wat is het 'zwaartepunt' eigenlijk?

[tuander]

wat is het 'zwaartepunt' eigenlijk?

 
Ik ben onlangs bezig geweest met een analyse van Newtons bolschilstelling, en dan loop ik tegen een communicatieprobleem aan. Het gaat dan over het punt waar je alle massa van een object samengebald mag denken als puntmassa. Ik noem dit punt even 'gravitatie-middelpunt' of 'gravitatiemidden'. Dit punt is belangrijk in de mechanica, want als je dit punt vindt, dan kan je gravitatiekracht vanuit- en/of op dit object als vector in dit 'gravitatie-middelpunt' laten aangrijpen. Newton veronderstelt dat het gravitatiemiddelpunt van een homogene bol samenvalt met het wiskundige midden van die bol.
 
Ik zelf vermoed eigenlijk anders, ik vermoed dat het gravitatiemidden van de meeste objecten niet samenvalt met het wiskundige midden van dat object. Maar beide begrippen 'gravitatiemidden' en 'wiskundig midden' worden vaak aangeduid met het woord 'zwaartepunt'. En dat levert veel verwarring. Ik wil de verwarring omtrent deze term graag uit de wereld hebben, vandaar dit topic.
 
Een korte toelichting op het probleem: op de middelbare school leren we allemaal zwaartepuntsbepalingen doen voor voorwerpen hier op aarde. Hierbij wordt verondersteld dat vlakbij het aardoppervlak bij benadering een homogeen gravitatieveld heerst. Dat wil zeggen een gravitatieveld dat overal dezelfde richting heeft en overal even groot is.
 
Locaal op aarde kan je dit bij benadering goed veronderstellen. Maar over grote afstanden in de ruimte geldt dit zeker niet. De richtingen van het gravitatieveld zijn niet overal parallel, maar eerder radiaal naar een middelpunt. De grootte van het gravitatieveld is niet overal gelijk, maar neemt eerder bij benadering kwadratisch af met de afstand.
 
Het wiskundig midden van een ruimtelijk voorwerp kun je heel goed definiëren. Dat is het punt van een voorwerp waarbij vanuit elke richting gezien zich altijd evenveel volume van dit voorwerp vóór het middelpunt bevindt als volume áchter dit mddelpunt.
 
Het gravitatiemidden van een voorwerp is veel moeilijker te bepalen, het is misschien niet eens een gefixeerd punt. Zo heb ik een gravitatie-analyse gemaakt van puntmassa buiten een kegel. Voor een puntmassa boven de top van de kegel ligt het gravitatiemiddelpunt van de kegel halverwege de hoogte van de kegel. Het wiskundige midden van de kegel ligt echter op 3/4de van de hoogte onder de top. Ze vallen hier dus zeker niet samen. Dus hoewel precies de helft van alle atomen in de kegel vóór het wiskundige midden t.o.v. de puntmassa boven de top, ligt het gravitatiemidden dichterbij, omdat dichtbijgelegen atomen in de kegel een veel grotere aantrekkingskracht hebben tot de tespuntmassa, dan de atomen die verder weg liggen dan het wiskundig midden van de kegel.
 
Ik wil hier verder niet al te diep ingaan op zwaartekrachtstheorieën. Maar slechts kijken of we tot een heldere afspraak kunnen komen over de te gebruiken terminologie voor deze punten.
 
Het betreft de begrippen: zwaartepunt  -  (wiskundig) middelpunt  - gravitatiemidden

[tuander]

Voor alle duidelijkheid: wat je op school geleerd hebt over zwaartepuntsberekeningen klopt wel. Maar alleen hier op aarde. En alleen voor relatief kleine voorwerpen, zoals een balk of een kolom. Voor grotere voorwerpen, zoals een berg of een extreem hoge torenflat kun je misschien iets afwijkends vinden, maar in het dagelijks gebruik merk je eigenlijk nooit een verschil.
 
Over afstanden in de ruimte is het dus wel anders. Overigens heb ik meteen al een fout ontdekt in mijn eigen verhaal hierboven over een kegel en een puntmassa. Het is moeilijke materie. Maar er is wel degelijk een effect. Kijk bijvoorbeeld naar 3 puntmassa's en hun onderlinge aantrekkingskracht, dan zul je zien dat de aantrekkingskracht van 1 puntmassa op de andere twee, niet in het wiskundige midden van die laatste twee puntmassa's aangrijpt. De oorzaak hiervoor ligt o.a.  in de wegvallende zijwaartse componenten, waardoor de overblijvende richtingscomponent kleiner wordt dan de som van de twee oorspronkelijke vectoren.
 
Maar er is dus wel degelijk een goede reden voor mijn verzoek om duidelijk afspraken omtrent de terminologie - zwaartepunt - gravitatiemidden - wiskundig midden -.

[xansid]

Je verzint nu net zelf de termen 'gravitatiemidden' en 'wiskundig midden' en wil nu dat wij daar een definitie voor geven? Ik vind je verzoek nogal vreemd eigenlijk.
 
Wat 'wiskundig midden' voor moet stellen kan ik niet verzinnen, maar bedoel je met 'gravitatiemidden' gewoon het massamiddelpunt? Het zwaartepunt is alleen gelijk aan het massmiddelpunt als een object overal dezelfde dichtheid heeft.

[Professor Puntje]

Kijk hier eens:
 
http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/188011-bestaat-er-een-globaal-homogeen-gravitatieveld/?p=1013216
 
In dat geval is het niet zo dat je het lokale gravitatieveld in de holte kunt voorstellen als afkomstig van een puntmassa in het massamiddelpunt van de betreffende bol met holte.
 
Er is hier toch ook niemand die beweert dat het wel steeds mogelijk zou zijn het lokale gravitatieveld van een object voor te stellen als afkomstig van een puntmassa in het massamiddelpunt van het betreffende object? De bolschilstelling heeft het immers over een heel speciaal geval.

[Michel Uphoff]

Dat je de sterkte van een gravitatieveld bij geringe afstanden niet als afkomstig van een puntmassa in het massacentrum mag berekenen is duidelijk. Alleen indien de afstand zeer groot is, mag je dat als benadering hanteren. Een uitzondering is de homogene of isotrope bol(schil) die rotatiesymmetrisch is over iedere denkbare as door het massacentrum.

 

Voorbeeldje: 10 damstenen op elkaar gestapeld vormen een homogene massieve staaf.

We stellen de hoogte en massa van iedere steen op 1.

Ben je ver van die staaf af, dan mag je de totale massa in het massacentrum plaatsen om de gravitatie te benaderen.

Maar sta je bovenop die staaf, dan is het gravitatie-aandeel van de damsteen direct onder jouw voeten veruit het grootst.

Met gegeven massa en hoogte heeft de eerste steen een invloed gelijk aan 1/0,5², de tweede 1/1,5²et cetera, we krijgen dus:

 
4,000
0,444
0,160
0,082
0,049
0,033
0,024
0,018
0,014
0,011 +
4,835 totaal

 

En dat is behoorlijk veel meer dan de invloed van een massa 10 op een afstand 5 (0,4). Een puntmassa van 10 op een afstand van 1,438 heeft ongeveer dezelfde invloed. Vergroot je de afstand tot bijvoorbeeld 10.000, dan maakt het niet veel uit of je de gravitatie invloed van iedere steen afzonderlijk, of van het geheel op 10.005 berekent, de afstand in het kwadraat varieert dan nauwelijks en dus heeft iedere steen een vrijwel gelijke invloed. Overigens is dit maar een ruwe benadering en is de berekening van de gravitatie uitgeoefend door een platte schijf in werkelijkheid complexer:

\(\frac{2GMm}{a^2}(1-\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}})\)

Zie daarvoor dit topic.
Je kan de gravitatie van een homogene of isotrope bol benaderen door hem haaks op de meetrichting in plakken te snijden en voor iedere plak met bovenstaande formule de gravitatiesterkte berekenen op een punt aan het oppervlak. Met slechts 14 plakken (12 van 1000 km en 2 van 371 km) kwam ik met 9,74 m/s² al aardig in de buurt van de werkelijke oppervlaktegravitatie van de Aarde.
 
De complexiteit van de berekening van de gravitatiesterkte van een minder symmetrisch gevormd object op een satelliet heeft Esa mogen ervaren. Aan het controleren van de baan van Rosetta rond de komeetkern met de vorm van een badeend heeft het hoogst gespecialiseerde flight dynamics team de handen vol gehad. Men heeft Rosetta eerst een paar maanden op tientallen kilometers hoogte rond de komeetkern laten trekken om op basis van de baanafwijkingen de almaar wisselende gravitatie-invloed vast te kunnen stellen. Pas toen er zo een voldoende nauwkeurig gravitatiemodel van de komeetkern was opgebouwd, kon men Rosetta naar een lagere omloopbaan sturen.

[jkien]

Ik noem dit punt even 'gravitatie-middelpunt' of 'gravitatiemidden'. Dit punt is belangrijk in de mechanica, want als je dit punt vindt, dan kan je gravitatiekracht vanuit- en/of op dit object als vector in dit 'gravitatie-middelpunt' laten aangrijpen.

Probeer je gravitatiemiddelpunt eens wiskundig te definieren. Wiskundig is beter dan gewone taal, want taal bevat wartaal. Voorbeelden van wiskundige definities, voor een wolk van puntmassa's en voor een continue wolk:

\( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i = \frac{1}{V} \int_V \vec{r} dV = \vec{r}_1 \)

= geometrisch zwaartepunt = geometric center

\( \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i m_i = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \rho dV = \vec{r}_2 \)

= massamiddelpunt = center of mass

\( \frac{1}{n_W} \sum_{i=1}^{n_W} \vec{r}_i = \frac{1}{V_W} \int_W \vec{r} dV = \vec{r}_3 \)

= drukkingspunt = center of buoyancy

Wiskundig is meteen duidelijk dat zwaartekracht geen bijdrage levert aan de definitie van een zwaartepunt (geometrisch zwaartepunt noch massamiddelpunt). Het drukkingspunt wordt gebruikt om de stabiliteit van schepen te onderzoeken. Het drukkingspunt is het geometrische zwaartepunt van het deel van het lichaam dat zich onder water bevindt (bij de sommatie heb ik dat weergegeven met de bovengrens n_W i.p.v. n, en bij de integraal met het gebied W i.p.v. V). Ik heb het drukkingspunt erbij gezet omdat het een beetje deed denken aan jouw vraag, maar het werkt hier niet.

[Professor Puntje]

Deze discussie draait nu al enige tijd in cirkeltjes rond. De natuurkundige definitie van het tuanderpunt hebben we in een eerder topic ook al gevonden:
 
Het tuanderpunt van een ruimtelijk uitgebreid object Q met totale massa M gemeten ten opzichte van een testmassa m op positie p is dát punt van waaruit een puntmassa ter grootte van M exact dezelfde vectoriële zwaartekracht op de testmassa m op positie p zou uitoefenen als het ruimtelijk uitgebreide object Q doet. 
 
Merk op dat een aldus gedefinieerd tuanderpunt niet langer door het object Q alleen bepaald wordt maar door de combinatie van het object Q en de testmassa m op positie p.

[tuander]

Mag ik dan misschien voorzichtig concluderen dat het begrip 'zwaartepunt' alleen betekenis heeft in een homogeen zwaartekrachtsveld? Dus alleen voor kleine voorwerpen hier op aarde. Handig voor constructeurs, maar niet toepasbaar in de ruimte. Dus dat het zwaartepunt niet van nut is voor bijvoorbeeld baanberekeningen van planeten of satellieten?

[Professor Puntje]

Het begrip zwaartepunt gaat inderdaad uit van een (bij benadering) homogeen zwaartekrachtsveld. In een homogeen zwaartekrachtsveld mag je de totale zwaartekracht op een star voorwerp (d.w.z. het gewicht van dat voorwerp) voorstellen als aangrijpende in het zwaartepunt van dat voorwerp.
 
Het is niet zo dat je de totale zwaartekracht uitgaande van een star voorwerp voor mag stellen als komende uit het zwaartepunt van dat voorwerp. Dat geldt enkel in een aantal speciale gevallen.

[jkien]

Mag ik dan misschien voorzichtig concluderen dat het begrip 'zwaartepunt' alleen betekenis heeft in een homogeen zwaartekrachtsveld?

 

Het begrip zwaartepunt gaat inderdaad uit van een (bij benadering) homogeen zwaartekrachtsveld.

 
De echte definitie van het zwaartepunt is het massamiddelpunt, in die definitie speelt zwaartekracht geen rol. Het zwaartepunt is belangrijk in de eerste wet van Newton. Als je een of ander gravitatiemiddelpunt verzint dat per definitie samenhangt met de zwaartekracht moet je dat geen zwaartepunt noemen, want dan produceer je wartaal.

[Professor Puntje]

Als je een of ander gravitatiemiddelpunt verzint dat per definitie samenhangt met de zwaartekracht moet je dat geen zwaartepunt noemen, want dan produceer je wartaal.

Een discussie over de "echte definitie" van het zwaartepunt lijkt mij niet vruchtbaar. Inzichten en definities veranderen in de loop van de tijd. Maar dat tuanders idee van een zwaartepunt een eigen naam vereist, daar ben ik het volledig mee eens. De term "zwaartepunt" is immers al bezet, en daar moet je niet plotseling een eigen, afwijkende betekenis aan willen geven. Vandaar de reeds keurig gedefinieerde term: "tuanderpunt".
 
Wat het eventuele nut en de eigenschappen van het tuanderpunt zijn is een andere vraag. Die vraag lijkt mij stukken interessanter dan de zich nog alsmaar voortslepende discussie over de gebruikte woorden.

[jkien]

Vandaar de reeds keurig gedefinieerde term: "tuanderpunt".

 
Het is dus een oproep aan tuander om de keurig gedefinieerde term tuanderpunt consequent te gebruiken, en de term zwaartepunt niet onjuist te gebruiken zoals in bericht #8.