s-domein versus tijd-domein

[ukster]

Is het mogelijk om snel uit dit poolbeeld in het s-domein van een 2e ordeproces alle relevante parameters betreffende de stapresponsie in het tijddomein te bepalen zoals eigenfrequentie, relatieve demping, peaktime, overshoot ,oscillatieperiodetijd etc.

[robertus58a]

Gegeven deze complex polen  van een tweede orde system (met onbekende gain) kunnen de door u genoemde parameters berekend worden. Hoe snel hangt af van uw ervaring

 

De eigenfrequentie, relatieve demping, en  ,oscillatieperiodetijd kunnen bepaald worden via oplossen van een algebraische. vergelijking

 

Peaktime, overshoot via differentieeren van de differential vergelijking

[ukster]

Als ik u goed begrijp is de informatie niet even snel uit het s-domein te halen, maar vereist dit eerst het opstellen en oplossen van uitgebreide vergelijkingen in zowel het frequentiedomein als in het tijddomein, uitgaande van de informatie in het s-domein.

[robertus58a]

De algebraische vergelijking is de Laplace vergelijking.
 
Gegeven de polen s1=a+bj en s2=a-bj dan kan je 2e orde Laplace vergelijking opstellen (s-s1)(s-s2). Deze vergelijking moet je dan gelijk stellen aan de "standard 2e orde Laplace vergelijking): s²+2βω₀s+ω₀^2.Gelijkstellen van beide vergelijkingen geeft dan β en ω0.
 
^{hierin is β de demping en ω₀ de ongedempte eigenfrequentie  (ω0=2π/T, T= periode)}

[ukster]

Oke, ik heb dit ingevuld en uitgewerkt en kom op wo=10 r/s en beta=0,55  (eigenfrequentie en relatieve demping) so far, so good...
 
Ik snap ook dat als je de peaktime tp , de bijbehorende overshoot D en de slingerperiodetijd wil berekenen je de 1e afgeleide van de tijdfunctie nul moet stellen.
Maar hoe ziet die vergelijking eruit?

[robertus58a]

Voor een process gain van K, dan geldt voor de eenheidsstapresponse D=(ymax-K)/K, met D=e^{-π.β.sqrt(1-β.β),}ymax is dan de top
 
^{Piektijd= π/ω0/sqrt(1-β.β)
 
Slingertijd uit ongedempte eigenfrequentie: ω0=2π/T, T= periode
 
Analytische oplossing kan je op vele plaatsen vinden: 2nd order underdamped response: http://www.egr.msu.edu/classes/me451/jchoi/2007/handouts/ME451_S07_lecture17.pdf
 
nb. analytische oplossingen zijn verschillend voor β<1,  β=1,  β>1}

[ukster]

Robertus, hartelijk dank voor deze zinvolle bijdrage...ik ga ermee aan de slag!