Kromtestraal van de ruimtetijd (2)

[DParlevliet]

In een recent topic hebben we gediscussieerd over de kromtestraal van de tijd. Nu wil ik eens teruggaan naar een eerder topic van mij, maar nu eenvoudiger: wat is de kromming van de (ruimte)tijd die wij zien (dus niet de Riemann tensor) die de zwaartekracht veroorzaakt, bijvoorbeeld op het aardoppervlak. Volgens mij is dat eenvoudig uit te rekenen:
 

 
Klopt dit?
De krommingsstraal is veel groter dan sommigen in het vorige topic noemden.

[Math-E-Mad-X]

Ik snap niet precies wat je bedoelt met de formule hierboven, maar hoe dan ook, even een paar opmerkingen:
 
Ten eerste: de "kromming" waar je het hier over hebt is een geheel nieuwe kromming die jij zelf definieert en die dus inderdaad niks met de Riemannse kromming te maken heeft.
 
Ten tweede: de berekeningen die je doet zijn puur Newtoniaanse berekeningen.
 
Kortom, je wil een zelfbedachte grootheid uitrekenen die puur gebaseerd is op Newtoniaanse mechanica.
Dat wil zeggen dat dit topic eigenlijk niks meer met relativiteitstheorie te maken heeft, en in mijn ogen dus beter thuis hoort onder Klassieke Natuurkunde.

[Math-E-Mad-X]

Okee, als ik je goed begrijp doe je het volgende:
 
1. Beschouwt een object dat in een zwaartekrachtsveld naar beneden valt volgens

\(h = \frac{1}{2} g t^2\)

2. Als we de baan van dit object in een tijdruimte diagram tekenen dan is deze baan een parabool.
3. Je definieert nu de "krommingsstraal" R van deze parabool als 1 gedeeld door de tweede afgeleide van h naar t.
 
Als we in SI-eenheden werken dan komt daar simpelweg uit: R = 1/g
 
Dit hoef je eigenlijk niet eens uit te rekenen, want g is per definitie de versnelling, en dus per definitie de tweede afgeleide van h naar t. De formule R = 1/g volgt dus direct uit 3, zonder dat we iets hoeven uit te rekenen.
 
 
Nou is het verschil dat jij graag c.t wil gebruiken, in plaats van t. Dat mag, en dat is eigenlijk ook beter in verband met eenheden als je wil dat de kromtestraal een afstand is, maar dan moeten we hetzelfde doen met de versnellings constante.
g heeft dan niet de waarde 9.8 m/s^2, maar:

\(\frac{9.8}{c^2} m.\)

met c de eenheidsloze waarde

\(3\cdot 10^8\)

 
In dat geval krijgen we dus

\( R = \frac{1}{g} = \frac{c^2}{9.8}\)

 
Oftewel, de straal, uitgedrukt in meters, is

\(\frac{(3 \cdot 10^8)^2}{9.8} = 9.2\cdot 10^{15}\)

[DParlevliet]

1  Jouw beschrijving van mijn tekening klopt. Het is vereenvoudigd, dus niet exact maar een benadering. Inderdaad geheel Newtoniaans.
2  Met de kromming bedoel ik wat je ervaart in het 2D vlak. Dat is dus niet de Riemann-kromming maar wordt er wel door veroorzaakt. Er moet dus een meetkundig verband zijn. Ik vermoed dat als de Riemann-straal groot ten opzichte van beschouwde oppervlakte dat die krommingstraal vrijwel gelijk is aan de Riemann-straal, maar daar heb ik nog geen formule voor gevonden (heb die vraag gesteld op het meetkundeforum hier).
3 Omdat de kromtestraal veroorzaakt wordt door de Riemann-kromming is het wel degelijk relativiteitstheorie, zoals Newton relativiteitstheorie is in een benadering.

[Math-E-Mad-X]

 
3 Omdat de kromtestraal veroorzaakt wordt door de Riemann-kromming is het wel degelijk relativiteitstheorie, zoals Newton relativiteitstheorie is in een benadering.

 
Sorry, maar hier ben ik het niet mee eens. Je beschrijft gewoon de kromming van een parabool en speelt met eenheden.
 
Natuurlijk kun je wel zeggen dat die paraboolbaan uiteindelijk veroorzaakt wordt door de kromming van de tijdruimte zoals beschreven door de relativiteitstheorie, maar met dat argument kun je net zo goed ieder vraagstuk dat over zwaartekracht gaat onder relativiteitstheorie scharen.

[DParlevliet]

In de klassieke natuurkunde is de ruimte niet gekromd en kan de zwaartekracht daar dus niet door veroorzaakt worden. Het is juist de relateitstheorie die stelt dat de zwaartekracht volgt uit de Riemann-kromming. Ik heb recent op een ander forum de wiskundige afleiding gekregen waar de Riemann-formule met diverse benaderingen resulteert in de formule van Newton.
Ik speel niet met eenheden maar gebruik gewone wiskunde, uitgaande van de relativiteitsstelling dat de ruimte die wij zien gekromd is. Het is dus ook eigen gekozen willekeurige kromming die ik gebruik, maar de werkelijk door ons ervaren kromming.

[Math-E-Mad-X]

Als we even aannemen dat relativiteitstheorie niet bestaat en de zwaartekracht puur en alleen door Newton beschreven wordt. Wat zou er dan aan je berekening veranderen?
 
Een vallend object beschrijft dan nog steeds een paraboolbaan, en de kromming van die parabool bereken je nog steeds op exact dezelfde wijze. Kortom, er verandert helemaal niets.
 
Maar goed, dit is echt een volstrekt zinloze discussie.

[DParlevliet]

Als de relativiteit niet bestond dan was er in de grafiek geen kromming in de tijdas dus ook geen beweging s dus ook geen zwaartekracht en geen vallende voorwerp met een parabool.
 
De stilstaande persoon in de grafiek beweegt met snelheid c in de (onzichtbare) tijd-as. Omdat de tijdas gekromd is met Rk komt een deel s van die beweging in de zichtbare ruimteas y terecht. Dat is wat je ziet als een voorwerp valt. Je ziet ook in de grafiek dat t1 kleiner is dan t, dus dat zwaartekracht de tijd veranderd zoals de persoon die waarneemt (de tijdas blijft wel altijd haaks op de y-as).

[Math-E-Mad-X]

Sorry, maar ik heb echt geen flauw idee meer waar je het over hebt.
 
Als je binnen de Newtoniaanse zwaartekrachtstheorie de baan van een vallend object tekent in een tijdruimte diagram dan wordt dat toch echt een parabool. Maar blijkbaar zie jij dat anders... 

[DParlevliet]

1. Beschouwt een object dat in een zwaartekrachtsveld naar beneden valt volgens

\(h = \frac{1}{2} g t^2\)

.
2. Als we de baan van dit object in een tijdruimte diagram tekenen dan is deze baan een parabool.
3. Je definieert nu de "krommingsstraal" R van deze parabool als 1 gedeeld door de tweede afgeleide van h naar t.

Misschien had ik hier nauwkeuriger op moeten antwoorden:
1 Ik ga niet uit van een zwaartekrachtveld maar gebruik kaal de Newton-formule (die volgt uit de Riemann-formule).
2 Ik ga niet uit van een parabool maar van de kromming van de ruimtetijd (de rood-grijs gekromde lijn). Een kromming wordt in een bepaald punt gekarakteriseerd door een cirkel met een krommingsstraal.
3 De formule y = x²/2R is de formule van een cirkel.
 
Als het object de gekromde (rood-grijze) baan volgt dan zal die 'beweging' nog steeds hoofdzakelijk in de (onzichtbare) tijdas plaatsvinden, maar door de kromming voor een klein beetje in de zichtbare y-as terechtkomen. Dat noemen we zwaartekracht.
 
Jij gaat al per definitie uit van parabool-beweging, maar die is het resultaat van de kromming van de tijdruimte. Als er geen kromming was, was er ook geen parabool, dan wordt de tekening:
 


De eerste grafiek dus een grafische weergave van wat er gebeurd als de ruimtetijd (in dit geval de tijdas) gekromd is.

[Math-E-Mad-X]

De formule y = x²/2R is de formule van een cirkel.
 

 
Hoe kom je daar bij? Ik zie hier toch echt de formule voor een parabool.
 
De formule van een cirkel is namelijk:

\(R^2 = x^2 + y^2\)

 
 
 

 
2 Ik ga niet uit van een parabool maar van de kromming van de ruimtetijd (de rood-grijs gekromde lijn). Een kromming wordt in een bepaald punt gekarakteriseerd door een cirkel met een krommingsstraal.

 
Het enige wat je hier doet is de terminologie vervangen. Een vallend object legt een paraboolbaan af, ook al noem jij het geen 'paraboolbaan' maar een 'kromming van de ruimtetijd'. Het vervangen van de naam van een ding verandert niets aan de berekeningen die we er mee doen.
 
Alle berekeningen die je doet zijn prima te voen door iemand die alleen maar kennis heeft van de zwaartekrachtswetten van Newton, en die totaal geen verstand van relativiteitstheorie heeft.

[Math-E-Mad-X]

 
Jij gaat al per definitie uit van parabool-beweging, maar die is het resultaat van de kromming van de tijdruimte. Als er geen kromming was, was er ook geen parabool, 

 
Ja, dat klopt, maar zoals ik al eerder gezegd heb:  datzelfde kun je zeggen voor alle berekeningen die met zwaartekracht te maken hebben.
 
Volgens jou argumentatie valt dus ieder vraagstuk over zwaartekracht automatisch onder 'relativiteitstheorie'. Dat is een leuke manier van denken, maar wat ik bedoel is dat we om jouw berekeningen uit te voeren totaal geen kennis van de relativiteitstheorie nodig hebben. Kennis van de zwaartekracht van Newton is voldoende, en daarom valt jouw vraagstuk niet onder 'relativiteitstheorie', maar onder 'klassieke natuurkunde'.
 
Het enige verschil is dat jij het begrip 'paraboolbaan' vervangt door 'kromming van de tijdruimte'. Maar zoals gezegd, dat is puur een kwestie van terminologie.

[DParlevliet]

Volgens jou argumentatie valt dus ieder vraagstuk over zwaartekracht automatisch onder 'relativiteitstheorie'. Dat is een leuke manier van denken, maar wat ik bedoel is dat we om jouw berekeningen uit te voeren totaal geen kennis van de relativiteitstheorie nodig hebben. Kennis van de zwaartekracht van Newton is voldoende, en daarom valt jouw vraagstuk niet onder 'relativiteitstheorie', maar onder 'klassieke natuurkunde'.Het enige verschil is dat jij het begrip 'paraboolbaan' vervangt door 'kromming van de tijdruimte'. Maar zoals gezegd, dat is puur een kwestie van terminologie.

Inderdaad, want zwaartekracht is het resultaat van de relativeitstheorie. Als je de Riemannformule uitwerkt krijg je formule van Newton. Newton is relativeitstheorie onder vereenvoudigde omstandigheden dus met afrondingen. Dan kun je inderdaad klassieke formules gebruiken. Maar Newton geeft geen antwoord op de oorzaak van de zwaartekracht, het is slechts een formule. De relativeitstheorie (en mijn grafiek) geeft dat wel: áls er een 4D-ruimtetijd bestaat, áls ieder voorwerp zich met de lichtsnelheid door die ruimte verplaatst, áls de beweging in de tijd-as onzichtbaar is, dan zal een kromming van de ruimte er in resulteren dat een beweging in de tijd, door die kromming, ook een beweging door de ruimte veroorzaakt. Dat is de zwaartekracht. De Rk in mijn figuur is dus niet exact (dan moet je Riemann gebruiken), maar een benadering. Maar geeft wel visueel juist weer hoe de zwaartekracht ontstaat: door een kromming en niet de blote waarneming van een paraboolbaan. Verder vermoed ik dat de Rk van mijn figuur vrijwel gelijk is aan de Riemannstaal als die erg groot is, maar daar heb ik nog geen bewijs voor.
 
De formule y = x²/2R geldt voor een cirkel die door de oorspong loopt én x → 0. Voor grotere x wordt dat een parabool, maar dat gebruik ik niet.

[Math-E-Mad-X]

 
De formule y = x²/2R geldt voor een cirkel die door de oorspong loopt én x → 0. Voor grotere x wordt dat een parabool, maar dat gebruik ik niet.

 
Nee, het is een parabool voor elke x.
 
Voor kleine x kun je inderdaad zeggen dat een cirkelboog en een parabool op elkaar lijken, maar het is een beetje onzinnig om daarom te zeggen dat je uitgaat van een cirkel. Je doet berekeningen met de exacte formule voor een parabool, en het resultaat is geldig voor iedere x.  Dat een parabool voor kleine x op een cirkelboog gaat lijken is niet relevant voor je berekeningen. 

Maar Newton geeft geen antwoord op de oorzaak van de zwaartekracht, het is slechts een formule. 
 

 
Precies hetzelfde geldt ook voor de relativiteitstheorie: het is slechts een formule. Einstein geeft nog steeds geen antwoord op de oorzaak van de kromming van de ruimtetijd. En precies hetzelfde kun je zeggen van iedere natuurkundige wet. Natuurkunde verklaart nooit iets. Natuurkunde beschrijft alleen maar.

[Math-E-Mad-X]

Verder is het hele probleem van jouw figuur dat ze helemaal niets toont wat de Newtoniaanse zwaartekracht niet toont.
Je figuur laat een kromme baan zien. Maar als ik een diagram teken van een appel die volgens de wetten van Newton naar beneden valt, dan krijg ik exact dezelfde kromme baan. 
 
Volgens Newton is de "verklaring" hiervoor dat er een zwaartekrachtsveld heerst dat de appel naar beneden trekt. Volgens Einstein is de "verklaring" dat de tijdruimte zelf gekromd is en de appel langs een geodeet beweegt. Maar zolang alle berekeningen Newtoniaans blijven is geen van beide "verklaringen" beter dan de ander.
 
Het verschil is pas te zien op het moment dat we wel ingewikkeldere berekeningen bij gaan halen. En als we het nog moeilijker gaan maken (bijv. String theory) dan krijgen we weer een nieuwe "verklaring" voor zwaartekracht. Het punt is dat we uiteindelijk nooit een echte verklaring hebben, maar alleen maar steeds betere formules, die zwaartekracht telkens op een andere manier beschrijven.