Vijfdegraadsfunctie opgelost?

[sajajpm]

OK. Dan hebben we nu dus dat de gezochte reële oplossing van:
 
x⁵ + x + c = 0      (1)
 
voor z=0 ook een oplossing is van de vergelijking:
 
(x + z)² = (x⁵ + c)² + 2zx + z²    (2)
 
 
De vraag is wat we daarmee opschieten....

Vergelijking (x + z)² = (x⁵ + c)² + 2zx + z²    (2) , klopt niet. Ik heb het een en ander proberen uit te leggen in mijn bijlage:

uitleg

(13.28 KiB) 420 keer gedownload

[Professor Puntje]

(x⁵ + c)² = (x⁵)² + 2.x⁵.c + c²
 
(x⁵ + c)² = x¹⁰ + 2c.x⁵ + c²
 
Dus mijn vergelijking (2) is exact gelijkwaardig aan de vergelijking waar je zelf op uit komt:
 

verg 2305 keer bekeken

[sajajpm]

(x⁵ + c)² = (x⁵)² + 2.x⁵.c + c²
 
(x⁵ + c)² = x¹⁰ + 2c.x⁵ + c²
 
Dus mijn vergelijking (2) is exact gelijkwaardig aan de vergelijking waar je zelf op uit komt:
 
verg.png

Inderdaad, je hebt gelijk, want  {x²=(-x-c)² is gelijkwaardig aan x⁵-x+c=0 of x⁵ +x+c=0}  of  {x²=(x+c)² is gelijkwaardig aan x⁵-x+c=0 of x⁵ +x+c=0}

[Professor Puntje]

We zoeken een reële oplossing van:
 
x⁵ + x + c = 0      (1)
 
Laat nu z een willekeurig reëel getal zijn. Voor reële oplossingen van (1) geldt dan ook:
 
x⁵ + x + c = 0
 
x = -x⁵ + -c
 
x² = (-x⁵ + -c)²
 
x² = (x⁵ + c)²
 
x² + 2zx + z² = (x⁵ + c)²+ 2zx + z²
 
(x + z)² = (x⁵ + c)²+ 2zx + z²  (3)
 
 
Dus hoeft z inderdaad niet nul te zijn. Een reële oplossing van (1) is dus altijd ook een reële oplossing van (3) hoe het reële getal z ook gekozen wordt.
 

[sajajpm]

We zoeken een reële oplossing van:
 
x⁵ + x + c = 0      (1)
 
Laat nu z een willekeurig reëel getal zijn. Voor reële oplossingen van (1) geldt dan ook:
 
x⁵ + x + c = 0
 
x = -x⁵ + -c
 
x² = (-x⁵ + -c)²
 
x² = (x⁵ + c)²
 
x² + 2zx + z² = (x⁵ + c)²+ 2zx + z²
 
(x + z)² = (x⁵ + c)²+ 2zx + z²  (3)
 
 
Dus hoeft z inderdaad niet nul te zijn. Een reële oplossing van (1) is dus altijd ook een reële oplossing van (3) hoe het reële getal z ook gekozen wordt.
 

Ja, inderdaad, dat klopt , dat is ook de bedoeling van de oplossingsmethode. Wanneer je verder fouten ontdekt in de oplossingsmethode, dan stel ik op prijs dat aan mij kenbaar te maken.

[Professor Puntje]

Vervolgens schrijf je:
 
u = x⁵    (4)
 
Invullen in (3) geeft dan:
 
(x + z)² = (x⁵ + c)²+ 2zx + z²
 
(x + z)² = (u + c)²+ 2zx + z²
 
(x + z)² = u² + 2cu + c²+ 2zx + z²   (5)
 
Dat klopt ook nog, maar daarna ga je verder met:
 
u² + 2cu + c²+ 2zx + z² = 0   (6)
 
Dat zou betekenen dat je op dit punt besluit om z = -x te nemen. Maar dat klopt niet met het vervolg. Bovendien is (6) geen kwadratische vergelijking in u, zodat de abc-formule hier niet mag worden toegepast. 

[sajajpm]

Vervolgens schrijf je:
 
u = x⁵    (4)
 
Invullen in (3) geeft dan:
 
(x + z)² = (x⁵ + c)²+ 2zx + z²
 
(x + z)² = (u + c)²+ 2zx + z²
 
(x + z)² = u² + 2cu + c²+ 2zx + z²   (5)
 
Dat klopt ook nog, maar daarna ga je verder met:
 
u² + 2cu + c²+ 2zx + z² = 0   (6)
 
Dat zou betekenen dat je op dit punt besluit om z = -x te nemen. Maar dat klopt niet met het vervolg. Bovendien is (6) geen kwadratische vergelijking in u, zodat de abc-formule hier niet mag worden toegepast. 

z=-x is niet de enigste oplossing. (6) is wel een kwadratische vergelijking in x⁵ , zie mijn uitleg:

uitleg

(15.67 KiB) 550 keer gedownload

[Professor Puntje]

z=-x is niet de enigste oplossing.

De term z is sowieso geen oplossing, maar een door jou zelf in de vergelijking geïntroduceerd getal dat je al naar het uitkomt een bepaalde waarde kunt geven.

 

(6) is wel een kwadratische vergelijking in x⁵ , zie mijn uitleg:uitleg.docx

 
Neen, het is geen kwadratische vergelijking in u = x⁵. Een kwadratische vergelijking in u is van de vorm:
 
au² + bu + c = 0
 
Hierin zijn a, b en c constanten of in ieder geval getallen die onafhankelijk zijn van u.
 
 

[sajajpm]

De term z is sowieso geen oplossing, maar een door jou zelf in de vergelijking geïntroduceerd getal dat je al naar het uitkomt een bepaalde waarde kunt geven.

 
 
Neen, het is geen kwadratische vergelijking in u = x⁵. Een kwadratische vergelijking in u is van de vorm:
 
au² + bu + c = 0
 
Hierin zijn a, b en c constanten of in ieder geval getallen die onafhankelijk zijn van u.
 
 

Ja, daar heb je gelijk aan, a, b en c zijn contstanten die onafhankelijk zijn van u.

[Professor Puntje]

Ja, daar heb je gelijk aan, a, b en c zijn contstanten die onafhankelijk zijn van u.

 
u² + 2cu + c²+ 2zx + z² = 0   (6)
 
Wanneer is c²+ 2zx + z² onafhankelijk van u?

[sajajpm]

 
u² + 2cu + c²+ 2zx + z² = 0   (6)
 
Wanneer is c²+ 2zx + z² onafhankelijk van u?

Je breng gewoon 2zx naar de andere kant, dan wordt de vergelijking (x⁵)² + 2c(x⁵) + c²+ z² = 0   (6)
Ik kom pas weer terug wanneer ik een oplossingsmethode heb bedacht die ik kan bewijzen aan de hand van een voorbeeld.

[sajajpm]

Samuel Bonaya Buya heeft een oplossing gevonden:

Open-Science-Repository-23050495

(681.87 KiB) 1169 keer gedownload

[Math-E-Mad-X]

Ik heb er naar gekeken, maar het ziet er extreem amateuristisch uit, dus heb verder geen moeite gedaan om het te lezen.

[317070]

Samuel Bonaya Buya heeft een oplossing gevonden:Open-Science-Repository-23050495.pdf

Het werkt enkel voor vijfdegraadsfuncties die je kunt ontbinden in een tweedegraadsfunctie en een derdegraadsfunctie. Dus niet voor alle vijfdegraadsfuncties.

[sajajpm]

Samuel Bonaya Buya heeft een oplossing gevonden:Open-Science-Repository-23050495.pdf

Samuel Bonaya Buya heeft een oplossing voor "solution of quintic equations and  higher degree polynomials" berekend, zijn oplossingsmethodeheb ik bijgewerkt :

SAMUEL BONAYA BUYA Login sbonayab(1)

(34.36 KiB) 442 keer gedownload

. Aan de hand van de oplossingsmethode van Cardano heb ik twee oplossingsmethodes voor de algemene vijfdegraadsvergelijking berekend. In de coëfficienten van een derdegraadsvergelijking bevinden zich complexe getallen, die een deel van mijn oplossingsmethode vormen. Met de stelling van de Moivre kun je die berekenen.