maakt de bolschilstelling een fout, de wereld is toch niet plat?

[tuander]

Ik zou trouwens adviseren om een testmassa vlak bij het oppervlak van de bol te kiezen, omdat ik daar de grootste afwijkingen vermoed. Een afstand 1,6*R van puntmassa p tot middelpunt bol(met radiusR) bijvoorbeeld.
 
Op een oneindig grote afstand vermoed ik een oneindig klein verschil tussen de bolschilstelling(=totaalmassa in middelpunt bol) en de computerbenadering(=gelijk verdeelde massa over de inhoud van de bol)

[Professor Puntje]

De bolschilstelling gaat over een continue homogene massaverdeling in de bol en kan als zodanig niet weerlegd worden door een bewijs op basis van een gelijkmatig met puntmassa's opgevulde bol. Het zijn wezenlijk verschillende gevallen, hoewel we mogen verwachten dat ze elkaar maar weinig ontlopen wanneer het aantal puntmassa's in de bol zeer groot wordt genomen.
 
Wel is het zo dat de materie uit atomen (of in elk geval uit deeltjes) bestaat, zodat een aanpak op basis van puntmassa's in principe correcter is dan een aanpak op basis van een continue homogene massaverdeling. Aan de andere kant zou het aantal puntmassa's in de bol voor een realistische aanpak in de orde van grootte van het aantal in de bol aanwezige atomen moeten komen, wat praktisch ondoenlijk is. Het is dus nogal een academisch probleem. Niettemin zou het wel aardig zijn om in een paar typische gevallen te zien hoe groot het verschil in uitkomsten tussen de continue aanpak en de aanpak met puntmassa's voor verscheidene grote waarden van N nu eigenlijk is.
 
Computers en programmeren zijn niet mijn ding, dus verder heb ik daar weinig over te melden...

[Professor Puntje]

Mogelijk is er over het maximale verschil in uitkomsten tussen de continue en de discrete aanpak toch nog wel iets meer te zeggen zonder dat daarvoor computerberekeningen nodig zijn. Vanwege de symmetrie van het geheel komen de paren puntmassa's ook zelf weer in symmetrisch ten opzichte van het middelpunt van de bol gelegen paren voor. De totale gravitatiekracht op de testmassa kan dan als de som van de krachten uitgeoefend door viertallen puntmassa's in de bol gezien worden. Ik kom daar nog op terug....

[tuander]

[...]Vanwege de symmetrie van het geheel komen de paren puntmassa's ook zelf weer in symmetrisch ten opzichte van het middelpunt van de bol gelegen paren voor. De totale gravitatiekracht op de testmassa kan dan als de som van de krachten uitgeoefend door viertallen puntmassa's in de bol gezien worden.[...]

 
Op dit inzicht zit ik ook al enige tijd. Vandaar dat ik ook al een formule had opgesteld voor twee puntmassa's op een gelijke afstand 'x' rond het middelpunt [(a-d)² = (a²-x²)² / (a² + x²)] zie post #54 en #56.
 
[begin edit]: deze formule is trouwens niet goed werkbaar voor een viertal paralelle puntmassa's t.o.v. x-as en y-as (en z-as? achttal puntmassa's?), de formule geeft een beschrijving voor twee symmetrisch geplaatste puntmassa's op de x-as rond het middelpunt. Maar is dus niet heel erg werkbaar geloof ik [eind edit]
 
Het probleem is geloof ik om het juiste viertal puntmassa's te vinden die opgeteld een tuanderzwaartepunt hebben dat samenvalt met het geografische middelpunt van de bol. Dit is namelijk niet automatisch het geval voor elk viertal puntmassa's.
 
En nog een opmerking, omdat een bol een ruimtelijk fenomeen is, is het misschien handiger om te denken aan een achttal puntmassa's op de hoeken van een kubus vorm binnen de bol, of een rechte doos-vorm binnen de bol. Misschien is zelfs nog een andere configuratie van meerdere puntmassa's wenselijk. Als je ze niet verstandig kiest, wordt de totaalformule heel ingewikkeld met veel factoren (van a,x,y,c,d) die moeilijk te vereenvoudigen zijn

[Professor Puntje]

 Als je ze niet verstandig kiest, wordt de totaalformule heel ingewikkeld met veel factoren (van a,x,y,c,d) die moeilijk te vereenvoudigen zijn

 
Juist! We nemen daarom aan dat de puntmassa's binnen de bol in een "kubische kristalstructuur" geplaatst zijn. Dus zo:
 

800px-Kubisches_Kristallsystem 598 keer bekeken

 
Bron: https://nl.wikipedia.org/wiki/Kubisch_kristalstelsel#/media/File:Kubisches_Kristallsystem.jpg
 
De oorsprong O van ons driedimensionale xyz-stelsel kiezen we precies in het midden van één zo'n kubus en de richtingen van de assen van ons coördinatenstelsel kiezen we zo dat iedere ribbe van elke kubus parallel aan een van de coördinatenassen ligt. De puntmassa's in de bol kunnen dan worden opgedeeld in viertallen die ten opzichte van de testmassa m in P de onderstaande configuratie hebben:
 

viertallen 599 keer bekeken

 
(De x-as in deze bovenstaande tekening komt overeen met de x-as in ons driedimensionale assenstelsel, maar voor de q-as hoeft dat niet zo te zijn. Het xq-vlak kan ten opzichte van het xyz-stelsel allerlei standen aannemen zolang de x-as van het xq-stelsel maar met de x-as van het xyz-stelsel blijft samenvallen.) 
 
Mee eens?

[Professor Puntje]

Mee eens?

 
Hm - gaat dat zo wel lukken? Een cilinder kan je op de aangegeven wijze óók vullen puntmassa's, maar het gravitatieveld daarvan is anders dan van een bol. Met die viertallen alleen gaat het dus niet lukken het gravitatieveld van een continu en van een discreet gevulde bol met elkaar te vergelijken.

[tuander]

 
De oorsprong O van ons driedimensionale xyz-stelsel kiezen we precies in het midden van één zo'n kubus en de richtingen van de assen van ons coördinatenstelsel kiezen we zo dat iedere ribbe van elke kubus parallel aan een van de coördinatenassen ligt. De puntmassa's in de bol kunnen dan worden opgedeeld in viertallen die ten opzichte van de testmassa m in P de onderstaande configuratie hebben:
 
 
(De x-as in deze bovenstaande tekening komt overeen met de x-as in ons driedimensionale assenstelsel, maar voor de q-as hoeft dat niet zo te zijn. Het xq-vlak kan ten opzichte van het xyz-stelsel allerlei standen aannemen zolang de x-as van het xq-stelsel maar met de x-as van het xyz-stelsel blijft samenvallen.) 
 
Mee eens?

 
Antwoord op vraag1: Let op! We hebben het over een ruimtelijk figuur? Niet over een plat vlak!
 
Voor een computermodel voor berekening van de afstand tussen het tuanderpunt en het geografisch midden is een 3-dimensionaal model vereist. Het is dus verstandig om 8-tallen puntmassa's tegelijkertijd te beschouwen, en niet 4-tallen. De 8 puntmassa's bevinden zich dan op specifiek afstanden om de oorsprong van het x,y,z-assenstel. Als je je 8-tallen correct kiest, hebben de voorste vier allmaal dezelfde hoek en afstand tot testmassa in positie p . En de achterste 4 hebben ook dezelfde hoek en afstand tot testamassa in punt p. Je hoeft dan alleen maar het tuanderpunt uit te rekenen van twee puntmassa's (1 voor, en 1 achter) Dit is dan hetzelfde als het tuanderpunt voor alle 8 puntmassa's samen.
 
Nog een keer een opmerking: ik heb zelf al een poging gedaan om met een stuk papier en een ouderwetse rekenmachine een kubus van 8 puntmassa's door te rekenen voor 1 afstand. De eerst valkuil was al om de afstand van een puntmassa tot de x-as bepalen. Dat is niet simpelweg de y-coördinaat van dit punt in het zij-aanzicht, maar de wortel uit (y-kwadraat + z-kwadraat)(pythagoras) waarbij z-kwadraat natuurlijk de z-coördinaat is en niet de positie z van het tuanderpunt. U had me al gewaarschuwd voor deze mogelijke verwarring
 
Wat me brengt op het antwoord op vraag 2: ik zou geen q-as toevoegen aan dit geheel. Een bol is aan alle kanten symmetrisch. het heeft geen toegevoegde waarde om p te roteren om de bol. We zijn slechts geïnteresseerd in de vraag waar het tuanderpunt ligt voor verschillende posities van p, dwz voor verschillende afstanden tot het oppervlak van de bol

[tuander]

 
 
Nog een keer een opmerking: ik heb zelf al een poging gedaan om met een stuk papier en een ouderwetse rekenmachine een kubus van 8 puntmassa's door te rekenen voor 1 afstand. De eerst valkuil was al om de afstand van een puntmassa tot de x-as bepalen. Dat is niet simpelweg de y-coördinaat van dit punt in het zij-aanzicht, maar de wortel uit (y-kwadraat + z-kwadraat)(pythagoras) waarbij z-kwadraat natuurlijk de z-coördinaat is en niet de positie z van het tuanderpunt. U had me al gewaarschuwd voor deze mogelijke verwarring

 Oeps, ik vergat de uitkomst van mijn berekening te delen. U was wellicht benieuwd. ik heb, geloof ik, 8 puntmassa's doorgerekend op de hoekpunten van een kubus met ribbe 6, t.o.v. een testmassa op een afstand 5 van het middelpunt van de kubus, dus op een afstand 2 midden boven 1 van de zijvlakken van de kubus. In de praktijk heb ik dus van slechts 2 puntmassa's het tuanderpunt proberen uit te rekenen. De zijwaartse componenten van de voorste 4 punten heffen elkaar precies op, dus je rekent de resterende richtingscomponent terug naar een tuanderpunt-v4 voor de voorste 4. Eenzelfde soort berekening heb ik gedaan voor de achterste vier puntmassa's. de zijwaarste componenten heffen elkaar op, en je bepaalt het tuanderpunt-a4 voor de resterende richtingscomponent voor de achterste 4 puntmassa's. Tot mijn verbazing echter bleken de beide tuanderpunten in z-a4 en zv-4 links van de oorsprong van het (x,y,z)-assenstelsel uit te komen. Ik heb toen niet eens meer de moeite genomen om het gezamenlijke tuanderpunt van de 8 puntmassa's uit te rekenen. Het totale tuanderpunt voor deze 8 puntmassa's op deze afstand zal zeker niet meer samenvallen met het middelpunt van de kubus
 
Maar misschien heb ik een rekenfout gemaakt, het zijn nog vrij onoverzichtelijke berekeningen.

[tuander]

Ik denk opeens, misschien is het handiger om van de voorste vier de richtingscomponent uit te rekenen van de totaalkracht op de testmassa in p, en van de achterste vier ook. Deze twee resultante vectoren op te tellen tot de totaalvector van de 8 puntmassa's op de testmassa in p, en deze vervolgens terug te rekenen naar een tuanderpunt voor de 8 puntmassa's samen. Dat scheelt weer een hoop dubbel rekenwerk.

[Professor Puntje]

Het gebruik van puntmassa's die liggen op de hoekpunten van kubussen waarvan de middelpunten op het middelpunt van de bol liggen maakt het lastig de bol gelijkmatig met zulke puntmassa's te vullen. Maar dat is wel essentieel voor de vergelijking die je wilt maken met een continu en homogeen gevulde bol. Hoe had je een gelijkmatige opvulling van de bol met puntmassa's op de hoekpunten van zulke kubussen gedacht?

Die extra q-as is noodzakelijk omdat ik xq-vlakken in verschillende standen beschouw zodat er voor alle ruimtelijk geplaatste viertallen van puntmassa's een bijbehorend xq-vlak bestaat waarin zij liggen.

Het gebruik van tuanderzwaartepunten is niet nodig wanneer je enkel geïnteresseerd bent in de gravitatiekracht buiten een bol gevuld met puntmassa's vergeleken met de gravitatiekracht van één puntmassa ter grootte van alle puntmassa's in de bol tezamen.

[tuander]

[...]dat je de plaats van het tuanderzwaartepunt op basis van de momentane ware positie van de twee deelmassa's 1/2 M₂ voor ieder tijdstip (of in een animatie voor zeer veel tijdstippen met kleine tussenpozen) steeds moet bijstellen om ervoor te zorgen dat de testmassa M₁ steeds de correcte vectoriële gravitatiekracht blijft ondervinden. Dat moet dan volgens mij - per definitie - goed gaan.
 
[...]

 
 

 
Ja, dat is inderdaad heel andere, en complexe, koek. Ik denk niet dat TS dit bedoelt, maar dat moet hij zelf even duidelijk maken.

 
Ik geloof dat ik nu pas begrijp wat jullie in post #68 en #69 schreven. En het antwoord is, vrees ik, dat professor puntje hier begrijpt waar ik naar toe wil, en dat ik Michel Uphoff gelijk moet geven dat de zaak dan wel complex wordt.
 
Wat betreft het door professor puntje genoemde 'drielichamenprobleem"; ik was slechts vaag op de hoogte van het bestaan van dit probleem. Ik heb überhaupt niet nagedacht over de vraag of je dit probleem met behulp van het tuanderpunt al dan niet zou kunnen oplossen.
 
Wel is het zo dat in de zon verschillende tuanderpunten tegelijkertijd probleemloos naast elkaar kunnen bestaan. Elke planeet heeft een eigen tuanderpunt in (de buurt van) de zon. Bijvoorbeeld planeet mars heeft een eigen tuanderpunt in de zon, en ook planeet saturnus heeft tegelijkertijd een (ander?) eigen tuanderpunt in de zon. Omdat het tuanderpunt een virtueel iets is, een rekenhulpmiddel, kan de zon probleemloos meerdere tuanderpunten bevatten. Zoals eerder gezegd, het tuanderpunt voor bijvoorbeeld planeet saturnus is niet afhankelijk van de massa van de planeet, maar slechts van de precieze positie van de planeet t.o.v. de zon. Ik wil het voorlopig maar laten bij deze opmerkingen, ik heb nog niet ver genoeg nagedacht over verdere gevolgtrekkingen

[tuander]

Ik weet eigenlijk te weinig van het bari-centrum.
 
Maar ik speculeer: Bijvoorbeeld de zon en planeet mars hebben een gemeenschappelijk bary-centrum. De (variabele) afstand tussen mars en zon wordt opgedeeld in twee stukken s en t waarbij s de afstand is van dit barycentrum tot de zon, en t de afstand is van het barycentrum tot mars? En dan geldt s/t = √(massa mars / massa zon) ? Waardoor het gemeenschappelijk barycentrum van beide objecten continue verandert als planeet mars een ellipsvormige baan om de zon beschrijft?
 
Ik moet wellicht nodig aan de zelfstudie over het barycentrum, maar wil me eigenlijk liever bezighouden met het tuanderpunt

[tuander]

Of blijft het barycentrum op dezelfde plek liggen terwijl planeet mars en de zon er in ellipsvormige banen omheen draaien? Waarbij natuurlijk de ellipsvormige baan van de zon ernstig gehinderd wordt door de gelijktijdige ellipsvormige baan van de zon rond zijn gemeenschappelijk barycentrum van alle andere planeten. Is dat laatste het drielichamenprobleem?

[tuander]

Het gebruik van puntmassa's die liggen op de hoekpunten van kubussen waarvan de middelpunten op het middelpunt van de bol liggen maakt het lastig de bol gelijkmatig met zulke puntmassa's te vullen. Maar dat is wel essentieel voor de vergelijking die je wilt maken met een continu en homogeen gevulde bol. Hoe had je een gelijkmatige opvulling van de bol met puntmassa's op de hoekpunten van zulke kubussen gedacht?

Die extra q-as is noodzakelijk omdat ik xq-vlakken in verschillende standen beschouw zodat er voor alle ruimtelijk geplaatste viertallen van puntmassa's een bijbehorend xq-vlak bestaat waarin zij liggen.

Het gebruik van tuanderzwaartepunten is niet nodig wanneer je enkel geïnteresseerd bent in de gravitatiekracht buiten een bol gevuld met puntmassa's vergeleken met de gravitatiekracht van één puntmassa ter grootte van alle puntmassa's in de bol tezamen.

 
Antwoord op vraag 1: kubus is misschien ook niet het goede woord, wellicht beter om het begrip 'doos' te begrijpen.
 
Stel dat men de oorsprong van het x,y,z-stelsel kiest in de lege ruimte precies tussen de 8 dichtsbijzijnde puntmassa's. Deze 8 dichtsbijzijnde puntmassa's bevinden zich wel degelijk in een kubusconfiguratie rondom oorsprong O. posities (x,y,z): de voorste vier(1,1,1)(1,1,-1)(1,-1,1)(1,-1,-1) en de achterste vier(-1,1,1)(-1,1,-1)(-1,-1,1)(-1,-1,-1)
 
Dan: beschouw vervolgens één van deze 8 puntmassa's, hij wordt omringd door 7 andere puntmassa's waarmee hij samen opnieuw een kubusvorm maakt.
bijvoorbeeld punt (1,1,1) wordt omringd oor 7 puntmassa's  (1,1,1) met de 7 puntmassa's (1,3,1)(3,3,1)(3,1,1) &(1,1,3)(1,3,3)(3,3,3)(3,1,3).
 
De afstand tot de x-as van deze puntmassa's wordt gegeven door √(y²+z²) De afstand tot testmassa in punt p wordt gegeven door de x-coördinaat van punt p minus de x-coördinaat van elk van deze punten.
 
Nu: beschouw dit hoekpunt in relatie tot de vier andere originele hoekpunten. De vraag is: kunnen we daar omliggende punten vinden met dezelfde afstand tot de x-as, en tevens dezelfde afstand tot punt p?
 
Antwoord:
bij (1,1,1) vind je bijvoorbeeld punt (3,3,1) waarvoor geldt:√(y²+z²)=√(9+1)=√10, en afstand tot p is {x(p)-3}
bij (1,1,-1) vind je bijvoorbeeld punt (3,3,-1) waarvoor geldt √(y²+z²)=√(9+1)=√10, en afstand tot p is {x(p)-3}
bij (1,-1,1) vind je bijvoorbeeld punt (3,-3,1) waarvoor geldt √(y²+z²)=√(9+1)=√10, en afstand tot p is {x(p)-3}
bij (1,-1,-1) vind je bijvoorbeeld punt (3,-3,-1) waarvoor geldt √(y²+z²)=√(9+1)=√10, en afstand tot p is {x(p)-3}
 
Ook bij de achterst vier punten (-1,1,1)(-1,1,-1)(-1,-1,1)(-1,-1,-1) vind je 4 vergelijkbare aangrenzende punten waarvoor hetzelfde geldt, namenlijk dat de afstand tot p gelijk is, en dat de afstand tot de x-as gelijk is
 
Ik zit mij zelfs af te vragen of je nog meer punten samen kunt nemen, maar ik ben nu even te lui, ik ben moe.
 
Antwoord op opmerking2: Het kiezen van een q-as lijkt mij contraproductief. Men rekent dan nog steeds in het platte vlak, en dreigt dezelfde mogelijke afrondingsfouten te maken als Newton

[tuander]

oeps een foutje, afstand tot punt p klopt niet, is natuurlijk zoiets als√ {[x(p)-3]²+y²+z²}
 
Maar excuses, ik ben te moe