Geinverteerde slinger

[robertus58a]

Ik heb ook mijn bedenkingen bij de oorspronkelijke vraagstelling waarbij niet een kracht op het karretje wordt toegepast maar een versnelling en waarbij de massa van het karretje = 0 (!). Het zal wellicht duidelijker zijn (ivm followup discussies) om de volledige bewegingsvergelijkingen op te zetten en dan vervolgens eea te vereenvoudigen.
 
Indien het karretje via een kracht wordt aangedreven dan krijg je de volgende beweginsgvergelijkingen:
 

\(1) (M+m)\ddot{x}+mL\ddot{\theta}cos\theta-mL\dot{\theta}^{2}sin\theta=F\)

\(2) L\ddot{\theta}-gsin\theta +\ddot{x}cos\theta =0\)

 
Indien M=0 en F=0 dan gaat vergelijking 1) over in

\(3) \ddot{x}+L\ddot{\theta}cos\theta-L\dot{\theta}^{2}sin\theta=0\)

 
Uit 2) en 3) kan

\( L\ddot{\theta} \)

geelimineerd worden, hetgeen tot een niet-lineaire 1ste orde DV leidt. Dit resultaat is echter niet realistisch vanwege de aanname dat M=0. 
 
Bovenstaande is ter aanvulling van de lopende discussies. Is het echter de bedoeling om een "aardig dynamisch systeem" te genereren om de hoekverdraaing te regelen met de versnelling dan kan je uitgaan van het eerder gevonden resultaat in  vergelijking 2) met toevoeging van een verstoring,  

\(\alpha\)

 

[ukster]

Ik ga voor de onderste alinea,dus voor een aardig dynamisch systeem!!

Gecombineerde Input 730 keer bekeken

[Professor Puntje]

Waar komt dat begrip "versnellingsevenwicht" eigenlijk vandaan? Ik kan het op de boven beschreven wijze niet goed volgen...

[ukster]

Het is een keuze die je maakt op basis van bepaalde aannames.
Veel natuurkundige grootheden kunnen ten slotte in een evenwichtsvergelijking voorkomen.
overigens vindt ik op internet (MIT) voor de overdrachtsfunctie voor het open-loop system  G(s) = -s^{^2}/(L.s² -g)
komt in de buurt ,vanwaar de -s² in de teller??

[Professor Puntje]

Je kunt van een fysisch systeem iets eisen maar daarmee is nog niet gezegd dat het geëiste ook te realiseren is.
 
Ik vind het een heel vreemd vraagstuk. Komt het uit een leerboek?

[ukster]

Nee, het is een van de vele toegepaste benaderingen van het inverted pendulum probleem.
Op basis van een zekere vereenvoudigde voorstelling van het probleem is versnellingsevenwicht een goede en snelle benadering . het maakt een vraagstuk zeg maar behapbaar.....
Het mag natuurlijk niet zo zijn dat teveel vereenvoudigingen leiden tot een systeem dat teveel van de werkelijkheid afwijkt.
Maar je hebt wel een punt, zie bericht #19
Overigens worden in elk vakgebied vraagstukken aan studenten voorgeschoteld die bol staan van de vereenvoudigingen en aannames om het rekenwerk te versimpelen.

[Professor Puntje]

Als dan ook nog geldt dat:

\( \alpha(t) = \ddot{\varphi}(t) \)

Dan vind je φ(t) dan door twee keer integreren.

 
Daarmee vind je toch eenvoudig het verband tussen φ(t) en α(t)?

[ukster]

Inderdaad, hoekversnelling α is de tweede afgeleide van de doorlopen hoek φ.
maar L.α is de tangentiële versnellingscomponent rond de massa aan het uiteinde van de staaf die we nodig hebben in de versnellingsevenwichtsvergelijking, deze versnelling hangt immers af van de staaflengte L en moet evenwicht maken met de twee andere versnellingscomponenten

[ukster]

Overigens krijg ik steeds meer de overtuiging dat het versimpelde uitgangspunt van versnellingsevenwicht voor dit omgekeerde slingerprobleem eigenlijk alleen ten doel heeft de be-argumentatie (vanuit de theorie) voor het type feedback-actie (P,I,D of PD) via het s-domein simpeler (inzichtelijker) te maken om zodoende een stabiel closed loop systeem te verkrijgen.( d.w.z.polen in het linkerhalfvlak). In werkelijkheid speelt de overdracht van de servomotor hierin natuurlijk ook een zeer belangrijke rol.

[Professor Puntje]

Laten we uitgaan van het eenvoudige geval dat:
 

\( \varphi(0) = 0 \,\, \& \,\, \dot{\varphi}(0) = 0 \)

 
Dan hebben we:
 

\( \alpha(t) = \ddot{\varphi}(t) \)

 

\( \int_0^t \alpha(\mu) \mbox{d} \mu = \int_0^t \ddot{\varphi}(\mu) \mbox{d} \mu \)

 

\( \int_0^t \alpha(\mu) \mbox{d} \mu = [ \dot{\varphi}(\mu) ]_0^t \)

 

\( \int_0^t \alpha(\mu) \mbox{d} \mu = \dot{\varphi}(t) - \dot{\varphi}(0) \)

 

\( \int_0^t \alpha(\mu) \mbox{d} \mu = \dot{\varphi}(t) \)

 

\( \int_0^t \, \int_0^{\nu} \alpha(\mu) \mbox{d} \mu \, \mbox{d} \nu = \int_0^t \, \dot{\varphi}(\nu) \, \mbox{d} \nu \)

 

\( \int_0^t \, \int_0^{\nu} \alpha(\mu) \mbox{d} \mu \, \mbox{d} \nu = [ \varphi}(\nu) ]_0^t \)

 

\( \int_0^t \, \int_0^{\nu} \alpha(\mu) \mbox{d} \mu \, \mbox{d} \nu = \varphi(t) - \varphi(0) \)

 

\( \int_0^t \, \int_0^{\nu} \alpha(\mu) \mbox{d} \mu \, \mbox{d} \nu = \varphi(t) \)

 
Met andere woorden: de hoek φ(t) is dan volkomen bepaald door de als onafhankelijke storing gedachte versnelling α(t). Van een regelkring kan dan ook geen sprake zijn. Het vraagstuk verlangt dus het onmogelijke, en is derhalve verkeerd gesteld.
 
Tenzij ik ergens een foutje gemaakt heb, en dan hoor ik dat graag.
 

[robertus58a]

Ik ga voor de onderste alinea,dus voor een aardig dynamisch systeem!!
Gecombineerde Input.jpg

 
Ik neem aan dat een aardig system dan wel een juist systeem zou moeten zijn.
 
Je zegt dat de open loop overdracht is:   

\(H(s)=\frac{1}{Ls^{2}-g}\)

Dit is niet correct. Er van uitgaande dat de gebruikte formules correct zijn geldt:
 
De overdracht van de (verstorings)versnelling naar de hoekverdraaiing is:      

\(H_{1}(s)=\frac{\phi(s)}{\alpha(s)}=\frac{L}{Ls^{2}-g}\)

De overdracht van de (regel)versnelling naar de hoekverdraaiing is:                

\(H_{2}(s)=\frac{\phi(s)}{a(s)}=\frac{-1}{Ls^{2}-g}\)

met a=xs² vindt je
De overdracht van de (regel)positie naar de hoekverdraaiing is:                       

\(H_{3}(s)=\frac{\phi(s)}{x(s)}=\frac{-s^{2}}{Ls^{2}-g}\)

[ukster]

Mankeert niets aan,allemaal waar, maar dit is slechts een deel van de beschrijving van het gehele instabiele open-loop system van het geschetste omgekeerde slingerprobleem.

3 versnellingen 660 keer bekeken

[/size]

[ukster]

met versnellingsevenwicht als uitgangspunt kom ik uit op 1/(Ls²-g)
de L zit in de gecombineerde input verwerkt.

open loop overdracht 688 keer bekeken

-s²/(Ls²-g) krijg je inderdaad als overdracht van horizontale regelpositie x naar hoekverdraaiing. maar in het geval
van versnellingsevenwicht komt de horizontale regelpositie x niet voor.

[Professor Puntje]

Als mijn berichtje #25 geen fouten bevat ligt de hoekfunctie φ(t) voor logisch gekozen beginvoorwaarden bij een gegeven storingfunctie α(t) volkomen vast. Er is dan geen afhankelijkheid meer van a(t) en er valt bij gevolg ook niets meer te regelen. De onderstelling van versnellingsevenwicht gaat ervan uit dat er wel iets te regelen is, en dat dat zelfs perfect kan. Bijgevolg is die veronderstelling onjuist. Er valt als je α(t) als een extern gegeven storingsfunctie beschouwt zelfs niet een beetje te regelen. Het veronderstelde versnellingsevenwicht zit er bij de gekozen opzet dus helemaal naast, en kan ook niet als vereenvoudiging door de beugel.

[robertus58a]

met versnellingsevenwicht als uitgangspunt kom ik uit op 1/(Ls²-g)
de L zit in de gecombineerde input verwerkt.
open loop overdracht.png
-s²/(Ls²-g) krijg je inderdaad als overdracht van horizontale regelpositie x naar hoekverdraaiing. maar in het geval
van versnellingsevenwicht komt de horizontale regelpositie x niet voor.

Je vroeg je af waarom s² in de teller stond.
 
Het is gebruikelijk om de overdracht per variabele weer te geven. Tevens ivm met controller design dan moet de overdracht phi/a -1 in de teller hebben en niet +1