maakt de bolschilstelling een fout, de wereld is toch niet plat?

[Professor Puntje]

Ik zal proberen morgen tijd te maken om een programmaatje te schrijven.

 
Dat is mooi.

[Professor Puntje]

Het komt net op hetzelfde neer als het numeriek benaderen van de integraal uit de bolschilstelling. Het enige verschil is dat er in de meeste bewijzen van de bolschillstelling gebruik wordt gemaakt van een coördinatentransformatie waardoor de integraal makkelijker analytisch op te lossen is.

 
Dat is niet helemaal juist. Wanneer de bol N puntmassa's bevat zijn er ook N omgevingen rond die puntmassa's waar je een gravitatieveld van onbeperkte sterkte en richting kan aantreffen. Hoe groot je N ook kiest, die N singulariteiten binnen de bol raak je niet meer kwijt.

[Professor Puntje]

Als variant op een kubische opvulling van de bol zouden de opeenvolgende puntmassa's op random posities binnen de bol kunnen worden geplaatst. Eventueel zou dat proces nog kunnen worden bijgestuurd door de kans dat een puntmassa ergens komt waar het al relatief druk is te verkleinen.

[tuander]

Ik heb even een paar belangrijke opmerkingen:

• De positie van p (X,0,0) mag nooit samenvallen met de positie van enige puntmassa binnen de bol (x_i,y_i,zi).
• Het resultaat voor de computerbenadering voor een hele bol levert precies dezelfde afwijking als de computerbenadering voor een kwart-bol, ten minste als je voorkomt dat er puntmassa's binnen de bol op de x-as liggen

Bovenstaande 2 effecten bereik ik zelf door alleen puntmassa's binnen de bol toe te staan met oneven coördinaten. En verder wel zowel positieve als negatieve X_i-coördinaten toe te staan voor ,en wel posiieve Yi-coördinaten en Zi-coördinaten toe te staan, maar puntmassa's binnen de bol met negatieve Y_i en Z_i coördinaten niet toe te staan.

[Professor Puntje]

@ tuander
 
Er zijn meerdere aanpakken mogelijk, mede afhankelijk van hoe je de gelijkmatige opvulling van de bol realiseert. En je kunt inderdaad de hoeveelheid rekenwerk verkleinen door gebruik te maken van de symmetrie van het geheel.
 
Wanneer de testmassa m vlak bij (of op) een puntmassa van de bol komt krijg je het effect van een singulariteit. Je kunt het wel verbieden dat de testmassa zich bij een puntmassa van de bol ophoudt maar dat doet niets af aan het feit dat het gravitatieveld van de bol daar dan een singulariteit vertoont.

[tuander]

@ tuander
 
Er zijn meerdere aanpakken mogelijk, mede afhankelijk van hoe je de gelijkmatige opvulling van de bol realiseert. En je kunt inderdaad de hoeveelheid rekenwerk verkleinen door gebruik te maken van de symmetrie van het geheel.
 
Wanneer de testmassa m vlak bij (of op) een puntmassa van de bol komt krijg je het effect van een singulariteit. Je kunt het wel verbieden dat de testmassa zich bij een puntmassa van de bol ophoudt maar dat doet niets af aan het feit dat het gravitatieveld van de bol daar dan een singulariteit vertoont.

 Ja, de afstand wordt nul tussen testmassa in punt p en een gesimuleerd atoom in de bol. De onderlinge gravitatiekracht, G*m*m/0² wordt dan oneindig groot, . Delen door nul is nu eenmaal verboden. Wat meteen aantoont dat een simulatie nooit een perfecte vervanging voor de realitiet kan zijn. Hoewel, wat zou er gebeuren als twee deeltjes met massa echt precies op dezelfde plek zouden staan? Als er binnen het atoom geen krachten waren die de massa-deeltjes op afstand van elkaar zouden houden?
 
Verder verschilt een simulatie van een kubusrooster waarin alleen de oneven coördinaten worden toegestaan, niet echt wezenlijk van een simulatie waarin zowel even als oneven coördinaten worden toegestaan. De afstanden tussen alle atomen(de ribbes van een eenheidskubus) worden simpelvweg 2 keer zo groot. dit heeft geen wezenlijke consequenties voor het eindresultaat. Wat wel wezenlijk verschillend is, is dat in het ene geval er wel puntmassa's recht onder punt p (op de x-as) staan in de gesimuleerde bol, maar in het door mij voorgestelde geval staan deze punten er niet. Er is een kleine afwijken tussen de preciese 'doorkijkrichtingen, van beide kubus-rasterstructuren, maar dat is verder alles.
 
Maar als je 4 keer minder punten hoeft door te rekenen voor hetzelfde resultaat, wordt de totale rekentijd wel bijna 4 keer korter, en dat kan voor grote n toch wel uit maken.

[Professor Puntje]

Aangezien ik de bolschilstelling wel vertrouw verwacht ik voor grote N als verschil in de gravitatievelden van een continu homogeen gevulde bol en een gelijkmatig met puntmassa's gevulde bol enkel dat je in het laatste geval N singulariteiten houdt, afgezien daarvan zullen de uitkomsten elkaar waarschijnlijk niet noemenswaardig ontlopen. Maar we zullen zien....

[tuander]

[...]Hoewel, wat zou er gebeuren als twee deeltjes met massa echt precies op dezelfde plek zouden staan? Als er binnen het atoom geen krachten waren die de massa-deeltjes op afstand van elkaar zouden houden? [..]

 Goed, mezelf citeren, mjj, nou ja. Maar ik was bezig met deze gedachte en kwam op iets uit wat misschien niet in dit topic past, en wat ik misschien voor mezelf moet houden voordat anderen met het idee aan de haal gaan.. Maar ach, het maakt me ook niet uit.
 
Als je een alternatieve theorie voor ruimte en massa zou willen opstellen, zou je dat misschien als volgt kunnen doen: Stel dat een deeltje met massa afgestoten wordt door een bolletje/kubus/eenheid ruimte. Dat de afstotende kracht tussen ruimte en materie een kwadratisch afnemende functie is met de afstand,, ongeveer net als Newton. F=A/x² Waarbij A nader bepaald dient te worden
 
Zou je dan aannemen dat ook elk deeltje met massa een afstotende kracht op een ander deeltje met massa zou uitoefenen. En dat dit een lineaire functie is met de afstand F=B/x Waarbij B nader bepaald dient te worden.
 
Dan merk ik op dat op zeer kleine afstand (x<1) de afstotende kracht tussen de massadeeltjes groter is dan de afstotende kracht tussen Massa en ruimte. Dus de resultante kracht duwt het deeltje weg van een ander deeltje en naar de omliggende ruimte toe. Op korte afstand ondervinden twee massadeeltjes een netto afstotende kracht
 
Maar op grotere afstanden (x>1) is de afstotende kracht tussen deeltje en ruimte groter dan de afstotende kracht tussen deeltje1 en deeltje2, in dit geval worden de twee deeltjes schijnbaar tot elkaar aangetrokken met een resultante kracht die er ongeveer uitziet als F=A/x² - B/x ? Op grote afstand ondervinden de massadeeltjes een netto aantrekkingskracht die bijna omgekeerd evenredig is aan het kwadraat van de afstand
 
Ook wel grappig omdat ik niks kan visualiseren bij een aantrekkende kracht tussen deeltjes door lege ruimte, maar een afstotende kracht tussen twee deeltjes door lege ruimte, daar kan ik veel meer mee. Je hoeft maar een balletje door de lucht te gooien tegen een andere bal aan, en je begrijpt wat ik bedoel, dat is een mooie visualisatie voor een afstotende kracht overgebracht door een klein balletje.
 
Verder neigt een dergelijk universum nogal tot uitzetten, expanderen, omdat er alleen afstotende krachten zijn
 
Het was slechts een wild idee, maar ik vind hem wel grappig.

[tuander]

Sorry Ik zeg alles verkeerd om geloof ik. Dat heb je met wilde ideeëen. maar het idee intrigeert me desalniettemin
 
[edit:] misschien beter als de afstotende kracht tussen massa en lege ruimte omgekeerd evenredig met afstand is, en de afstotende kracht tussen twee massadeeltjes omgekeerd evenredig met kwadraat van de afstand. [einde edit]

[Professor Puntje]

Voor zulke zaken kun je beter een topic in Theorieontwikkeling openen...

[Flisk]

Klaar, output:
Totaal aantal punten binnen de bol: 14137178
Totale massa van de puntmassa's: 1.0000007819077805
Theoretische massa van de homogene bol: 1
Totale zwaartekracht op de testmassa a.g.v. puntmassa's: -0.03999991615029247
Theoretische zwaartekracht op de testmassa a.g.v. homogene bol: -0.04

In de code staan heel wat opmerkingen (rode tekst), zodat je kan volgen wat er precies gebeurt en welke aannames er gedaan zijn. In Java: (klik op verborgen inhoud):

Spoiler: [+]

Code: Selecteer alles

public class BolschilStelling {
	
	/*
	 Algemene opmerkingen:
	 1)oorsprong van het assenstelsel valt samen met het midden van de bol.
	 2)straal van de bol gelijk gesteld aan 1.
	 3)zwaartekrachtconstante gelijk gesteld aan 1.
	 5)de massa van de testmassa is gelijk aan 1.
	 4)de testmassa wordt buiten de bol op de x-as geplaatst.
	 */
	
	//begin initialisatie van gebruikte variabelen
	static int totaalAantalPunten=0;
	static double totaleMassaPunten=0;
	static double totaleZwaartekrachtX=0;
	//puntDichtheid dient als input voor het aantal punten per lengte-eenheid in het kubische rooster
	static double puntDichtheid=150;
	static double tussenAfstand=1/puntDichtheid;
	//berekening voor de massa van een enkel punt zodat de theoretisch homogene bol massa gelijk aan 1 heeft.
	static double massaPunt=3/(puntDichtheid*puntDichtheid*puntDichtheid*4*Math.PI);
	//xTestM dient als input voor de x-coordinaat van de testmassa waarop je de gravitatiekracht berekent
	static double xTestM=5;
	//einde initialisatie van gebruikte variabelen
	
	//begin creatie van gebruikte methodes
	//geeft de afstand in het kwadraat tussen een willekeurig punt en de oorsprong
	public static double afstKwadrO(double x, double y, double z){
		return (x*x+y*y+z*z);
	}
	//geeft de afstand in het kwadraat tussen een willekeurig punt en een punt op de x-as
	public static double afstKwadrX(double x1, double y1, double z1, double x2){
		return ((x1-x2)*(x1-x2)+y1*y1+z1*z1);
	}
	//geeft de x-component van de zwaardekracht op de testmassa a.g.v. een puntmassa
	public static double zwaarteKrachtX(double xPunt, double yPunt, double zPunt){
		return (xPunt-xTestM)*massaPunt/Math.pow(afstKwadrX(xPunt,yPunt,zPunt,xTestM), 1.5);
	}
	//einde creatie van gebruikte methodes
	
	/*
	 Main methode, m.b.v. de 3 for loops wordt elk punt in het kubisch rooster doorlopen.
	 Afhankelijk van de positie (in of buiten de bol) wordt de x-component van de zwaartekracht op de testmassa berekend
	 en bij de totaleZwaartekrachtX variabele opgeteld.
	 */
	public static void main(String[] args) {
		for(double xPunt=-1; xPunt<=1; xPunt+=tussenAfstand){
			for(double yPunt=-1; yPunt<=1; yPunt+=tussenAfstand){
				for(double zPunt=-1; zPunt<=1; zPunt+=tussenAfstand){
					if(afstKwadrO(xPunt,yPunt,zPunt)<=1){
						totaalAantalPunten++;
						totaleMassaPunten+=massaPunt;
						totaleZwaartekrachtX+=zwaarteKrachtX(xPunt,yPunt,zPunt);
					}
				}
			}
			//toont hoever de berekening zit in percent
			System.out.println(Math.round((xPunt+1)/2*1000)/10.0+"%");
		}
		//toont de resultaten
		System.out.println("Totaal aantal punten binnen de bol: "+totaalAantalPunten);
		System.out.println("Totale massa van de puntmassa's: "+totaleMassaPunten);
		System.out.println("Theoretische massa van de homogene bol: "+1);
		System.out.println("Totale zwaartekracht op de testmassa a.g.v. puntmassa's: "+totaleZwaartekrachtX);
		System.out.print("Theoretische zwaartekracht op de testmassa a.g.v. homogene bol: "+(1.0/xTestM/xTestM*(xTestM>0?-1:1)));
	}
}

Zoals je ziet is het resultaat zoals verwacht. Als ik tijd heb herschrijf ik het een beetje zodat de tesmassa ook in de holte van een dikke bolschil kan geplaatst worden (verwacht resultaat is dan een zwaartekracht gelijk aan 0).

[Professor Puntje]

Dank!

 

Berekent dat programma ge(N,X) voor de puntmassa's in een kubisch rooster?

 

\( \mbox{ge}(\mbox{N},X) = \frac{1}{\mbox{N}} \sum_{i = 1}^N \frac{(X - X_i)X^2}{((X - X_i)^2 + (Y_i)^2 + (Z_i)^2)^{3/2}} \)

 

Ik zie dat je N = 14137178 hebt. Dat is inderdaad een voldoende groot getal om conclusies uit te kunnen trekken.

 

Voor X heb je zo te zien 5 genomen:
 

//xTestM dient als input voor de x-coordinaat van de testmassa waarop je de gravitatiekracht berekent static double xTestM=5;

 

Het zou nog aardig zijn om aan de hand van wat meer waarden te zien hoe het verloop als functie van X is.

 

De betekenis van die twee massa's voor de bol begrijp ik niet goed. De puntmassa's in de bol hebben per definitie de massa M/N. In ge(N,X) komen de massa's niet meer voor.

[tuander]

Code: Selecteer alles

	//begin creatie van gebruikte methodes
	//geeft de afstand in het kwadraat tussen een willekeurig punt en de oorsprong
	public static double afstKwadrO(double x, double y, double z){
		return (x*x+y*y+z*z);
	}
	

mij viel deze passage in de code op, maar ik weet niet of ik het goed begrijp. Wij rekenen met de afstand van een punt tot de x-as √(y² + z²) , en niet met een afstand van dat punt tot de oorsprong. Rekent je model ook met deze afstand?

[tuander]

Oh, sorry ik zie het al, het is de definitei van de bol. Mijn fout. jij doet het goed.

[tuander]

Code: Selecteer alles

	}
	//geeft de x-component van de zwaardekracht op de testmassa a.g.v. een puntmassa
	public static double zwaarteKrachtX(double xPunt, double yPunt, double zPunt){
		return (xPunt-xTestM)*massaPunt/Math.pow(afstKwadrX(xPunt,yPunt,zPunt,xTestM), 1.5);
	}
	//einde creatie van gebruikte methodes
	
	

Deze passage snap ik ook niet, sorry dat ik zoveel moeite heb. Het moest toch zijn: (xpunt-xtestm)* xtestm*xtestm? nogmaals excuses dat ik zo langzaam ben.
 
[edit: De massa van een punt komt in onze vergelijkingen überhaupt niet voor, net als de gravitatieconstante, ze zijn niet nodig om het tuanderpunt te bepalen. Dus waarom wordt de massa gedefiniëerd als 3? [einde edit]