Complexe getallen en vectoren in de fysica

[efdee]

Complexe getallen en vectoren vertonen wiskundig verrassend sterke overeenkomsten.
Waardoor worden niet alleen vectoren gebruikt in de natuurkunde, maar ook complexe getallen?
Of net andersom?
Is dat puur traditie en/of historie, of zit daar meer achter?

[jkien]

Als je alleen optelt zijn complexe getallen uitwisselbaar met vectoren. Pas als je complexe getallen vermenigvuldigt worden ze exotisch in vergelijking met vectoren.

In de klassieke mechanica kun je een golf met twee componenten voorstellen als een complex getal of een vector. Dat is gelijkwaardig omdat je golven alleen optelt, niet vermenigvuldigt.

In de quantummechanica wordt het nodig om golven te vermenigvuldigen, of golven en operatoren. Alleen met de complexe voorstelling van de golf krijg je de juiste exotische resultaten.

[tempelier]

De uitwisselbaarheid is zeker niet volledig.
 
Wanneer beide kunnen zijn er verschillende rede voor de keuze die gemaakt wordt.
 
De gewoonte (traditie)
Wat het makkelijkste loopt
Persoonlijke voorkeur.
................
 
PS.
Met matrices kun je meer overnemen van de complexe getallen dan met vectoren.
Er is een isomorfe tussen 2-2 matrices en de complexe getallen.

[Th.B]

Inderdaad is het zo dat de complexe getallen wel een (voor de hand liggende) algebraïsche structuur hebben, terwijl R² dat niet heeft. Anderzijds zou je dus wel een algebraïsche structuur aan R² kunnen geven door vectoren te vermenigvuldigen net zoals je dat doet met complexe getallen, dus (a,b) x (c,d) := (ac-bd, ad+bc). Dat is dus niet de conventie, maar in wezen maakt het geen verschil.
 
Zoals tempelier al zegt, is er een isomorfisme tussen de complexe getallen en een bepaalde lineaire deelruimte van de 2x2 matrices. De gangbare matrixvermenigvuldiging komt dan ook overeen met de vermenigvuldiging van complexe getallen (men spreek van een ringhomomorfisme, wat dus nog wat sterker is).
 
In hogere dimensies is van dit soort overeenkomsten geen sprake meer, en worden dus alleen maar vectoren gebruikt.   

[Flisk]

Anderzijds zou je dus wel een algebraïsche structuur aan R² kunnen geven door vectoren te vermenigvuldigen net zoals je dat doet met complexe getallen, dus (a,b) x (c,d) := (ac-bd, ad+bc). Dat is dus niet de conventie, maar in wezen maakt het geen verschil.

Dat gaat, wel is er dan meer kans op het maken van fouten vind ik. Als dit soort vermenigvuldiging gewenst is, voelt het veel intuïtiever aan wanneer je complexe getallen gebruikt.

[Th.B]

Absoluut, dat is wat ik eigenlijk ook probeerde te zeggen.