maakt de bolschilstelling een fout, de wereld is toch niet plat?

[tuander]

Misschien helpt het zo geschreven:

\(\frac{m_p(x_p-x_{tm})}{((x_p-x_{tm})^2+y^2_p+z^2_p)^{1,5}}}\)

waarbij tm staat voor testmassa en p voor punt.

Dit is de x-component gravitatiekracht op de testmassa met als coördinaten (x_tm,0,0) en massa 1 a.g.v. een puntmassa met als coördinaten (x_p,y_p,z_p) en massa m_p.

Hierbij is de zwaartekrachtconstante gelijk aan 1 gesteld.

 Ja, ik had al iets begrepen. De simulatie berekent de resultante gravitatiekracht van alle puntmassa's op de testmassa, en niet het tuanderpunt. Voor het tuanderpunt maakt het niet uit hoeveel massa de puntmassa's hebben, alleen de ruimtelijke organisatie telt. Maar voor de resultante kracht, die de simulatie berekent, maakt het wel degelijk uit hoe veel massa de puntmassa's hebben.
 

Spoiler: [+]

Geef het aantal punten per lengte eenheid en druk op enter: 

150

Geef de x-coordinaat van de testmassa en druk op enter: 

1,0001

 

Totaal aantal punten binnen de bol: 14137178

Totale massa van de puntmassa's: 1

Totale zwaartekracht op de testmassa a.g.v. puntmassa's: -0.9950127071594548

Theoretische zwaartekracht op de testmassa a.g.v. homogene bol met massa 1: -0.9998000299960005

EDIT:

Het wordt heel wat interessanter wanneer je een laag aantal punten kiest én een testmassa dichtbij de bol:

Spoiler: [+]

Geef het aantal punten per lengte eenheid en druk op enter: 

3

Geef de x-coordinaat van de testmassa en druk op enter: 

1.000001

 

Totaal aantal punten binnen de bol: 120

Totale massa van de puntmassa's: 1

Totale zwaartekracht op de testmassa a.g.v. puntmassa's: -8.333333331782363E9

Theoretische zwaartekracht op de testmassa a.g.v. homogene bol met massa 1: -0.9999980000030001

Hier is het verschil gigantisch, de tesmassa ligt heel dicht bij één van de weinige punten.

 
Ja, dat is op zich niet heel verrassend voor mij, Michel Uphof heeft eerder in dit topic ook al zoiets gevonden met een animatie voor het tuanderpunt van twee puntmassa's. Niet voor elk ruimtelijk object mag je dus het aangrijpingspunt voor de vervangpuntmassa in het geografische midden laten aangrijpen. [edit: ik moet iets preciezer zijn: Michel Uphof heeft laten zien dat het tuanderpunt kan verschuiven voor twee puntmassa's, maar dat het bary-centrum wel op dezelfde plek blijft liggen[ einde edit] Maar een bol is een heel symmetrisch object. dat maakt wel uit

[Professor Puntje]

Hier is het verschil gigantisch, de tesmassa ligt heel dicht bij één van de weinige punten.

 
Juist - dat is dan ook gelijk het grote verschil wat betreft de gravitatie van een continue en een discrete opvulling van de bol. Hoe groot N ook is, je zult steeds posities van de testmassa houden (namelijk dicht bij de puntmassa's) waar de plaatselijke zwaartekracht uitgeoefend door de continu gevulde en door de discreet gevulde bol extreem verschillen. Afgezien daarvan wordt het verschil voor grote N al snel verwaarloosbaar.

[Flisk]

 Ja, ik had al iets begrepen. De simulatie berekent de resultante gravitatiekracht van alle puntmassa's op de testmassa, en niet het tuanderpunt. Voor het tuanderpunt maakt het niet uit hoeveel massa de puntmassa's hebben, alleen de ruimtelijke organisatie telt. Maar voor de resultante kracht, die de simulatie berekent, maakt het wel degelijk uit hoe veel massa de puntmassa's hebben.

De simulatie verifieert (een deel van) de bolschilstelling. Namelijk dat in punten buiten een homogene bol, het zwaartekrachtsveld van de bol gelijk is aan

\(-\frac{M_{bol}G}{|\vec{r}|^3}\vec{r}\)

 
Als ik het goed begrijp bedoel je met 'tuandermiddelpunt van een object', een theoretisch punt waar je een puntmassa zou plaatsen met evengrote massa als het object, zodat het zwaartekrachtsveld hetzelfde is. In dat geval valt het tuandermiddelpunt van een homogene bol samen met het middelpunt. Maar dit geldt enkel voor de zwaartekrachtsveld in punten gelegen buiten de bol. Het 'tuandermiddelpunt van een object' is dus niet alleen afhankelijk van het object, maar ook van de positie van de testmassa waarop je de zwaartekracht berekent. Ik zie niet direct het nut in van zo'n 'tuandermiddelpunt'.

[Professor Puntje]

Probleem: waar ligt het tuanderpunt voor een testmassa in de lege binnenruimte van een bolschil?
 
Mogelijke oplossing: oneindig ver weg.

[tuander]

Probleem: waar ligt het tuanderpunt voor een testmassa in de lege binnenruimte van een bolschil?
 
Mogelijke oplossing: oneindig ver weg.

 Ja, het tuanderpunt verplaatst naar een oneindig grote afstand, als een testmassa binnen een bolschil inderdaad geen resultante gravitatiekracht ondervindt van de bolschil. Het geografisch middelpunt van de bolschil bevindt zich immers binnen in de bolschil, als je in dat punt een vervangpuntmassa ter grootte van de totaalmassa van de bolschil zou plaatsen zou je testmassa nooit gewichtloos kunnen zijn.
 
Een vergelijkbare situatie zie je bij testmassa in de buurt van ruimtelijk object met een 'hoela-hoep' vorm, (hoelahoep=hoepel=langwerpige buis/cilinder die in een ringvorm is gebogen). Alleen is de overgang daar iets duidelijker. Als je bij de hoelahoep een testmassa op de x-as plaatst, zul je zien dat op grote afstand(X) van positie p, het tuanderpunt bijna samenvalt met het geografisch middelpunt van de hoelahoep. Maar laat je vervolgens deze afstand(X) van de testmassa kleiner worden, dan zul je zien dat het tuanderpunt telkens meer naar achter schuift verder weg van de hoelahoep af. Wordt de afstand (X) van de testmassa 0, dan is het tuanderpunt helemaal naar oneindig geschoven. Oftewel, in het geografische midden van de hoelahoep is een testmassa gewichtsloos.

[tuander]

Nog wel een belangrijke opmerking. De door Flisk gemaakte simulator is een leuk speeltje voor mensen die een gevoel willen krijgen voor de resultante zwaartekracht van een aantal puntmassa's samen. Je zou er bijna een speeltje voor kinderen van kunnen maken, het is zeer leerzaam, en misschien ook wel leuk.
 
Maar er zit nu nog wel een beperking in, op dit moment berekent de simulator alleen de x-component van de resultante zwaartekracht. Dit betekent dat je er alleen objecten mee mag doorrekenen die symmetrisch zijn t.o.v. de x-as. Bijvoorbeeld een bol, of een bolschil, of een kubus in juiste oriëntatie, of een hoelahoep in juiste oriëntatie.
 
Zou je ook objecten willen doorrekenen die niet symmetrisch zijn t.o.v. de x-as, dan moet je ook de totale y-component van de zwaartekracht bepalen en de totale z-component. Dit kan op vergelijkbare wijze als hoe nu de x-component wordt bepaald, maar voor elk object zijn dan wel 3x zoveel berekeningen nodig. Het programma wordt dan 3x zo zwaar. Maar ook dit zou een leuk speeltje voor de kinderen kunnen zijn

[tuander]

Wat wel grappig is: beschouw een bolschil opgebouwd uit opgestapelde hoelahoeps, ongeveer zoals Newton doet met oneindig dunne ringen in de bolschilstelling. Plaats jezelf dan in gedachten midden in de bolschil. Je hebt even veel hoelahoeps voor je, als achter je, en ze staan symmetrisch, qua grootte en qua afstand, voor je en achter je. In het midden van de bolschil ben je overduidelijk 'gewichtloos' als er zich geen andere massa's in je buurt bevinden. Ahum.
 
Maar dan: pak je een hoelahoep van voor je, en verplaats je deze naar achter je (en maak je jezelf oneindig dun), dan wordt het voor je liggende (minder grote) deel van de bolschil zwaarder (of lichter), en het achter je liggende (grotere) deel van de bolschil wordt evenveel zwaarder (of lichter).
 
Dit proces kan je herhalen, verplaats telkens een hoelahoep van voor je, naar achter je, en je zult op elk punt merken dat het deel voor je nog steeds even zwaar is als het deel achter je. Hiermee kan je dan doorgaan totdat je de wand van de bolschil bereikt. Nou ja, dit alles onder het voorbehoud dat de bolschilstelling klopt.

[tuander]

Ik zat naar aanleiding van het bovenstaande verhaal nog even na te denken over het laatste hoelahoep. als je bijna alle hoelahoeps van voor je naar achter je hebt getrokken, terwijl je zelf gewichtloos bleef, ben je vlak bij de wand aangekomen. Er is nog 1 hoelahoep over, recht voor je neus. Als je ook die laatste hoelahoep van voor je naar achter je verplaatst ben je door de bolschilwand heen naar buiten gegaan. Hoe moet je dat doen?
 
Nou, ik denk zo, het is niet echt een hoelahoep, maar meer een frisbee. En hij staat recht voor je neus, d.w.z. de hoek theta is 0.(theta is de hoek tussen de loodlijn op de frisbee en de x-as). Dit betekent dat ook sin(theta)=0. Deze term sinus theta komt voor in de bolschil-rekenformules van newton, het is een waarde die het rekenoppervlak van de frisbee definiëert, de massa van de frisbee is gegeven door de dichtheid van de verdeelde massa over het gehele bolschiloppervlak maal het rekenoppervlak. Als theta = 0 dan is ook het rekenoppervlak van de frisbee gelijk aan nul, en heeft de frisbee geen massa. M.a.w. Bij de bolschil van Newton is er helemaal geen frisbee. Dus dan hoef ik me er ook geen zorgen om te maken, ik kan gewoon door het open gaatje naar buiten stappen als ik mezelf voor heel even oneindig dun maak.

[Professor Puntje]

Bolschilstelling of geen bolschilstelling, met dat tuanderpunt kun je allerlei geometrische kunstjes uithalen. Kies eerst N punten met respectievelijke plaatsvectoren p₁, p₂, p₃, ... , p_N in de ruimte of in het vlak. Dan correspondeert er met ieder punt met plaatsvector x een tuanderpunt met plaatsvector y = tua(x), als we tenminste het punt op oneindig aan het vlak of de ruimte toevoegen.  
 
Vervolgens kun je voor allerhande figuren en geparametriseerde banen onderzoeken hoe hun beeldfiguur of -baan er bij toepassing van de afbeelding "tua" uitziet. Dat zal vast fraaie plaatjes opleveren. Mogelijk vind je ook nog interessante meetkundige stellingen. Wellicht iets voor Theorieontwikkeling?
 
(Dat deze afbeelding door anderen nog nooit eerder uitgeplozen is, lijkt me overigens onwaarschijnlijk.)

[Professor Puntje]

Nog een speciaal geval: waar gaat het tuanderpunt naartoe wanneer de testmassa één van de puntmassa's benadert?

Kortom: genoeg te doen...

[tuander]

Nog een speciaal geval: waar gaat het tuanderpunt naartoe wanneer de testmassa één van de puntmassa's benadert?

 

Ik weet niet zeker, maar ik vermoed dat als de positie p van de testmassa een andere puntmassa nadert, dat de onderlinge aantrekkingskracht tussen deze twee puntmassa's allesoverheersend zal worden, alle andere krachten zullen er waarschijnlijk bij in het niet vallen. Dit definiëert de richting van het tuanderpunt. Maar voor het tuanderpunt telt de totaalmassa van het object natuurlijk wel mee. Ja, dat is wel een probleem. De onderlinge kracht moet wel in de richting wijzen van de ene puntmassa naar de testpuntmassa. Maar de afstand van het tuanderpunt moet dusdanig gekozen worden dat de totaalmassa van het object op die afstand dezelfde resultante kracht levert als die van de ene puntmassa. Let wel: als je een vervangpuntmassa voor het hele ruimtelijk object in het tuanderpunt plaatst, vervallen tegelijkertijd de aantrekkingskrachten van alle puntmassa's die onderdeel uitmaken van dit ruimtelijk object. Maar ik vind dit toch een intrigerend gedachtenexperiment. Wellicht heeft u nog een vervolgvraag?

[tuander]

ik ben zelf nog steeds bezig met de massaloze frisbee in de Newton bolschil. Als je een Newton Bolschil in gedachten beschouwt als een oneindig dunne bolschil (=net zo dik als de dikte van 1 punt), Dan is de 'massaloze frisbee' het ene punt recht onder je voeten dat niet meetelt in het verhaal. Een enkele puntmassa ontbreekt in newtons bolschil, die je wel in een werkelijke bolschil zult aantreffen.Nou ja, ook aan de tegenoverliggende zijde van de bolschil vind je een punt waarvoor geldt dat sin(theta)=0. Er ziten dus twee gaatjes van 1 punt diameter in de oneindig dunne bolschillen van Newton. Stapel je een aantal van deze Newton-bolschillen concentrisch op elkaar tot een homogene bol (mag dat?), dan bevat deze homogene Newtonbol dus een gaatje van 1 punt (molecule) breed recht onder je voeten helemaal naar de andere kant van de planeet. Een grappig verschil, maar hierover ga ik me toch niet echt zorgen maken. Als het daar maar bij blijft

[Professor Puntje]

Ik denk dat we met de bolschilstelling wel zo'n beetje klaar zijn.
 
Over een geometrische theorie voor het tuanderpunt wil ik nog wel meedenken, maar dat moet dan stap voor stap netjes wiskundig worden uitgewerkt. Dat kan dan ook beter in een nieuw speciaal daaraan besteed topic. 

[tuander]

Ik denk dat we met de bolschilstelling wel zo'n beetje klaar zijn.
 
Over een geometrische theorie voor het tuanderpunt wil ik nog wel meedenken, maar dat moet dan stap voor stap netjes wiskundig worden uitgewerkt. Dat kan dan ook beter in een nieuw speciaal daaraan besteed topic. 

Ja, dat lijkt me op zich ook wel leuk. Maar ik vraag me af... De theorie van Newton is zo goed als dood en ik meen begrepen te hebben dat vele theoretici naarstig op zoek zijn naar een betere theorie, die dan ook de relativiteitstheorie moet vervangen. Het idee van een tuanderpunt is natuurlijk een voortborduursel op de wetten van Newton, maar dan specifiek in het heel precies optellen van puntmassa's tot een resultante totaalkracht. Maar dus een voortborduursel op een theorie die misschien wel heel snel 'dood' zal zijn.
 
Hoewel, ik meen ook een soort van theoretische onderlaag te constateren die meer met de organisatie van ruimte te maken heeft. De massa en gravitatieconstante verdwijnen consequent uit de berekening. Dus Misschien kan een betere beschrijving van tuanderpunten toch meer worden dan alleen een curiositeit.
 
Wat ik niet goed snap is waarom niemand me goed begrijpt als ik over het onderwerp 'zwaartepunt' begin, en dat ik zelfs de speciale naam 'tuanderpunt' moest introduceren. Ik heb vroeger twee jaar mechanica gevolgd aan de TUdelft, en verdeelde massa's vervangen door puntmassa's die aangrijpen in een zwaartepunt was dagelijkse kost. Nou goed, ik ben niet afgestudeerd dus ik weet ook niet precies waarom deze invalshoek zo verschilt van de gangbare invalshoek onder natuurkundigen
 
Voor mijn zelfstudie is het wel goed om een mooi richtpunt te hebben, waarbij zijdelings veel onderwerpen aan bod komen waar ik zelf veel van op steek. Als anderen daar ook iets van opsteken, of baat bij hebben is dat fijn.
 
Misschien moet ik dus inderdaad een topic openen bij 'theorie-ontwikkeling'. Ik zal nog even goed nadenken

[Professor Puntje]

Het gebruik van de benaming 'zwaartepunt' voor een eigen idee over wat het zwaartepunt zou moeten zijn is "vragen om moeilijkheden". De benaming 'zwaartepunt' is immers al bezet, en je kunt niet verwachten dat technici en natuurkundigen die al eeuwen probleemloos met dat begrip werken daar ineens een andere invulling aan willen geven omdat iemand (jijzelf) claimt dat daar een probleem mee is dat zij zelf niet zien.

Daarom kun je ook veel beter een eigen term zoals 'tuanderpunt' introduceren. Het staat dan een ieder vrij daar vervolgens het zijne van te denken. Bovendien wordt zo een spraakverwarring voorkomen.

De klassieke mechanica, de relativiteitstheorie en de kwantummechanica zijn alle drie "dood" in die zin dat ze ieder voor zich maar een beperkte geldigheid hebben. Dus dat zegt niet zoveel....

In hoeverre het tuanderpunt voor de fysica nuttig is valt moeilijk te zeggen zolang je de belangrijkste eigenschappen ervan nog niet kent. Maar de kans dat het tuanderpunt nuttig zal blijken is nu ook weer niet zo heel groot. Immers is dat idee niet heel ver gezocht, en als het van groot nut zou zijn was het al lang en breed bekend. Hoe erg is het eigenlijk als je tuanderpunt niet meer dan een curiositeit zou blijven? Hoe veel mensen bedenken iets dat zo revolutionair is dat het in de wetenschapsgeschiedenis wordt opgetekend?