Vraag over de kettingregel

[Stef1994]

Hi all,

 

Wie weet het antwoord op de volgende vraag?:

 

Gegeven is de functie: f (x) = ½ . x . √ 5-x²

 

Toon aan dat geldt: f '(x) = 5-2x² / 2 √ 5-2^x

 
Bij voorbaat dank!

[Back2Basics]

Dat zal niet kloppen, denk ik? Hoe komt die laatste x als machtscomponent, of is dat een typefout?
Misschien kun de de opgave met behulp van Latex typen, en anders een foto of screenshot uploaden?

[Stef1994]

Ik snap de gehele opdracht niet. 
 
Bij voorbaat dank.
 

Naamloze tekening 766 keer bekeken

[dirkwb]

Wat snap je er niet aan?

[Stef1994]

Ik kom niet op de antwoorden uit. Ik zou graag willen weten hoe ik op de antwoorden kom. 

Antwoord bij B is: =√ 5/2 ∨ x=−√ 5/2

[Back2Basics]

Ah, okee. Bedankt voor het oploaden, dat helpt!
Beginnen we met de dingen die je niet eenvoudig vindt.

1. Stel nu dat a(x)=5-x², kun je daarvan de afgeleide a'(x) bepalen?
2. Stel dat dat lukt, en stel verder dat b(a)=a^½, kun je daarvan de afgeleide b'(a) bepalen?

[Stef1994]

1. Yes, afgeleide is a'(x) = 2x
2. Ik denk: b'(x) = ½(5-x²)^-½

[mathfreak]

Bedenk dat

\(\sqrt{5-x^2}=(5-x^2)^{\frac{1}{2}\)

Zie je nu kans om daarmee met behulp van de kettingregel de afgeleide hiervan te vinden?

[NW_]

Bij a) de afgeleide a'(x) is niet 2x maar - 2x

Bij b) wat er staat is correct, maar er ontbreekt nog een stukje. Denk hierbij aan de kettingregel.

[Back2Basics]

1) a(x)=5-x² -> a'(x)=-2x
 
2) b(a)=a^½  -> b'(a)=½a^-½

[Back2Basics]

Stel dat de opgave was: g(x)= (5-x²)^½,
en er geldt dat a(x)=5-x²
en verder geldt dat b(a)=a^½,
dan had je g(x) ook kunnen schijven als  g(x)=b(a(x))
 
Nu is g'(x) = b'(a) · a'(x)
Dat heet de kettingregel.
Je kunt het nu gewoon invullen:
 
g'(x)=½a^-½ · (-2x)
g'(x)=½(5-x²)^-½ · (-2x)
 
Kun je het tot zo ver volgen?

[Back2Basics]

Ik ga ervan uit dat je het hebt kunnen volgen
 
OK, terug naar het begin.
 
De originele opgave is:
f(x)=½x·(5-x²)½
 
stel nu dat h(x)=½x, en g(x)=(5-x²)½
[je kunt h'(x) eenvoudig bepalen: h'(x)=½x⁰ = ½, en we hadden al dat g'(x)=½(5-x²)-½·(-2x) ]
 
dan kun je f(x) ook schrijven als f(x)=h(x)·g(x)
 
Van deze functie kun je de afgeleide bepalen door de produktregel toe te passen, en die levert hier: f'(x)=h'(x)·g(x) + h(x)·g'(x)
 
Weer alles invullen:
f'(x)=h'(x)·g(x) + h(x)·g'(x)
f'(x)=½ · (5-x²)½  +  ½x · ½(5-x²)-½·(-2x)
 
.. en dan even omschrijven naar de vorm zoals gevraagd wordt.
 
- - -
Je kunt drie dingen zien in de opgave:
- dat je het wortelteken als macht kunt schrijven, zoals Mathfreak zegt
- dat je het gedeelte onder het wortelteken als aparte functie kunt beschouwen -> dat betekent dat je het kunt substitueren
- dat je het gedeelte achter het =-teken als een samengestelde functie, ofwel als een product, kunt zien
 
Algemeen:
als het moeilijk lijkt: substitueren! En per gesubstitueerd gedeelte, de afgeleide bepalen. Uiteraard, later weer terug invullen.