Coördinaten-vrije minkowski-ruimtetijd?

[Professor Puntje]

Dit boek komt heel aardig in de richting:
 
http://link.springer.com/article/10.1023/A%3A1018846208570#page-1
 
(Klik op "Look Inside")

[Math-E-Mad-X]

 In een euclidische ruimte hebben vectoren al een betekenis als gerichte lijnstukjes, los van de coördinaten die er al dan niet ook nog gebruikt worden. Maar voor de minkowski-ruimtetijd is het niet evident of er überhaupt zoiets als coördinaatvrije vectoren mogelijk zijn. 

 
Voor een Minkowski-ruimtetijd geldt precies hetzelfde als voor een willekeurige andere ruimte waarop coordinaten gedefinieerd zijn (een manifold). Een Minkowski-ruimtetijd is namelijk niets anders dan een gewone manifold, waarbovenop een Minkowski-metriek gedefinieerd is.
 
De vraag hoe begrippen als 'coordinaten', 'vectoren' en 'tensoren' precies gedefinieerd zijn is volkomen onafhankelijk van de vraag of je wel of geen Minkowski-metriek op je manifold gedefinieerd hebt. Een Minkowski-metriek is alleen maar iets "extra's" wat je toevoegt aan de ruimte, en niet iets dat de wiskundige eigenschappen van je ruimte wezenlijk verandert.
 
Het is dus wat mij betreft wel degelijk evident dat coordinatenvrije vectoren mogelijk zijn op een Minkowski-ruimtetijd (mits je dat al geaccepteerd hebt voor algemene manifolds).

[Professor Puntje]

Stel dat ik een minkowski-ruimtetijd als topologische variëteit heb waarvan ik weet dat er een minkowski-metriek (en bijpassende coördinaten) op gedefinieerd kunnen worden maar dat ik besluit om dat niet te doen. Ik wil immers zien of vectoren coördinaten- en metriekvrij zijn te definiëren. Dan houd ik - als ik het goed begrepen heb - een verzameling "kale" gebeurtenissen M over tezamen met een omgevingen-topologie die voor ieder gebeurtenis x aangeeft welke verzamelingen gebeurtenissen omgevingen van x vormen.
 
Je zou vectoren kunnen introduceren als geordende gebeurtenissenparen, maar hoe ga je die dingen dan optellen of met een scalair vermenigvuldigen?

[Math-E-Mad-X]

Even voor de duidelijkheid: er lijken nu twee vragen door elkaar heen te lopen.
 
De eerste vraag is hoe je tensoren in het algemeen coordinatenvrij kunt definieren.
 
De tweede vraag is of je dat nog steeds kunt doen op een Minkowski-ruimtetijd.
 
Het antwoord op de tweede vraag is, zoals ik aangaf in mijn vorige post, ja. Dus, blijft alleen de eerste vraag over, en die vraag heeft dus verder niets meer met Minkowski-ruimes te maken. Ik stel dan ook voor dat we voor de duidelijkheid het woord Minkowski niet meer gebruiken.

[Math-E-Mad-X]

Je zou vectoren kunnen introduceren als geordende gebeurtenissenparen, maar hoe ga je die dingen dan optellen of met een scalair vermenigvuldigen?

 
Nee, vectoren zijn in principe niet gedefinieerd op een manifold^*.
 
Wel kun je aan ieder punt op de manifold een zogenaamde raakruimte toekennen. Zo'n raakruimte is per definitie een vectorruimte. De vectoren en tensoren waar we het in de natuurkunde over hebben zijn dus elementen van de raakruimtes die raken aan onze ruimtetijd manifold.
 
Ik moet je eerlijk bekennen dat ik de precieze definitie van een raakruimte vergeten ben, dus dat moet ik nog even nazoeken.
 
^*Je kunt natuurlijk wel het speciale geval hebben dat je manifold zelf ook een vectorruimte is, maar dat is in het algemeen niet het geval.

[Math-E-Mad-X]

Zie hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space

[Professor Puntje]

Het ziet er dus naar uit dat je voor een rigoureuze aanpak die raakruimtes nodig hebt. Die opmerking ben ik in boeken en op internet al vaker tegengekomen, maar dat gaat mij voorlopig nog boven de pet. Misschien is het maar beter om te wachten tot ik de wiskundige kant van de ART onder de knie heb....

[Professor Puntje]

Ik heb zo'n idee dat er voor de SRT toch een eenvoudiger oplossing moet zijn om viervectoren als coördinaat-vrije objecten te introduceren dan via raakruimtes. Zoiets:

1. De verzameling van alle inertiaalsystemen (met bijbehorende coördinatenstelsels) geven we aan met In.

2. Het geordende viertal coördinaten (x,y,z,t) dat in een inertiaalsysteem I bij een gebeurtenis G hoort noteren we als viert(G,I).

3. Laat (G,H) een geordend tweetal gebeurtenissen zijn en I een inertiaalsysteem met bijbehorend coördinatenstelsel. Dan noteren we de verzameling van alle geordende tweetallen gebeurtenissen (D,E) waarvoor viert(E,I) - viert(D,I) = viert(H,I) - viert(G,I) als: Viert(G,H,I).
 
4. Laat Tw de verzameling van alle geordende tweetallen gebeurtenissen zijn.

Voor ieder geordend tweetal gebeurtenissen (G,H) is er nu een functie (viervector(G,H))(  ) van In naar P(Tw) volgens: (viervector(G,H))(I) = Viert(G,H,I).
 
(Maar ik moet nog napluizen of je langs deze weg inderdaad een vectorruimte van coördinaat-vrije viervectoren kunt maken.)

[Professor Puntje]

Gevonden:
 
http://www.amazon.com/Geometrical-Minkowski-Spacetime-Monographs-Mathematics/dp/1852333669
 
En dan: "Hoofdstuk 2. Vectors in Spacetime".
 
Daar worden ruimtetijd-vectoren netjes als absolute geometrische objecten geïntroduceerd. Het boek had ik nota bene zelf al eens eerder gekocht en staat in mijn boekenkast.