maakt de bolschilstelling een fout, de wereld is toch niet plat?

[Professor Puntje]

Hier hebben we alvast een berekening van de gravitatiekracht die twee symmetrisch op gelijke afstand geplaatste puntmassa's op een testmassa uitoefenen:
 
http://dev.physicslab.org/document.aspx?doctype=3&filename=universalgravitation_universalgravitationforces.xml
 
Daaruit moet de positie van het "tuanderzwaartepunt" dan eenvoudig te berekenen zijn. Het lijkt me ook sterk dat zoiets niet al ergens op het internet staat, maar ik kon het zo snel niet vinden.

[Professor Puntje]

Voor het gemak heb ik de relevante afbeelding en formule uit de hierboven gelinkte website hieronder nog even overgenomen:
 

situatie 690 keer bekeken

 

formule 690 keer bekeken

 
Bron: http://dev.physicslab.org/document.aspx?doctype=3&filename=universalgravitation_universalgravitationforces.xml

[Professor Puntje]

De positie x_T op de negatieve x-as van het tuanderzwaartepunt T behorend bij de twee puntmassa's M (en de testmassa m) vinden we dan uit de gelijkstelling van de kracht "net F_x" aan de gravitatiekracht F_T die een denkbeeldige puntmassa ter grootte van 2M vanuit het tuanderzwaartepunt T op de testmassa m uit zou oefenen. 
 

\( net \, F_x \, = \, \mbox{F}_T \)

 

\( 2 \mbox{G} \, \frac{\mbox{m} \mbox{M} x}{(\mbox{a}^2 + x^2)^{3/2}} \, = \, \mbox{G} \, \frac{\mbox{m} \, (2 \mbox{M})}{(-x_T + x)^2} \)

 

\( \frac{x}{(\mbox{a}^2 + x^2)^{3/2}} \, = \, \frac{1}{(-x_T + x)^2} \)

 

\( (-x_T + x)^2 \, = \, \frac{(\mbox{a}^2 + x^2)^{3/2}}{x} \)

 

\( -x_T + x \, = \, \sqrt{\frac{(\mbox{a}^2 + x^2)^{3/2}}{x}} \)

 

\( x_T - x \, = \, - \sqrt{\frac{(\mbox{a}^2 + x^2)^{3/2}}{x}} \)

 

\( x_T \, = \, x - \sqrt{\frac{(\mbox{a}^2 + x^2)^{3/2}}{x}} \)

[Michel Uphoff]

Een object met een massa heeft een massacentrum (barycentrum). Meerdere objecten hebben behalve ieder een barycentrum ook een gemeenschappelijk barycentrum.
Bij twee even grote massa's ligt dat gemeenschappelijk barycentrum natuurlijk exact halverwege de objecten. Hieronder heb ik in een simulatieprogramma de afstanden en massa's zo ingesteld dat de onderlinge gravitatiegracht precies 100N is:

Image1 689 keer bekeken

 
Ga ik nu, zoals jij doet, een van die twee massa's splitsen in twee halve massa's die ik symmetrisch op de verticale as verschuif, dan verandert dat helemaal niets aan de positie van het gemeenschappelijk barycentrum (klik even op de afbeelding):

Image2 689 keer bekeken

Wat er wel verandert, is de zwaartekracht die beide halve massa's uitoefenen op M1, die wordt minder. Dat heeft twee oorzaken; de onderlinge afstand is √2 groter geworden. Maar ook de richting van de krachten is gewijzigd, de verticale componenten heffen elkaar op.
 
In het schetsje hierboven heb ik gemakshalve een hoek a van 45 graden genomen, zodat de zijden zich verhouden als 1:1:√2. De gravitatiekracht van een 0,5M2 op M1 is dus 0,5(halve massa M2) * 1/(√2)² , oftewel 0,25 van de oorspronkelijke kracht van M2. Maar de kracht staat onder een hoek, en de verticale component van die kracht wordt geëlimineerd door de tegengestelde kracht van de andere 0,5M2. We hebben dus alleen te maken met de horizontale component, en die is 1/√2 van de totale kracht. Een object 0,5M2 oefent dus een kracht uit die 0,25 / √2 groot is. We hebben twee horizontale componenten, dus is de horizontale kracht op M1 gelijk aan 2 * 0,25 / √2 = 1/4.√2 (in cijfers ongeveer 0,35355 van de oorspronkelijke kracht die M2 uitoefende). In de link die PP je gaf staat het op een andere en wiskundig nettere manier uitgelegd.
 
Nu is jouw vraag naar ik begrijp: Hoe ver moet ik oorspronkelijke massa M2 naar links verschuiven om een even sterke horizontale gravitatiekracht te bewerkstelligen als die welke beide halve massa's gezamenlijk uitoefenen. Dat heeft dus helemaal niets te maken met een gewichts/massa/barycentrum.
1/x²= 1/4.√2 dus x = 1,6818. Maw. M2 moet 0,6818 eenheden naar links op de x as verschoven worden om dezelfde gravitatiekracht uit te oefenen als twee halve massa's onder de gebruikte hoek van 45 graden.

Image3 689 keer bekeken

 
Wat onmiddellijk opvalt, is dat het barycentrum zich nu wel verplaatst heeft. Verder kan je eenvoudig bedenken dat naarmate hoek a groter wordt de vervangende positie van M2 steeds meer naar links verschuift, en het barycentrum ook. Is hoek a 90 graden, dan moet de afstand tot M2 oneindig worden en ligt het barycentum precies tussen 0,5M2 en 0,5M2 in, en dat is ook de positie van M1, die dan dus per saldo geen netto gravitatiekracht ondervindt.
 
Dat barycentrum is van belang. Het is het punt waarin alle drie de massa's samenkomen (of omheen blijven roteren) als we de onderlinge gravitatie haar werk laten doen, klik op deze animatie:

com 689 keer bekeken

 
Aangezien het barycentrum verschuift is de (door mij vermoedde) kern van jouw betoog dat een naar links verschoven M2 een bruikbare en exacte vervanging is voor twee symmetrisch verplaatste halve M2 massa's onder een zelfde hoek, beslist niet correct. De positie van het barycentrum/het punt van samenkomst is niet meer hetzelfde, de versnelling (en dus snelheid) gaat naarmate de hoek a groter wordt steeds meer naar nul en de afgelegde banen verschillen drastisch.
 
Wat je wel kan stellen is dat naarmate de hoek a nul nadert die verschillen steeds kleiner, en in extremis verwaarloosbaar worden.

[Professor Puntje]

Op zich is het niet verboden een begrip als het tuanderzwaartepunt in te voeren, maar de vraag is wat het praktisch nut daar dan van is.
 
Zolang tuander voor dit nieuwe type zwaartepunt niet meer claimt dan er direct uit de definitie van het tuanderzwaartepunt kan worden afgeleid kan dit nieuwe zwaartepunt ook niet "fout" zijn. Maar we moeten even afwachten of het daar inderdaad bij blijft....

[Professor Puntje]

@ Michel Uphoff
 
Over deze animatie:
 

animatie 690 keer bekeken

 
Waarom zou de berekende baan van M₁ volgens het tuanderzwaartepunt daarvan afwijken? Het tuanderzwaartepunt is toch zó gedefinieerd dat de vectoriële gravitatiekracht die de testmassa zou ondervinden wanneer de totale massa M₂ zich in het tuanderzwaartepunt zou bevinden hier hetzelfde is als de feitelijk ondervonden vectoriële gravitatiekracht die wordt teweeggebracht door de twee deelmassa's ter grootte van 1/2 M₂ ?

[Michel Uphoff]

De aanvankelijke gravitatiekracht is inderdaad hetzelfde, dat is het uitgangspunt van m2 op -0,6818 (bij a = 45 graden).
Maar de afstand van m1 tot het barycenter en tot m2 verschilt. Dat heeft consequenties voor de toename van de versnelling, de weglengte, de reisduur en zelfs de baan, dat kunnen we natuurlijk berekenen, of even bekijken.
Hier beide situaties in animatie, met het bijbehorende v-t diagram en de uitgeoefende kracht op m1 (even op klikken):
 

1 690 keer bekeken

 

---

 
 

2 690 keer bekeken

 
Merk op, dat bij deze parameters in de eerste situatie m2 aan het einde zelfs even door het barycenter heen schiet en van richting verandert.
 
Hier de vt diagrammen van beide situaties:

eind1 690 keer bekeken

eind2 690 keer bekeken

[Professor Puntje]

Ik vrees dat we de zaak verschillend interpreteren. Hoe ik het zie is dat je de plaats van het tuanderzwaartepunt op basis van de momentane ware positie van de twee deelmassa's 1/2 M₂ voor ieder tijdstip (of in een animatie voor zeer veel tijdstippen met kleine tussenpozen) steeds moet bijstellen om ervoor te zorgen dat de testmassa M₁ steeds de correcte vectoriële gravitatiekracht blijft ondervinden. Dat moet dan volgens mij - per definitie - goed gaan.
 
Wel leidt het tot de vraag hoe met behulp van het tuanderzwaartepunt de banen van de twee deelmassa's 1/2 M₂ moeten worden berekend? Volgens mij in principe op dezelfde wijze, alleen hebben we daar de geschikte formules nog niet voor. Als je drie puntmassa's m₁, m₂ en m₃ hebt die onder invloed van elkaars gravitatie bewegen kan je momentaan steeds twee puntmassa's m₁ en m₂ vervangen door één denkbeeldige puntmassa ter grootte van m₁ + m₂ zich bevindende op de positie van hun tuanderzwaartepunt ten opzichte van m₃ en dat levert dan op ieder moment de momentane vectoriële versnelling van m₃ .
 
Ik geef toe dat het zo heel omslachtig wordt. Daar staat tegenover dat het tuanderzwaartepunt door de topicstarter ook niet geïntroduceerd is om er het drielichamenprobleem mee op te lossen. Het gaat hier over de gravitatiewerking van een zwaar lichaam zoals de aarde op een kleine en lichte testmassa voor het meten van het plaatselijke gravitatieveld. In dit laatste geval is de beweging van de deelmassa's die de aarde vormen onder invloed van de testmassa te verwaarlozen.

[Michel Uphoff]

de plaats van het tuanderzwaartepunt ... steeds moet bijstellen om ervoor te zorgen dat de testmassa M₁ steeds de correcte vectoriële gravitatiekracht blijft ondervinden. Dat moet dan volgens mij - per definitie - goed gaan.

 
Ja, dat is inderdaad heel andere, en complexe, koek. Ik denk niet dat TS dit bedoelt, maar dat moet hij zelf even duidelijk maken.

[Professor Puntje]

Inderdaad - eerst maar even afwachten wat de TS er zelf van vindt....

[tuander]

Ik moet eerlijk toegeven dat ik niet alles helemaal kan volgen wat jullie hierboven geschreven hebben. Maar wat ik wel begrijp is dat jullie bezig zijn met het tuanderzwaartepunt en het barycentrum (gemeenschappelijk zwaartepunt?) van twee puntmassa's. Ik zelf ben daarin op zich niet zo vreselijk geïnteresseerd. Ik ben meer geïnteresseerd in de vraag of het zwaartepunt van een  bolmassa wel of niet in het geografische midden ligt.
 
Dat het gravitatieveld rondom twee puntmassa's afwijkt van die van 1 dubbelzware puntmassa, geloof ik ook wel. Een dubbele puntmassa heeft ook niet de geografische vorm van een bol. Maar de vorm van een puntmassa lijkt wel op de vorm van een bol. En voor een satelliet in een concentrische cirkelbaan rond een bol of puntmassa blijft de afstand tot het geografisch middelpunt van de bol of puntmassa altijd gelijk. Maar omdat een eventueel tuanderzwaartepunt van een bol 'meedraait' met de satelliet onder het werkelijke geografisch middelpunt van de bol, krijgt de satelliet dan in theorie een 'virtuele cirkelbaan' met grotere afstand rond het tuanderzwaartepunt, dan tegelijkertijd de reële fysieke cirkelbaan rond het geometrische middelpunt van dezelfde bol.
 
Je zou ook kunnen zeggen dat de precieze vorm van het gravitatieveld van een 'tuanderbol' dan net iets anders is dan de precieze vorm van het gravitatieveld van een 'newtonbol'.
 
Maar dat is voorlopig natuurlijk nogal hypothetisch, ik heb het eventuele zwaartepuntsverschil tussen een newtonbol en een tuanderbol nog niet kunnen aantonen.
 
Ik ben al wel blij met het voorlopige resultaat dat het zwaartpunt van een fysiek lichaam niet altijd hoeft samen te vallen met het geografisch midden van dit lichaam. Dat is voor mij nogal een openbaring, ik heb op school geleerd dat het zwaartepunt van een object in een homogeen gravitatieveld altijd samenvalt met het meetkundige midden van dat object / geografisch zwaartepunt. En heb me nooit gerealiseerd dat dit natuurlijk niet opgaat voor objecten in een niet-homogeen gravitatieveld.
 
Maar ik ben een leek vergeleken met jullie als het gaat om de technische bagage. Dus ik kan alleen maar in absolute verbazing staan te kijken naar de discussie van jullie hierboven. Ik durf zelfs haast niks meer te schrijven.

[tuander]

of een virtuele tuandercirkelbaan met een kleinere afstand dan de reële cirkelbaan natuurlijk. die is meer waarschijnlijk, geloof ik. De eventuele tuanderbaan is een virtuele cirkelbaan met een andere afstand dan de gelijktijdige reële cirkelbaan. Dus de afstand van die satellietbaan(een satelliet met een bepaalde massa) wijkt dan af van de 'newton'-satellietbaan, zonder dat je de ruimte zelf hoeft uit te rekken of in te krimpen. Alles onder voorbehoud natuurlijk.

[tuander]

maar ik geloof dat ik hier wel ongeveer aan het eind van mijn kennis ben, ik weet niet of ik vanaf hier nog vreselijk veel verder kan met mijn beperkte technische kennis. Ik hoop misschien nog zelf een berekening te kunnen maken over het tuanderzwaartepunt van bol, maar zover ben ik nog niet voorlopig. Ik heb alleen nog maar vage ideeën over hoe ik dat eventueel ga aanpakken

[Professor Puntje]

In principe kan je een bol gelijkmatig vullen met paren puntmassa's zoals in de tekening van berichtje #62. Als dat er zeer veel zijn (in totaal N) met alle een gelijke kleine massa M/N krijg je het effect van een bij benadering homogene bol met massa M. De kracht van ieder paar op een testmassa m kun je met de formule van berichtje #62 uitrekenen. De totale kracht op testmassa m is dan de som van al die krachten op m van die paren puntmassa's in de bol.

Een dergelijke berekening kan (voor niet al te grote N) door een geschikt computerprogramma worden uitgevoerd. Dat kun je dan vergelijken met een berekening volgens de bolschilstelling voor een overeenkomstige bol die niet met puntmassa's maar met een hypothetische continu homogeen verdeelde materie gevuld is.   

 

[tuander]

In principe kan je een bol gelijkmatig vullen met paren puntmassa's zoals in de tekening van berichtje #62. Als dat er zeer veel zijn (in totaal N) met alle een gelijke kleine massa M/N krijg je het effect van een bij benadering homogene bol met massa M. De kracht van ieder paar op een testmassa m kun je met de formule van berichtje #62 uitrekenen. De totale kracht op testmassa m is dan de som van al die krachten op m van die paren puntmassa's in de bol.

Een dergelijke berekening kan (voor niet al te grote N) door een geschikt computerprogramma worden uitgevoerd. Dat kun je dan vergelijken met een berekening volgens de bolschilstelling voor een overeenkomstige bol die niet met puntmassa's maar met een hypothetische continu homogeen verdeelde materie gevuld is.   

 

 
Voor het eerste deel ben ik het met je eens, je kunt een computerprogramma gebruiken om de totaalkracht op testmassa p door een bol gelijkmatig gevuld met een n-aantal puntmassa's m, uitrekenen.
 
Maar dan wordt het simpeler, je hoeft dit niet te vergelijken met de bolschilstelling. De uitkomst van het computerprogramma kun je gewoon vergelijken met een simpele berekening voor een vervangpuntmassa met massa (n*m) in het geografische midden van de bol. Zijn deze twee waardes gelijk voor computerbenadering en vervangpuntmassa, dan betekent dat dat het zwaartepunt van de bol inderdaad gelocaliseerd is in het middelpunt van de bol, zoals de bolschilstelling veronderstelt. Mochten de twee waardes echter verschillen, dan klopt de bolschilstelling echter niet.
 
Ik weet niet of iemand dit ooit heeft geprobeerd, maar het zou een interessant onderzoeksvoorstel zijn. Ik ben zelf niet in staat om dit computerprogramma te schrijven en uit te voeren, de middelen ontbreken me simpelweg om het te laten doen, en ik heb zelf geen programmeervaardigheden.