maakt de bolschilstelling een fout, de wereld is toch niet plat?

[tuander]

ik vind inderdaad nog vier puntmassa's rond de voorste 4:
rond (1,1,1) vond ik (3,3,1) en vind ik tevens (3,1,3)
rond (1,1,-1) vond ik (3,3,-1) en vind ik tevens (3,1,-3)
rond (1,-1,1) vond ik (3,-3,1) en vind ik tevens (3,-1,3)
rond (1,-1,-1) vond ik (3,-3,-1) en vind ik tevens (3,-1,-3)

[Michel Uphoff]

Of blijft het barycentrum op dezelfde plek liggen terwijl planeet mars en de zon er in ellipsvormige banen omheen draaien?

Als de Zon en Mars de enige twee lichamen waren, ja:
 

Exoplaneten (9) 631 keer bekeken

 
Maar in werkelijkheid draaien er meer planeten om de Zon, waardoor de baan van de Zon om het barycenter van het zonnestelsel heel wat ingewikkelder is:
 

[tuander]

ik vind inderdaad nog vier puntmassa's rond de voorste 4:
rond (1,1,1) vond ik (3,3,1) en vind ik tevens (3,1,3)
rond (1,1,-1) vond ik (3,3,-1) en vind ik tevens (3,1,-3)
rond (1,-1,1) vond ik (3,-3,1) en vind ik tevens (3,-1,3)
rond (1,-1,-1) vond ik (3,-3,-1) en vind ik tevens (3,-1,-3)

 
Wat betreft de vraag waarom zoveel puntmassa's bestaan met zowel dezelfde afstand tot de x-as als dezelfde 'ware' afstand tot positie p: Al deze punten hebben dezelfde x-coördinaat, bevinden zich dus in een vlak met deze x-coördinaat dat parallel loopt aan het y-z vlak. In dit vlak bevinden al deze punten zich op een cirkel waarvan de straal dezelfde is als de afstand van elk van deze punten tot de x-as.
 
Maar dit was waarschijnlijk al bij u bekend. Een vervolgvraag is hoeveel punten je kunt verwachten op elke cirkel? Merk op dat in eerste plaats de x-coördinaat gelijk moet blijven, zo is namelijk het vlak gedefiniëerd waar de cirkel in ligt. Dan kun je alleen nog de y-coördinaat en de z-coördinaat zo kiezen dat de afstand tot de x-as √(y²+z²) dezelfde is. Als y=z vind je minstens vier punten .bijvoorbeeld voor x=9 en √(y²+z²) = √(25+25): (9,5,5) (9,5,-5) (9,-5,5) (9,-5,-5). Eventueel kun je meer punten vinden als als er meer punten voldoen aan de vergelijking √(y²+z²) = √(25+25). Voorts is opgemerkt dat er geen puntmassa's op de x-as liggen, of op de y-as, of op de z-as. Je zult dus nooit slechts 1 punt vinden dat op een dergelijke cirkel ligt, altijd minstens 4.
 
Dit zou betekenen dat je slechts een kwart-bol hoeft door te rekenen om het tuanderpunt voor een hele bol te bepalen. (de hele lengte van de bol over de x-as moet wel doorgerekend worden, maar in het y-z-vlak/assenstelsel hoef je slechts 1 kwadrant te nemen. Let wel dat je hierbij alleen de x-component van de gravitatiekrachten mag meenemen voor je berekening. De zijwaartse componenten (in richting y-as en/of z-as) worden in de kwart-bol weliswaar niet gecompenseerd door een tegenoverliggend punt, maar in de complete hele bol wél.
 
Verder is het waarschijnlijk handig om eerst alle resultante vectoren van alle puntmassa's op de testmassa in p uit te rekenen en op te tellen, en daarna pas deze totaalresultante vector terug te rekenen naar een positie van het tuanderpunt voor de bol.
 
Voor je computersimulatie zijn dan de volgende gevens handig:

• kies een punt p op de x-as met coördinaat (a,0,0)
• plaats in punt p een testmassa met massa m_p
• Definieër een bol gecentreerd rond de oorsprong van het x,y,z-assenstelsel
• Vul ruimte binnen de bolomtrek gelijkmatig met even grote (massa=m_n) puntmassa's op alle punten (x,y,z) met oneven waardes. bijvoorbeeld wel een puntmassa op (15,-9,13), maar niet op (5,24,37) omdat 24 een even getal is.
• Je telt het aantal puntmassa's binnen de bolomtrek, dit is n.
• De totaalmassa van de bol is dus n*m_n
• Van deze bol ga je alleen een kwartbol doorrekenen, wel het het volledige bereik over de x-as, maar bijvoorbeeld alleen het positieve bereik van y- en z-as
• In deze kwart-bol bevindt zich dan een n/4-aantal puntmassa's
• De afstand van een willekeurig punt tot de x-as is gegeven door √(y²+z²)
• De ware afstand van een willekeurig punt (b,y,z) tot positie p (a,0,0) is gegeven door √ {(a-b)² + (√(y²+z²))²} , wat te vereenvoudigen is tot √ {(a-b)² +y²+z²}.
• De formule voor de ware lengte van gravitatievector is: G*m_n*m_p / √ {(a-b)² +y²+z²}² wat te vereenvoudigen is tot G*m_n*m_p /(a-b)² +y²+z²
• De x-component van deze gravitatievector wordt gevonden door {G*m_n*m_p /(a-b)² +y²+z²} * (a-b)/√{(a-b)² +y²+z²}
• Deze waardes kunnen worden opgeteld voor alle puntmassa's in de totale kwartbol
• Vermenigvuldig deze waarde met 4 om de totaalvector F_bol voor de hele bol te vinden
• Het tuanderpunt (tu,0,0) voor de totale bol vind je vervolgens door: G*n*m_n*m_p / (a-tu)² = F_bol

 
Alvast een opmerking over de uitkomst van deze computerbenadering: Waarschijnlijk zal je vinden dat tu≠0, dus dat het tuanderpunt niet samenvalt met het midden van de bol. Er is hiervoor bij voorbaat al een aantal verklaringen voor te bedenken.

• De simulatie is slechts een benadering van de werkelijkheid, zou je meer punten doorekenen (n groter maken) dan krijg je waarschijnlijk een meer nauwkeurige uitkomst
• het kiezen van punten op een kubusvormige atoomstructuur zorgt mogelijk voor onverwachte afwijkingen. Wellicht is ook een simulatie nodig met atomen in een sinaasappel-stapel configuratie. Of in andere configuraties
• Maar zijn bovenste twee verklaringen voldoende uitgesloten, dan zou het ook kunnen dat tu≠0 omdat je de opgetelde massa van de bol niet samengebald mag denken in het middelpunt van de bol.

[Professor Puntje]

@ tuander
 
Berekeningen met brute rekenkracht zijn in principe altijd mogelijk. Daarmee kun je dan een indruk krijgen over de te verwachten afwijkingen van je tuanderpunt ten opzichte van het geometrische middelpunt voor het geval van een gelijkmatig met puntmassa's gevulde bol. Maar dat zal dan iemand anders moeten doen die meer kaas heeft gegeten van computers en programmeren (en daar ook meer lol in heeft!) dan ik. 
 
Ik denk nog wel na over een liefst ook elegante wiskundige aanpak, maar dat vlot niet erg. Het begint er naar uit te zien dat het geval van een gelijkmatig met puntmassa's gevulde bol zich daar niet voor leent. Mocht ik nog ergens op komen dan zal ik het laten weten, maar reken er maar niet meer op....

[tuander]

[....]
 
Ik denk nog wel na over een liefst ook elegante wiskundige aanpak, maar dat vlot niet erg. Het begint er naar uit te zien dat het geval van een gelijkmatig met puntmassa's gevulde bol zich daar niet voor leent. Mocht ik nog ergens op komen dan zal ik het laten weten, maar reken er maar niet meer op....

 
Ik zit ook wel met de wens voor een mathematische aanpak. Maar voorlopig zit ik met de vraag of dat Überhaupt vruchtbaar kan zijn. Als je de formule G*m*m/d*d hanteert als uitgangspunt kom je altijd uit op hetzelfde, als Newton geen structurele foutjes heeft gemaakt in zijn wiskundige benadering met bolschil en optellen van bolschillen tot bol. Dan ligt een opslossing voor een betere zwaartekrachtstheorie misschien meer in het zoeken naar een ander verschijnsel. Zoals bijvoorbeeld een theorie op basis van gravitonen, en misschien aannames over de vraag of gravitonen geabsorbeerd worden door omliggende deeltjes, of dat gravitonen heen en weer moeten gaan stuiteren tussen twee deeltjes, en dat deze stuitergravitonen niet meer in de ruimte buiten het hemellichaam terecht kunnen komen. maar daar gaat dit topic niet over.
 
De getallencrunch-controle van de wetten van newton zou mij gerust kunnen stellen in mijn vraag of ik Newton wel goed begrijp. En heeft voor mij vooral aanvullend nut om te kijken of moeite steken in een andere exacte theorie überhaupt zou kunnen lonen.
 
Intussen zit ik nog met een aantal vragen toch betreffende dit onderwerp.
 
vraag 1: ik ben niet genoeg bekend met Einsteins algemene relativiteitstheorie, maar klopt het als ik veronderstel dat volgens de relativiteitstheorie de omtrek van een cirkelbaan rond een ster niet gelijk is aan 2*pi*straal? Dit omdat de ruimte waar de straal zich in bevindt meer vervormd wordt dan de ruimte waar de cirkelbaan zich in bevindt?
 
vraag 2:Ik denk dat ik misschien ook bijna zelf wil proberen om mijn eigen computersimulatie te schrijven, als niemand anders het doet. Kan iemand een programmeertaal aanraden? Of een andere manier van aanpak adviseren. Ik heb vanuit 25 jaar geleden een heel klein beetjje programmeer-ervaring met basic en pascal, en vanuit 10 jaar geleden een heel klein beetje ervaring met HTML ivm een eigen homepage die ik toen had. Maar er is zeer weinig blijven plakken van de toch al karige kennis die ik destijds had. Ik ben zeg maar een absolute beginner qua programmeren, maar ik acht mezelf ook niet helemaal kansloos.
 
vraag 3: Als ik een computersimulatieprogramma zelf zou kunnen schrijven ben ik van plan om eerst een bol door te rekenen, vooral om het simulatieprogramma te testen. (ik verwacht namelijk een kleine afwijking, maar met dat feit alleen kan ik natuurlijk niet zo veel, behalve dan concluderen dat er wellicht geen bugs in de programmeercode zitten. Daarna ben ik van plan om met hetzelfde programma een omwentelings-ellipsoïde door te rekenen, en misschien ook een kubus of andere vormen. Mijn vraag is of iemand tips heeft, of opmerkingen over mijn plan?
 
vraag 4: Ik zit ook met de vraag of het wel verstandig is om de oorsprong van het assenstelsel te kiezen in het middelpunt van de bol. Misschien is positie p een handigere plek voor de oorsprong van het assenstelsel, ook indachtig een eerder plaatje:
 

gauss 0 met ellipsoide sectieradius 630 keer bekeken

 
[edit:]
vraag 5: ik zit ook nog met de wet voor behoud van massa in relatie tot een eventueel tuanderpunt en ook in relatie tot de algemene relativiteitstheorie. Ik zit mij af te vragen of in beide gevallen het van afstand lijkt of er zich minder massa in het systeem bevindt dan de werkelijke hoeveelheid puntmassa's? [einde edit]

[Professor Puntje]

Persoonlijke mening:
 
Dat de bolschilstelling zelf fout is acht ik vrijwel ondenkbaar. Daar was men dan al lang achter gekomen. De grondslagen van de differentiaal- en integraalrekening zijn in de eeuwen na Newton heel kritisch nageplozen en de huidige reële analyse staat als een huis. 
 
Echter geldt de bolschilstelling niet voor een met puntmassa's gevulde bol maar voor een bol die homogeen gevuld is met een geïdealiseerde continue materie. Het gravitatieveld van een bol gevuld met puntmassa's wijkt daar per definitie (enigszins) vanaf. Ook als de bolschilstelling juist is valt er dus iets te onderzoeken.
 
Een computerberekening op basis van de gravitatiepotentialen van de puntmassa's in de bol is wellicht eenvoudiger te doen dan een directe berekening met krachten volgens de gravitatiewet van Newton. Als je het zelf wilt proberen zou ik eerst een heel eenvoudig geval nemen (bijvoorbeeld 8 puntmassa's in een bol) en het gevonden resultaat hier plaatsen. Dan kunnen we - voor je verder gaat - door beredenering nog natrekken of de gevonden resultaten kloppen. 
 
Mogelijk bestaan er ook kant-en-klare educatieve computerprogramma's die de gewenste berekeningen al direct kunnen uitvoeren?

[tuander]

[...]
 
Echter geldt de bolschilstelling niet voor een met puntmassa's gevulde bol maar voor een bol die homogeen gevuld is met een geïdealiseerde continue materie. Het gravitatieveld van een bol gevuld met puntmassa's wijkt daar per definitie (enigszins) vanaf. Ook als de bolschilstelling juist is valt er dus iets te onderzoeken.
 
[...]

Ik ben blij met uw bijdrage. Ik heb vermoedlijk wel een klein verschil van inzicht met u op een zeker onderdeel. Een bolschil is leeg van binnen en oneindig dun. Zou men een hoeveelheid van dergelijke oneindig dunne bolschillen op elkaar willen stapelen tot een bol, dan is men verplicht om een zekere afstand (lege ruimte) tussen de bolschillen te nemen, anders wordt de bol oneindig zwaar. Neem ik aan. Maar misschien heeft u een ander inzicht?
 
[edit: ik bedoel dat een opeenstapeling van oneindig dunne schillen met lege afstand er tussen iets fundamenteel anders is dan een bol gevuld met een geïdealiseerde continue materie]

[tuander]

ik voeg twee afbeeldingen toe ter verduidelijking. in de eerste afbeelding atoomkernen (grijze bolletjes) gelijkmatig verdeeld over een bolschil. (ik heb slechts een klein segment ervan getekend) Vervolgens  deel je de puntmassa op in kleinere puntmassa's (rode bolletjes) en verdeelt ook deze gelijkmatig over een schil, zeg een parallelle schil. De vraag is nu, of de schil met de rode bolletjes dezelfde middellijn heeft als de parallelle schil met de grijze bolletjes. Beter gezegd, als de rode schil eenzelfde kracht op  een testmassa in het lichtblauwe puntje rechts moet leveren als de grijze schil, kunnen de middellijnen van deze twee schillen dan samenvallen?
 

2 puntmassa naar schil 631 keer bekeken

 
En dan nog een afbeelding over het stapelen van schillen tot een bolvorm. In dit geval heb ik gekozen voor een soort doppler-effect als inspiratie voor de vorm. Zegt Newton iets over de manier waarop hij bolschillen stapelt tot homogene bollen?
 

doppler cirkels 631 keer bekeken

[tuander]

Ik heb de hele tijd al problemen om al de omzettingen die Newton doet goed te doorgronden. Daarom leek het mij duidelijker om rechtstreeks de massa van een van de puntmassa's binnen een bol om te zetten naar een even grote vervangpuntmassa in het tuanderpunt op de x-as. Dan voorkom je alle vertaalslagen die Newton maakt. (Newton gaat van puntmassa naar bolschil naar bolschilstapelen naar bol naar totaalkracht in het middelpunt)

[Professor Puntje]

Zoals al vaker gezegd was een wiskundig exact bewijs in de tijd van Newton nog niet mogelijk. Dat is ook niet zo vreemd omdat Newton op dat gebied (slechts) een pionier was. En groot geleerde, maar niet onfeilbaar. Veel natuurkundigen en technici beseffen dat niet omdat zij zich onvoldoende in de geschiedenis en grondslagen van de wiskunde verdiepen. Voor wiskundig strenge bewijzen moet je je in de huidige reële analyse verdiepen. En dan ben je al snel een jaar of meer verder. Je kunt dat ook niet doen, maar dan kun je (althans in wiskundige zin) niet zinnig oordelen over de juistheid of onjuistheid van de bolschilstelling. - Maar die discussie hebben we al eerder gehad, en hoeft hier niet te worden herhaald.

[Professor Puntje]

Stel dat een bol met straal R gelijkmatig met N puntmassa's m_i ter grootte M/N gevuld is. De coördinaten van puntmassa m_i geven we aan met respectievelijk x_i, y_i en z_i. Het geometrisch middelpunt van de bol kiezen we in de oorsprong O op de x-as.
 
Voor de totale kracht F_pm die de puntmassa's in de bol op een testmassa m ter plaatse van x_P op de x-as uitoefenen vinden we:
 

\( \mbox{F}_{pm} = \sum_{i = 1}^N \frac{\mbox{G} \, \mbox{m} \, \frac{\mbox{M}}{\mbox{N}}}{(x_p - x_i)^2 + (y_i)^2 + (z_i)^2} \cdot \frac{x_p - x_i}{\sqrt{(x_p - x_i)^2 + (y_i)^2 + (z_i)^2}} \)

 

\( \mbox{F}_{pm} = \mbox{G} \, \mbox{m} \, \mbox{M} \, \cdot \, \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{x_P - x_i}{((x_p - x_i)^2 + (y_i)^2 + (z_i)^2)^{3/2}} \)

 

\( \mbox{F}_{pm} = \frac{\mbox{G} \, \mbox{m} \, \mbox{M}}{(x_P)^2} \, \cdot \, \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(x_P - x_i)(x_P)^2}{((x_p - x_i)^2 + (y_i)^2 + (z_i)^2)^{3/2}} \)

 
 
 
Schrijf nu:
 

\( \mbox{gem}_{\mbox{N}}(\mbox{R},x_P) = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(x_P - x_i)(x_P)^2}{((x_p - x_i)^2 + (y_i)^2 + (z_i)^2)^{3/2}} \)

 

\( \mbox{F}_b = \frac{\mbox{G} \, \mbox{m} \, \mbox{M}}{(x_P)^2} \)

 
 
Dan hebben we:
 

\( \mbox{F}_{pm} = \mbox{F}_b \, \cdot \, \mbox{gem}_{\mbox{N}}(\mbox{R},x_P) \)

 
 
Het "gemiddelde" gem_N(R,x_P) voor grote N is nog nader te bepalen, en F_b is de kracht die een puntmassa in de oorsprong O ter grootte van M op de testmassa m ter plaatse van x_P op de x-as zou uitoefenen.
 

[Professor Puntje]

We kunnen de uitdrukking voor het "gemiddelde" nog vereenvoudigen. Schrijf x_i als X_i.R, y_i als Y_i.R en z_i als Z_i.R . Dan staan X_i, Y_i en Z_i voor de coördinaten van N gelijkmatig in de eenheidsbol geplaatste punten. We schrijven verder nog de x-coördinaat x_P van de testmassa m als X.R waardoor X de fractie x_P/R aangeeft.
 
Dit levert:
 

\( \mbox{gemiddelde} = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(x_P - x_i)(x_P)^2}{((x_p - x_i)^2 + (y_i)^2 + (z_i)^2)^{3/2}} \)

 

\( \mbox{gemiddelde} = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(X . \mbox{R} - X_i . \mbox{R})(X . \mbox{R})^2}{((X . \mbox{R} - X_i . \mbox{R})^2 + (Y_i . \mbox{R})^2 + (Z_i . \mbox{R})^2)^{3/2}} \)

 

\( \mbox{gemiddelde} = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{\mbox{R}^3 \cdot (X - X_i)X^2}{\mbox{R}^3 \cdot ((X - X_i)^2 + (Y_i)^2 + (Z_i)^2)^{3/2}} \)

 

\( \mbox{gemiddelde} = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(X - X_i)X^2}{((X - X_i)^2 + (Y_i)^2 + (Z_i)^2)^{3/2}} \)

 
 
Deze uitdrukking is nu enkel afhankelijk van N en X. We schrijven:
 

\( \mbox{ge}(\mbox{N},X) = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(X - X_i)X^2}{((X - X_i)^2 + (Y_i)^2 + (Z_i)^2)^{3/2}} \)

 
Zodat:
 

\( \mbox{F}_{pm} = \mbox{F}_b \, \cdot \, \mbox{ge}(\mbox{N},X) \)

[Flisk]

Als ik het goed begrijp willen jullie dus een computerprogramma dat een bol vult met puntmassa's en daarna de resulterende gravitatiekracht op een willekeurig geplaatste testmassa berekent?

Dit komt neer op het numeriek uitrekenen van een integraal. Deze integraal kan je evengoed analytisch uitrekenen (zie bolschilstelling van Newton). Klopt het dat jullie het analytisch berekend (en dus bewezen) resultaat numeriek willen controleren?

Er bestaan al vele programma's waarmee je integralen numeriek kunt uitrekenen, enkele voorbeelden:
Maple (betalend), MATLAB (betalend) of Wolfram Alpha (gratis online).
Ik wil gerust een programmaatje specifiek voor deze integraal schrijven als jullie zelf de code willen inzien.

[Professor Puntje]

De kwestie is in hoeverre een aanpak via een gelijkmatig met puntmassa's gevulde bol een andere uitkomst geeft dan één puntmassa ter grootte van al de puntmassa's in de bol tezamen. Als je een integraal gebruikt verwaarloos je precies het verschil dat we willen berekenen.
 
Ik vertrouw de bolschilstelling wel maar tuander niet. Dat maakt voor de hierboven gevraagde vergelijking echter niet uit. Daar heb je de bolschilstelling - strikt genomen - niet bij nodig.
 
Wat je zou kunnen doen is uitgaan van een "blok" in een kubisch rooster gerangschikte puntmassa's dat de eenheidsbol geheel omvat. Vervolgens laat je het programma voor ieder roosterpunt binnen het blok bekijken of dat binnen de eenheidsbol valt en zo ja bereken je voor dat roosterpunt onderstaande waarde en neem je die waarde in het gemiddelde mee. Het totale aantal roosterpunten dat binnen de eenheidsbol blijkt te liggen levert N.
 

\( \frac{(X - X_i)X^2}{((X - X_i)^2 + (Y_i)^2 + (Z_i)^2)^{3/2}}\)

 
Door de berekening voor roosters van verschillende dichtheden uit te voeren vind je verschillende waarden van N. Verder is het interessant voor X wat waarden van 0,5 t/m zeg 10 te nemen. Het gaat ons om de bijbehorende waarden van ge(N,X).

[Flisk]

De kwestie is in hoeverre een aanpak via een gelijkmatig met puntmassa's gevulde bol een andere uitkomst geeft dan één puntmassa ter grootte van al de puntmassa's in de bol tezamen. Als je een integraal gebruikt verwaarloos je precies het verschil dat we willen berekenen.

Het komt net op hetzelfde neer als het numeriek benaderen van de integraal uit de bolschilstelling. Het enige verschil is dat er in de meeste bewijzen van de bolschillstelling gebruik wordt gemaakt van een coördinatentransformatie waardoor de integraal makkelijker analytisch op te lossen is.
 
Ik zal proberen morgen tijd te maken om een programmaatje te schrijven.