar in feite is dat ook wat je berekening hier laat zien: vanaf t=0 een toename van de gemiddelde dichtheid in de pijp. Na 40 seconden, wanneer de hele pijp vol zit met baggerslib een min of meer constante dichtheid die alleen wat toevallige fluctuaties laat zien.
Ter hoogte van de pomp zie je enkel die toevallige fluctuaties. 
 
Prettig weekend, en succes met de laatste loodjes (denk ik?)

[Igor Batoukhtine]

Het is iets later dan maandag, maar moest nog het een en ander in Simulink produceren. Wat ik nu heb is als volgt:
 

regeling 314 keer bekeken

 
Hierbij is de berekening van de gemiddelde dichtheid door de leiding en de dichtheid thv de pomp verwerkt. Dan heb ik nog wel een vraag over de wrijvingsverliezen in de leiding. Hierbij wordt in de gegeven differentiaalvergelijking een constante dichtheid gebruikt bij het Darcy-Weisbach gedeelte, maar aangezien het in mijn situatie wijzigt vervang ik deze constante voor de gemiddelde dichtheid in de leiding (en niet de dichtheid thv de pomp toch?).
 
Dan onbreken er nog twee dingen in mijn model namelijk de inertie van de aandrijving en de baggerpomp. Voor beide zijn ze bekend, respectievelijk:

1. 0.102 [kg/m²]
2. 3.184198609 [kg/m²]

Het resultaat van bovenstaand model is hieronder gegeven. Hierbij is wel een constante dichtheid gebruikt en loopt het gemiddelde toe totdat de gehele leiding gevuld is met de constante dichtheid (even voor het gemak).

resultaat constante dichtheid 314 keer bekeken

Hierbij wijzigt het toerental bijvoorbeeld direct (wat niet realistisch is), hierdoor heb ik de inertie van de pomp en motor nodig.
 
Heb je misschien informatie / literatuur waarmee ik dit in het model kan plaatsen? Ik zit zelf te denken aan toepassing van Newton's eerste wet, alleen nog even uitzoeken hoe denk ik(?)