Diagonaalbewijs van cantor

[Math-E-Mad-X]

Wat is het bewijs van die stelling? Waarom is 3333/ een ongeldig repeterend getal? Of waarom zijn ...395141 ...412414 ongeldige natuurlijke getallen?

Een natuurlijk getal heeft per definitie een eindig aantal cijfers. We zouden natuurlijk kunnen afspreken dat we voortaan ook natuurlijke getallen met oneindig veel cijfers toelaten (al zou dat waarschijnlijk niet echt zinvol zijn), en in dat geval zou het argument van Cantor inderdaad niet meer opgaan. Maar in de wiskunde heeft men nou eenmaal afgesproken dat natuurlijke getallen altijd een eindig aantal cijfers hebben.

En mocht je het niet eens zijn met de definitie van de natuurlijke getallen dan kun je het ook zo zien:

Definieer de verzameling A als de verzameling van alle eindige rijtjes van cijfers.

En de verzameling B als de verzameling van all oneindige rijtjes van cijfers.

Dan zegt Cantor dat B groter is dan A. Dit is nog altijd een zeer belangrijke stelling, ook al zegt ze niks expliciet over natuurlijke of reële getallen.

[EvilBro]

Een natuurlijk getal heeft per definitie een eindig aantal cijfers.

Hmmmm... impliciet, zeker. Expliciet, nee. Bij de definitie van natuurlijke getallen komt de representatie van die getallen helemaal niet kijken.

[Math-E-Mad-X]

Hmmmm... impliciet, zeker. Expliciet, nee. Bij de definitie van natuurlijke getallen komt de representatie van die getallen helemaal niet kijken.

Mee eens

[Rhel]

Definieer de verzameling A als de verzameling van alle eindige rijtjes van cijfers.

En de verzameling B als de verzameling van all oneindige rijtjes van cijfers.

Dan zegt Cantor dat B groter is dan A.

Als het zo gesteld wordt vind ik dat logisch. Immers, elk eindig rijtje van cijfers is op oneindig veel manieren uit te breiden naar een oneindig rijtje van cijfers. In feite is het dan zo dat voor elk element in de verzameling A er oneindig veel elementen in verzameling B voorkomen. Oneindig in het kwadraat als het ware.

Dank u voor uw toelichtingen.

[EvilBro]

In feite is het dan zo dat voor elk element in de verzameling A er oneindig veel elementen in verzameling B voorkomen.

Dit is een redenering die je vroeg of laat gaat opbreken. Bij je redenatie kijk je namelijk naar een specifieke link tussen beide verzamelingen. Je moet de situatie bekijken zonder te refereren aan een specifieke link.

Voorbeeld: ik ga alle natuurlijk getallen opdelen. Dit doe ik door eerst een natuurlijk getal toe te voegen aan alle groepen die ik al gemaakt heb en dan een nieuwe groep te maken. DUs:

1

-----

1,2

3

-----

1,2,4

3,5

6

----

enz.

Het moge duidelijk zijn dat alle groepen oneindig veel getallen bevatten. Nu nummer ik de groepen met de natuurlijke getallen.

1: 1,2,4,7,...

2: 3,5,8,12...

3: 6,9,13,18...

4: 10,14,19,25...

5: ...

Bij elk natuurlijk getal is er nu dus een associatie met oneindig veel andere getallen. Hieruit kan ik echter niet de conclusie trekken dat de ene groep 'groter' is dan de andere, want ze zijn immers dezelfde verzameling.

[Daaf]

Er is in de praktijk geen "grotere" oneindigheid dan een "kleinere" oneindigheid en omgekeerd. De verzamelingen zoals N, R, Z zijn er om te gebruiken naargelang de context van het vraagstuk. Allen bevatten ze het concept van oneindigheid. Door "oneindigheid" in vraag te stellen, anders dan een lijn die oneindig naar links en oneindig naar rechts loopt heeft Cantor de limiet naar elk getal als overaftelbaar beschreven.
 
David