Leg met Heisenberg uit dat atoom niet in rust kan zijn

[appelbloesem]

In het Nederlandse centraal examen vwo natuurkunde 2016 tijdvak 1 was er de opgave "Trillingen binnen een molecuul" over de trilling van een waterstofatoom (of H-kern) binnen een molecuul waterstofjodide (HI). Boven vraag 20 staat "In de quantumfysica is het uitgesloten dat het waterstofatoom in het molecuul helemaal stilstaat.". Vraag 20 luidt: "Leg dit uit met behulp van de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg."

Met de onbepaaldheidsrelatie (OR) wordt de plaats-impuls-relatie bedoeld in de vorm

\(\Delta x\cdot\Delta p\geq h/(4\pi)\)

; de "statistische" relatie

\(\sigma_x\cdot\sigma_p\geq h/(4\pi)\)

staat niet in het examenprogramma vwo.

De leerling verkrijgt voor een goed antwoord twee scorepunten. Volgens het officiële correctievoorschrift waarmee een docent zoals ik het antwoord van een leerling moet beoordelen, wordt er 1 scorepunt toegekend voor "inzicht dat 'stilstaan' betekent dat

\(\Delta p=0\)

en/of

\(\Delta x=0\)

". (Het andere scorepunt is voor "gebruik van de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg en conclusie".)

Uitlegmogelijkheid 1, met

\(\Delta p=0\)

, kan volgens mij zijn: "Stel dat H stilstaat, dan is

\(p=0\)

, dus

\(\Delta p=0\)

. Omdat H zich binnen het HI-molecuul bevindt (afgezien van tunneling), is

\(\Delta x\)

eindig.

\(\Delta x\cdot\Delta p=\text{eindig}\cdot0=0\)

is in strijd met de OR, dus kan H niet stilstaan." Tot zover geen probleem; op het niveau van het vwo lijkt me dit goed. (Graag commentaar als deze uitleg niet goed is.)

De vermelding "en/of

\(\Delta x=0\)

" in het correctievoorschrift suggereert echter dat de vraag ook kan worden beantwoord via

\(\Delta x=0\)

. Bij voorbeeld: "Als we de plaats van H twee maal meten en we vinden op beide momenten dezelfde waarde voor x, dan is

\(\Delta x=0\)

, dus staat H stil. Maar dit schendt de OR want

\(\Delta x\cdot\Delta p=0\cdot\Delta p=0\)

" Hiermee heb ik een probleem. In deze uitleg is

\(\Delta x\)

een verschil tussen twee opeenvolgende metingen van

\(x\)

-- maar dat is toch wezenlijk iets anders dan de onbepaaldheid waarover de OR gaat?

Een andere uitleg met

\(\Delta x=0\)

zou kunnen luiden "Stel dat H stilstaat, dan is

\(\Delta x=0\)

, in strijd met de OR." Dit lijkt me ook onjuist, want als ik weet dat iets stilstaat, weet ik niet noodzakelijk wáár het stilstaat. Voorbeeld: als ik nul dopplerverschuiving meet in het licht van een laserbron, weet ik nog niet wáár de bron stilstaat, zodat

\(\Delta x\)

zeer groot is.

Mijn vraag: is een kwantummechanisch juiste uitleg bij vraag 20 mogelijk via

\(\Delta x=0\)

? Zo ja, welke uitleg?

[Emveedee]

Als iets stilstaat dan weet je dat

\(\Delta p = 0\)

en dat is in strijd met de onzekerheidsrelatie. Over

\(\Delta x\)

zegt dat inderdaad niets.

[jkien]

Boven vraag 20 staat "In de quantumfysica is het uitgesloten dat het waterstofatoom in het molecuul helemaal stilstaat.". Vraag 20 luidt: "Leg dit uit met behulp van de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg."

 
Een leerling kan als volgt redeneren: stilstand is mogelijk in de klassieke fysica, maar is het ook mogelijk in de quantumfysica?
Stilstand in de klassieke fysica betekent Δx=0 en Δp=0. Dat is allebei incompatibel met de onbepaaldheidsrelatie, dus stilstand is uitgesloten in de quantumfysica.

De redenering blijft geldig als hij Δp weglaat.

[appelbloesem]

Reactie op jkien: als men zegt "Stilstand in de klassieke fysica betekent

\(\Delta x=0\)

...", wat is dan de betekenis van

\(\Delta x\)

?
In het geciteerde is

\(\Delta x\)

volgens mij het verschil tussen de ene gemeten waarde van

\(x\)

en een latere gemeten waarde van

\(x\)

.
In die klassieke betekenis volgt uit stilstand inderdaad

\(\Delta x=0\)

(en omgekeerd).
Maar dat is toch wezenlijk iets anders dan de

\(\Delta x\)

zoals bedoeld in de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg?
Dan kan men toch niet deze klassieke

\(\Delta x=0\)

gebruiken in de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg?
 
Overigens zou ik graag een goede kwantummechanische uitleg aan de hand van

\(\Delta x=0\)

zien zonder gebruik van klassiek-natuurkundige inzichten. Als men klassiek-natuurkundige inzichten of parallellen gebruikt in de kwantummechanica, is er al snel het gevaar van verwarring en misconcepties.
 
 
P.S. Hoe kan ik hier (La)TeX invoeren?

[jkien]

Reactie op jkien: als men zegt "Stilstand in de klassieke fysica betekent

\(\Delta x=0\)

...", wat is dan de betekenis van

\(\Delta x\)

?
In het geciteerde is

\(\Delta x\)

volgens mij het verschil tussen de ene gemeten waarde van

\(x\)

en een latere gemeten waarde van

\(x\)

.
In die klassieke betekenis volgt uit stilstand inderdaad

\(\Delta x=0\)

(en omgekeerd).
Maar dat is toch wezenlijk iets anders dan de

\(\Delta x\)

zoals bedoeld in de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg?
Dan kan men toch niet deze klassieke

\(\Delta x=0\)

gebruiken in de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg?

Het atoom trilt in het molekuul rondom een evenwichtspositie, Δx is ongeveer de gemiddelde afstand tot de evenwichtspositie. Vergelijkbaar met Δx van een elektron in een atoom.

Ik kan me niet zo gauw een concreet experiment voorstellen waarin je herhaaldelijk de uitwijking van hetzelfde trillende atoom meet.

 

Overigens zou ik graag een goede kwantummechanische uitleg aan de hand van

\(\Delta x=0\)

zien zonder gebruik van klassiek-natuurkundige inzichten. Als men klassiek-natuurkundige inzichten of parallellen gebruikt in de kwantummechanica, is er al snel het gevaar van verwarring en misconcepties.

Je bedoelt een zuiver kwantummechanische uitleg voor vraag 20, neem ik aan? Die bestaat volgens mij niet. Absolute stilstand van een deeltje heeft betekenis in de klassieke mechanica, maar niet in de quantumfysica. Stilstand heeft geen echte definitie in de quantumfysica, want absolute stilstand doet zich daar niet voor. De criteria Δx=0 en/of Δp=0 voldoen niet omdat ze incompatibel zijn met de onbepaaldheidsrelatie.

[appelbloesem]

Reactie op jkien... De examenmakers vragen om uitleg met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg, dus om een kwantummechanische uitleg. Zij suggereren met hun correctievoorschrift dat die uitleg mogelijk is met

\( \Delta x=0 \)

waarin

\( \Delta x \)

niet een klassieke maar kwantummechanische betekenis heeft. Dat is de uitleg die ik zoek. Het is wel sneu voor de vwo-examenkandidaten als die uitleg niet bestaat, zoals jkien stelt.

[efdee]

In de onbepaaldheidsrelatie zijn (on-)nauwkeurigheden in de waarnemingen bedoeld:
de onbepaaldheidheid in x en p bij simultane meting.
Volgens mij zegt die relatie niets als er niet gemeten wordt!
 
Hoe zouden er quarks in een proton kunnen zitten??? Volgens mij zijn Δx en Δp volstrekt onbepaald, als je niet meet.
Anders gezegd: ze hebben geen betekenis. Daarmee is de examenvraag onzinnig.

[appelbloesem]

Reactie op efdee... Terecht wijst u op het belang van metingen of waarnemingen. Daarover hebben de examenmakers ter verduidelijking geschreven: "Als we de plaats van H twee maal meten en we vinden op beide momenten dezelfde waarde voor x, dan is , dus staat H stil. Maar dit schendt de OR want "
Hiermee heb ik echter een probleem. In deze uitleg gaat

\(\Delta x=0\)

over een verschil tussen twee opeenvolgende metingen van . Dat is toch wezenlijk iets anders dan de (on-)nauwkeurigheid

\(\Delta x\)

in de waarneming van

\(x\)

ofte wel de onbepaaldheid waarover

\(\Delta x\cdot\Delta p\geq h/(4\pi)\)

gaat? Mijns inziens gebruiken de examenmakers

\(\Delta x\)

in twee verschillende betekenissen, en dat lijkt me niet juist.

[efdee]

Mijn vraag: is een kwantummechanisch juiste uitleg bij vraag 20 mogelijk via

\(\Delta x=0\)

? Zo ja, welke uitleg?

Als de onbepaaldheid in x extreem klein is, moet volgens Heisenberg de onbepaaldheid erg groot zijn en dat is bepaald geen stilstand.

[physicalattraction]

Ik neem aan dat jullie deze onzekerheidsrelatie in de klas behandeld hebben. Wat was toen de precieze definitie van

\(\Delta x\)

en

\(\Delta p\)

?

[appelbloesem]

Voor een definitie van

\(\Delta x\)

en

\(\Delta p\)

kijk ik eerst in het officiële, landelijke examenprogramma. Hierin staan de "eindtermen", die globaal beschrijven wat de kandidaat (leerling) bij het examen moet kunnen. In het examenprogramma staat: "De kandidaat kan in contexten de golf-deeltjedualiteit en de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg toepassen, en de quantisatie van energieniveaus in enkele voorbeelden verklaren aan de hand van een eenvoudig quantumfysisch model" (subdomein F1). De symbolen

\(\Delta x\)

en

\(\Delta p\)

, een definitie ervan en de relatie

\(\Delta x\cdot\Delta p\geq h/(4\pi)\)

staan niet in het examenprogramma.
 
Vervolgens kijk ik in de officiële, landelijke "syllabus" waarin de specificaties van de eindtermen staan en de bijbehorende formules. Hierin vinden we de specificatie: "De kandidaat kan ... quantumverschijnselen beschrijven in termen van de opsluiting van een deeltje, ... de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg toepassen". Hierbij staat wel

\(\Delta x\cdot\Delta p\geq h/(4\pi)\)

, maar geen definitie of omschrijving van

\(\Delta x\)

en

\(\Delta p\)

.
 
De officiële documenten geven geen definitie van

\(\Delta x\)

en

\(\Delta p\)

.
Omdat verschillende scholen verschillende schoolboeken gebruiken, is hetgeen ik in de klas behandeld heb, hier minder relevant.
 
In het officiële correctievoorschrift is bij deze examenvraag onvoldoende duidelijk wat wordt bedoeld met

\(\Delta x=0\)

. Het lijkt erop dat klassiek-fysische en kwantumfysische betekenissen van

\(\Delta x\)

naast of door elkaar worden gebruikt. Dat is gevaarlijk, want veel verwarring en misconcepties bij (het eerste begin van) kwantumfysica ontstaan juist doordat men klassieke inzichten (grootheden, redeneringen, ...) gaat toepassen in een kwantumfysische context.
 
Volgens mij betekent

\(\Delta x\)

in de kwantumfysica de fundamentele, onontkoombare onbepaaldheid (onzekerheid) in de uitkomst van een meting van de positie.
De examenmakers schrijven echter: "Stel, we meten de positie van het atoom en we meten even later nogmaals de positie. Als we twee maal dezelfde waarde van de positie vinden, is

\(\Delta x=0\)

en is het atoom in rust. Maar dat is in strijd met

\(\Delta x\cdot\Delta p\geq h/(4\pi)\)

, dus kan het atoom niet stilstaan." Hier gebruiken de examenmakers

\(\Delta x\)

als een verschil van twee opeenvolgende metingen. Mijns inziens is dat wezenlijk iets anders dan hetgeen met

\(\Delta x\)

wordt bedoeld in de onbepaaldheidsrelatie.
 
Aan de leerlingen wordt een kwantumfysische uitleg gevraagd van het feit dat het H-atoom niet kan stilstaan. Maar aan de hand van

\(\Delta x=0\)

in de kwantumfysische betekenis kan die uitleg mijns inziens niet worden gegeven. Graag correctie als ik het mis heb.