Contraintuïtieve divergente series

[anusthesist]

Nu kent iedereen wel de serie:

1) 1+2+3+... = - 1/12

Maar als ik naar de volgende serie kijk:

2) 1³+2³+3³... = 1/120

Dan vind ik dat zeer contraintuïtief. Sowieso is de eerste serie al vreemd, maar wat mij echt verwondert is als je de eerste serie als premisse neemt en zegt dat deze de volgende getallen bevat: 1 (1³) en 8 (2³) etc. dus alle getallen die ook in de tweede serie zitten.

Dan zegt mijn boerenverstand en intuïtie dat serie 1 alle getallen van serie 2 bevat PLUS de getallen ertussen zoals 2,3,4,5,6,7,9,10 etc. Toch is het totaal van serie 2 groter dan serie 1 (positief vs. negatief).

Nu hoef ik niet per se een heel uitgebreid wiskundig bewijs te zien, maar ik zou het zeer op prijs stellen als iemand het wat intuïtiever zou kunnen maken a.d.h.v. een voorbeeld of eenvoudig bewijs.

Bij voorbaat dank!

[Professor Puntje]

Divergente reeksen hebben in de gewone zin geen som. Alleen door er kunstgrepen op toe te passen kun je er soms toch (in zekere zin) een som aan toekennen. Maar daarbij gelden niet automatisch meer al de gebruikelijke en intuïtieve rekenregels voor convergente reeksen. Zie ook hier:
 

[anusthesist]

Naar aanleiding van dat filmpje stelde ik deze vraag Ben ook gesubscribed op zijn kanaal.

Hij legt alles prima uit, maar ik mis het fundamentele verschil tussen -in de OP- serie 1 en serie 2.

Is relatief eenvoudig uit te leggen of wiskundig te laten zien hoe het kan dat een serie die alle getallen bevat van een andere serie plus nog andere getallen, kleiner kan zijn dan die andere serie?

Of moet je daarvoor echt 2 A4'tjes aan wiskunde erop loslaten?

[Professor Puntje]

Is relatief eenvoudig uit te leggen of wiskundig te laten zien hoe het kan dat een serie die alle getallen bevat van een andere serie plus nog andere getallen, kleiner kan zijn dan die andere serie?

Of moet je daarvoor echt 2 A4'tjes aan wiskunde erop loslaten?

 
Op zich heeft de som van een oneindig aantal termen geen uitkomst. Althans volgt die uitkomst niet uit de definitie van de optelling. Als we aan een oneindige reeks toch een som willen toeschrijven moeten we dus zelf definiëren wat dat betekent. Er zijn een aantal verschillende manieren om dat te doen, waarvan sommige nuttiger en/of intuïtief aansprekender zijn dan andere. Helaas is er - voor zover mij bekend - geen beste definitie die in principe alle andere overbodig maakt. Ook is het niet zo dat alle definities dezelfde uitkomst voor de som opleveren.
 
Kortom: het contra-intuïtieve zit 'm niet in de (divergente) reeksen op zich maar in de gebruikte sommatie-definities die dergelijke rare resultaten opleveren. Het is dan ook niet zo dat hier "een serie die alle getallen bevat van een andere serie plus nog andere getallen, kleiner [is] dan die andere serie", maar enkel dat de sommen volgens een speciale gebruikte definitie de vermelde waarden hebben. Volgens andere sommatie-definities kan dat weer anders zijn.

[anusthesist]

Kun je een voorbeeld noemen van een andere sommatie-definitie die andere uitkomsten geeft?

[Professor Puntje]

Kun je een voorbeeld noemen van een andere sommatie-definitie die andere uitkomsten geeft?

 
Ik kom zelf alleen op een vorm van nonstandaard analyse waarin de reeks een oneindig groot nonstandaard getal als som heeft. Maar in onderstaande link worden wel een paar voorbeelden genoemd van sommatiemethoden die voor de eerste reeks een andere som dan -1/12 opleveren:
 
https://www.reddit.com/r/math/comments/4gpjks/are_there_any_examples_of_known_summationmethods/
 
Ik heb die vraag daar zelf gesteld .