Cavendish experiment

[Michel Uphoff]

Ik denk dat het meer om de winstoten gaat, die het dak/huis laten schudden.
Dat is aan de laserdot goed te zien, die gaat dan ook verticaal slingeren.

[Michel Uphoff]

Dit wordt voor het vervolg van de proef belangrijk:
 
Hoe bereken je de gravitatiekracht tussen twee massieve cilinders?
Mijn meet- en testmassa's zijn cilinders, en dan gaat de standaardformule voor bolvormige objecten niet op.
 
Concreet voorbeeld: Twee cilinders zijn beide 10 cm hoog. Een heeft een diameter van 10 cm en 9,1 kg massa en de andere een diameter van 4,5 cm en 1,66 kg massa. De assen lopen evenwijdig en de afstand tussen de assen is 8,4 cm. Hoe groot is dan de gravitatiekracht tussen beide objecten?
 
Ik heb mij naar gezocht naar de correcte formule voor deze berekening, maar kan hem -verbazingwekkend- niet vinden. Wie weet raad?

[Pinokkio]

Welke formule bedoel je precies met: "de standaardformule voor bolvormige objecten" ?
 
Bedoel je de simpele gravitatiewet van Newton: F = G*m*M/r²  ?
 
Maar die is toch eigenlijk alleen voor puntmassas, niet specifiek voor bolvormige objecten?
Als de vormafwijking en diameter van de puntmassas klein zijn t.o.v. onderlinge afstand r dan doet vorm en afmeting van m en M niet terzake maar in jouw geval waarschijnlijk wel.
 
Ik ben geen natuurkundige, maar het lijkt me dat je m en M moet opsplitsen in een groot aantal kleine massadeeltjes en dan de som van de krachten tussen de deeltjes van beiden integreren. Of zoiets.

[Emveedee]

Ik denk dat dat een probleem is dat je in 2 delen moet opsplitsen: eerst bereken je het zwaartekrachtsveld van een cilinder met massa M, straal R en hoogte h. Ik zou dit doen met Newton, en dan integreren over je infinitesimaal kleine puntmassa's, een beetje zoals hier. In dat voorbeeld gaan ze uit van één puntmassa in het veld, je zult dus nog eens moeten integreren over alle puntmassa's in je tweede cilinder. Ik vraag me af hoe groot het verschil uiteindelijk is t.o.v. een berekening met 1 puntmassa voor elke cilinder.
 
Tenzij de cilinders erg dicht bij elkaar komen denk ik niet dat het veel verschil maakt. Misschien is het makkelijk om eerst eens de kracht van 2 puntmassa's te vergelijken met die van een puntmassa in het veld van een cilinder, voordat je met de tweede stap begint.

[Pinokkio]

Twee cilinders zijn beide 10 cm hoog. Een heeft een diameter van 10 cm en 9,1 kg massa en de andere een diameter van 4,5 cm en 1,66 kg massa.

Gebaseerd op die afmetingen heeft de grote cilinder een volume van 785 ml en de kleine een volume van 159 ml.
 
Gemiddelde dichtheid van grote is dan 11,6 kg/L en van kleine is 10,4 kg/L. Dat scheelt nogal.
Komt dat doordat de door jou genoemde maten niet exact zijn?
 
Ik vermoed dat alle gewichten aluminium hulzen zijn met daarin gegoten lood? Of zijn de groten van ijzer?
Weet je de massa van alle lege aluminium of ijzeren hulzen?
 
Om het experimentele resultaat exact te kunnen berekenen m.b.v. integratie (of sommatie) moet je wellicht rekening houden met de aluminium/ijzeren wanden en bodem van de gewichten.
 
Bepaal ook of de gewichten exact cirkelvormig zijn, of, indien niet, hoe groot de afwijking is.

[Michel Uphoff]

Maar die is toch eigenlijk alleen voor puntmassas, niet specifiek voor bolvormige objecten?

 
Homogene bollen mag je reduceren tot een puntmassa in het centrum waardoor de gravitatiewet van Newton zondermeer toegepast kan worden. Inderdaad wordt het, aangezien beide cilinders elkaar zeer dicht naderen, integreren. Ik neem (wellicht te onrechte) aan dat er een standaardformule voor deze situatie voorhanden is, maar kan hem niet vinden.
 
Probleem is, dat mijn simulatiepakket niet met cilindervormige massa's om kan gaan. Ook lukt het Interactive Physics niet om de gravitatie tussen een groot aantal tezamen cilinders benaderende objecten te berekenen. Ik moet dus zelf een zo correct mogelijke berekening van de gravitatiekracht tussen beide cilinders zien te vinden, maar daar kom ik niet uit.
 
Wie (zie bericht 107 voor de voorlopige gegevens) helpen wil met een dergelijke berekening, of de correcte formule (die zou toch allang gevonden moeten zijn?) ergens kan opdiepen ben ik zeer dankbaar.

Komt dat doordat de door jou genoemde maten niet exact zijn?

 
Klopt. Het gaat mij nu eerst om de correcte formule voor onderlinge gravitatiekracht tussen de cilinders. De exacte maten, materialen en dientengevolge massa's zijn van latere zorg.

[Pinokkio]

Homogene bollen mag je reduceren tot een puntmassa in het centrum waardoor de gravitatiewet van Newton zondermeer toegepast kan worden.

Heb je daar een betrouwbare link of bron van, want voor mij is dit nieuw, en ik kan het dan ook moeilijk geloven.
 
 

.... of de correcte formule (die zou toch allang gevonden moeten zijn?)

Ik denk niet dat er een simpele formule voor bestaat, net zo min als ik dat geloof voor bollen. Maar er zullen voor twee cilinders best wel publicaties bestaan met een hoop sigmas erin.
 
Ik zou zeggen: gewoon zelf programmeren in een programmeertaal die je toevallig beheerst.
Zelf gebruik ik af en toe nog steeds het oude QuickBasic (tegenwoordig gratis beschikbaar als QB64) voor number crunching.

[Emveedee]

Toch is het waar Pinokkio, kijk eens hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem
 
 
Edit:
Ik heb een beetje zitten spelen met die formules, maar ik kom op een lelijke integraal waar ik zo 1,2,3 even niet uitkom. Als ik het mij goed herinner kon je dit makkelijk oplossen met een of andere standaardintegraal, maar ik heb mijn boeken niet in de buurt hier. Volgens mij moest het antwoord in ieder geval wel wat eleganter zijn dan dit (en dan was dit pas de eerste van 3 integralen...)
 
Als je wil kan ik straks mijn uitwerking so far wel even uittypen.

[Michel Uphoff]

Helaas... Ik heb net even "Gravitational experiments in the laboratory" van Chen en Cook doorgebladerd, en daar staat:
 

Image1 665 keer bekeken

 
Dat is stevig balen, en het wordt dus nog een hele toer om de onderlinge gravitatiekracht tussen de cilinders op verschillende afstanden tot elkaar te berekenen.
 
Even de werkzaamheden sedert de vorige keer in kort bestek:
De torsiearm vervangen door een tijdelijk schietlood, en zo exact mogelijk het rotatiecentrum van de torsiearm bepaald. Daar het taatslager met dunne tweezijdig klevende tape op de stenen plaat gemonteerd.
 

IMG_20170710_132755196 665 keer bekeken

IMG_20170710_133939617 665 keer bekeken

 
De draaibrug opgebouwd, en een stootblok aangebracht, zodanig dat de testmassa's op de brug aan weerszijden net niet tot aan het glas van het meetkastje kunnen komen (naderen tot 2 mm).

opbouw1 665 keer bekeken

IMG_20170710_155730052 665 keer bekeken

 
Het geheel nog zonder het meetkastje met de testmassa's in de neutrale positie:
 

IMG_20170709_212332410 665 keer bekeken

 
Op een testmassa een streepje gezet, en in het Eps een gaatje gemaakt, zodat ik m.v.b. een lampje de neutrale positie van beide testmassa's kan controleren:

IMG_20170710_220147630 665 keer bekeken

 
Niet zichtbaar op de foto's: Aan de draaibrug twee nylon draadjes vastgemaakt van 5 meter lang. Die gaan door kleine gaatjes naar buiten de eps kast, zodat ik op voldoende afstand ben om de balans niet met mijn massa te verstoren. Bovendien sta ik in het verlengde van de torsiebalans, en door deze combinatie van afstand en positie is de invloed van mijn massa op torsie van de balans verwaarloosbaar. Met de twee nylondraadjes kan ik de testmassa's links- dan wel rechtsom draaien tot aan het stootblok.
 
Positief is, dat de torsiebalans nu de testmassa's zijn aangebracht na 24 uur opwarmen een keurige en reproduceerbare maximale afwijking van ongeveer + en - 54 boogminuten geeft als ik de testmassa's vanuit het neutrale punt de ene of de andere kant op roteer. De gevoeligheid is dus ruim voldoende, maar wel ruwweg twee keer zo hoog als ik verwachtte (op grond van het IP model met bollen ipv. cylinders).
 
Vraag 1 kan nu dus positief beantwoord worden: Het is heel goed mogelijk de onderlinge gravitatiekracht tussen (bescheiden) massa's in een woonomgeving aan te tonen.
 
Vraag 2 kon gezien bovenstaande wel eens een heel lastige worden: Hoe nauwkeurig is de gravitatieconstante met deze huis-tuin-en-keuken opstelling te bepalen?
 
Gezien de maximale uitwijking van ruwweg 54 boogminuten en de te verwachten meetfout van +/- 1 boogminuut zou ik verwachten dat ik (indien de dimensies en massa's nauwkeurig bepaald kunnen worden) tot op een paar procenten van de correcte waarde zou moeten kunnen komen.
 
Maar voor dit laatste is dus allereerst een goede benaderingsformule voor de uitgeoefende gravitatiekrachten nodig. Of ik moet overgaan tot het maken van bolvormige massa's en dat is ook geen simpele opdracht.

[Pinokkio]

Bedankt Emveedee, ik zie nu mijn denkfout.
Het draait in feite om de zin:

So, the remaining mass m is proportional to r³, and the gravitational force exerted on it is proportional to m/r², so to r³/r² = r , so is linear in r.

[Michel Uphoff]

Heb je daar een betrouwbare link of bron van, want voor mij is dit nieuw, en ik kan het dan ook moeilijk geloven.

 
Inderdaad, het Shell Theorema. Bolvormige homogene objecten zijn te reduceren tot een gravitatiepunt waarin de totale massa is samengepakt, dat is dan ook de basis voor iedere omloopbaanberekening in sterrenkunde of ruimtevaart.

[Benm]

Dat is inderdaad lastig door de vorm van de testmassa's: het zijn geen bollen, en ook een 'oneindig lange cylinders' die de brekeningen makkelijker maken, maar iets daartussen.
 
Wat ik me daarbij afvraag: is er geen redelijke schatting te maken over de verwachte waarde? Niet in de zin van een methematisch sluitend bewijs, maar een empirisch gevonden getal voor cylinders binnen een zekere hoogte/omtrek verhouding?
 
Belangrijkste is dat je in ieder geval in de juiste orde grootte kunt meten. Mocht het niet anders gaan dan zou je alsnog bolmassa's kunnen maken natuurlijk, gezien je met lood werkt. Kwestie van halve bollen gieten in een een zandafdruk en die aan elkaar plakken/solderen/etc, dat is waarschijnlijk wel nauwkeurig genoeg en niet idoot moeilijk om te doen. 

[Pinokkio]

Of ik moet overgaan tot het maken van bolvormige massa's en dat is ook geen simpele opdracht.

Bovendien zullen die bollen bij dezelfde diameter een kleinere massa dan een cilinder hebben, oftewel bij dezelfde massa een grotere diameter benodigen, wat ruimtegebrek kan betekenen, en ook een grotere afstand tussen de zwaartepunten benodigen bij dezelfde afstand tussen de buitenzijdes van de bollen. Dus waarschijnlijk een lagere F.
 

Wie (zie bericht 107 voor de voorlopige gegevens) helpen wil met een dergelijke berekening........
..............
De exacte maten, materialen en dientengevolge massa's zijn van latere zorg.

Om een numerieke oplossing te programmeren is het toch wel belangrijk om de exacte maten (op een milimeter nauwkeurig) van alle cilinders te weten. Aangezien je de maten uiteindelijk toch exact moet bepalen om G te berekenen zou het best zijn dat nu al te doen.

[Michel Uphoff]

Bollen gieten in vormzand of in een uitgestookte met gravel versterkte gipsmal is waarschijnlijk wel te doen, maar dat betekent wel dat ik zoals Pinokkio terecht opmerkt de afmetingen dan wel de massa's moet gaan wijzigen. Voorlopig doe ik dat liever niet.
 
Maar Emveedee is zo vriendelijk geweest een Python programma voor mij te schrijven dat met vrije invoer van maten en massa's de gravitatiekracht tussen de cilinders berekent. Dat gebeurt door beide cilinders op te delen in een aantal vrij te kiezen radiale en angulaire elementjes, en van ieder elementje binnen de ene cilinder de gravitatiekracht op alle elementjes in de andere cilinder uit te rekenen en te sommeren. Dat programma ziet er zeer veelbelovend uit, en doet zo'n 400 miljoen berekeningen per uur bij keuze van kleine elementjes.
 
Hulde en dank aan Emveedee, ik stel dit enorm op prijs!
 
Nu staan er de volgende taken op de rol:
 
1: Het programma van Emveedee testen en de uitkomsten vergelijken met mijn IP model, het gezond verstand en met de standaard berekening volgens de algemene gravitatiewet van Newton tussen twee bolvormen (wie weet wat hier uit komt, misschien lossen we het probleem dat Chen een Cook in bericht 114 meldden en passant nog even op).
2: Bepalen van de exacte maten en massa's van de onderdelen.
3: Draaien van 10 'swing' tests, als volgt:

• Testmassa's in neutraalpositie zetten
• Wachten tot de torsieslinger zo goed als stil staat
• Opname starten
• Bepalen nulpositie torsieslinger
• Testmassa's draaien tot aan de stop
• Wachten tot de torsieslinger onder invloed van de testmassa's weer stil staat
• Testmassa's weer terug naar nulpositie draaien
• Wachten tot torsieslinger weer stil staat
• Bepalen nulpositie torsieslinger
• Opname stoppen

Zo vijf metingen met de testmassa's tegen de klok in gedraaid en vijf met de klok mee verrichten. De resultaten analyseren, en eventuele correcties voor het reeds gemelde lange termijn verloop van het nulpunt doorvoeren.
 
Een stabiliteitstest met beide testmassa's in de thermobox is naar tevredenheid verlopen. De windkracht was tussen 04:00 en 08:00 gering, maar het huis was niet onbewoond. Wel is de torsieslinger in twee dagen weer een stukje (1,5 boogminuut) naar links geroteerd a.g.v. het lange termijn verloop. Nog steeds lijken interne spanningen in de staaldraad niet helemaal in evenwicht gekomen.
 

stabiliteit met testmassas 661 keer bekeken

[Emveedee]

Ik twijfel nog een beetje of die eerste versie al valide resultaten oplevert. Nu ik er een nachtje over geslapen heb denk ik dat ik een aanname gedaan heb die niet helemaal klopt. Als ik wat tijd heb zal ik er nog eens wat aan sleutelen.