Cavendish experiment

[Benm]

Misschien is het wel een idee om eens een mooie schets te maken van je opstelling, inclusief posities van de testmassa's onder diverse condities en dergelijke. 
 
Dat je uberhaupt resultaat kunt meten met deze opstelling is eigenlijk best bijzonder, ik geloof niet dat het een experiment is dat vaak herhaald is door, niet beledigend bedoeld qua kennis maar wijzend op beperkte middelen, amateurs. 
 
De directe meting spreekt me aan. Er zijn gemakkelijker manieren om G vast te stellen als je bijvoorbeeld een aanname van de massa van de aarde veronderstelt, maar zonder een dergelijke veronderstelling en door puur wegen van de interacties van je eigen massa's is best bijzonder. 

[Michel Uphoff]

@Pinokkio:

 

V = 0,00005785 m/s

 

Ja dat klopt, maar dat is de snelheid door het nulpunt bij aanvang van de eerste oscillatie (het aanvankelijke 'duwtje'), en dus de maximum snelheid. Voor het grootste deel van de tijdsduur geldt een lagere snelheid, en gedurende een flink deel van de tijd is de snelheid vrijwel nul. Het is een sinuscurve.

Daarnaast; naarmate de amplitude daalt neemt de passagesnelheid door het nulpunt verder af.
 

Dus jouw k-factor bestaat voor slechts 4 % uit luchtweerstand en 96 % uit interne wrijving van de torsiedraad.

 
Ik denk gezien de sinus dus dat je dat niet zo kan stellen.

[Michel Uphoff]

@BenM
 
Ik ga volgende week eerst zien dat ik die testmassa's mooi loodrecht kan zetten met drie stelschroefjes door de twee draagplateaus.
Vervolgens ga ik twee eindstoppen (ipv 1) op het steen monteren die ik met een excentriekje nauwkeurig in kan stellen, zodat ik betere controle heb over de gewenste minimale afstand tussen meet- en testmassa's. Dan zal ik alle maten zo precies mogelijk vaststellen en een nette schets maken.
 

De directe meting spreekt me aan.

 
Er zijn nog andere (dynamische) manieren om G te meten, bijvoorbeeld zoals Cavendish (die zijn balans niet voldoende stil kreeg) die toepaste. Hij mat de maximale uitslag na de eerste rotatie van de testmassa's uit het nulpunt, draaide op het moment van de maximum uitwijking zijn testmassa's in de tegenovergestelde positie en mat wederom de maximale uitslag. Je krijgt dan een beeld overeenkomstig deze grafiek:
 

Slingeruitwijkingen volgens Cavendish 622 keer bekeken

Klik voor grote weergave
 
Maar dat heeft, nu ik nog onverklaarde en veel te grote afwijkingen meet, nu weinig zin.
 
Ondertussen ben ik bezig met het recentste geesteskindje van Emveedee. Waarvoor wederom mijn dank, een zeer welkome steun! Hij heeft er zelfs een mooie 3-d plot aan toegevoegd. Hier twee weergaven met een fijnere en een grovere resolutie:
 

Emveedee plot 622 keer bekeken

naamloos 622 keer bekeken

 
Ik ben ook nieuwsgierig naar een eventueel eenvoudig verband tussen de bol- en cilindergravitatie.
 
@Olof Bosma:
 

Zijn alle massa elektrisch met elkaar verbonden?

 
Inmiddels wel, en ik heb de (eerste) indruk dat er geen zichtbare verschillen in de torsiehoeken zijn.

[Benm]

Dat ziet er fraai uit. Ik neem aan dat die software werkt door beide massas op te delen in een fors aantal puntmassas en de aantrekkingen daarvan bij elkaar op te tellen?
 
Ik weet niet hoeveel moeite het is twee bollen in de software 'in te voeren', maar daarmee kun je in ieder geval testen of de uitkomst klopt voor de (exact bekende) situatie van twee bollen. 

[Emveedee]

Inderdaad, zo werkt het. Ik zal binnenkort even een post maken met uitleg.

Mijn volgende plan is inderdaad eerst de kracht van een bol berekenen berekenen, en daarna van een holle bol om het 'shell theorem' te testen. Als daar realistische resultaten uitkomen durf ik de simulatie wel te vertrouwen.

 

De uitkomst van de berekening is in ieder geval van de goede ordegrootte:

Code: Selecteer alles

============================= Simulation complete ==============================
N_r: 10             N_theta: 60             N_h: 10            
Simulation force vector[  1.20866740e-07   8.38270579e-24  -4.07534451e-26]
Simulation, total force:     1.2086674013576318e-07N
Newton, total force:         1.4288357777777776e-07N
Simulation completed in  174.2 seconds.
============================= Simulation complete ==============================
N_r: 10             N_theta: 100            N_h: 20            
Simulation force vector[  1.20684476e-07   1.04925070e-23  -2.22291519e-26]
Simulation, total force:      1.2068447606364614e-07N
Newton, total force:          1.4288357777777776e-07N
Simulation completed in 1912.9 seconds.

Overigens kun je in de plaatjes die Michel postte aan de grootte van de punten hun massa zien.

Edit: helaas gaat er iets mis met het de lay-out van mijn post vanaf mijn mobiel. Ik zal het thuis even fixen.

[Pinokkio]

Ja dat klopt, maar dat is de snelheid door het nulpunt bij aanvang van de eerste oscillatie (het aanvankelijke 'duwtje'), en dus de maximum snelheid. Voor het grootste deel van de tijdsduur geldt een lagere snelheid, en gedurende een flink deel van de tijd is de snelheid vrijwel nul. Het is een sinuscurve.

Ik was me ervan bewust dat die V = 0,00005785 m/s de maximale snelheid was en bedoelde slechts aan te tonen dat je in feite een (verkeerde) formule voor luchtweerstand in IP gebruikt om het effect van "interne weerstand" in de torsiedraad te compenseren. Het effect van de luchtweerstand in die correctie is vanwege die sinus eerder 1 - 2 % dan 4 %.
 
Aangezien niemand anders reageert op de factor 2.7 afwijking heb ik zelf toch eens wat beter naar die torsieberekeningen gekeken.
Het lijkt me (als torsie-amateur) dat je wellicht een factor 2 fout zit in de berekening van de I's van de meetcilinders in post #86
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/203304-voorbereiding-cavendish-experiment/page-6#entry1085621
Je gebruikt voor elke cilinder I = m.r² maar ik heb door een paar websites de indruk dat dat voor elke cilinder slechts 0,5m.r² moet zijn, oftwel voor beiden samen m.r²

 

[Emveedee]

Ik had beloofd dat ik wat zou vertellen over het scriptje dat ik geschreven heb om de zwaartekracht van twee objecten op elkaar te berekenen, dus bij dezen.
 
TL;DR: hak je object in stukjes, bereken de kracht van elk stukje op elk ander stukje, tel ze op, klaar. Het werkt, want de berekende kracht komt heel goed overeen met de theoretische kracht voor een bol en een holle bol.
 
Theorie:

Het basisidee is vrij eenvoudig. Je hebt een bepaalde massa, bijvoorbeeld een cilinder of een bol. Als je hiervan de zwaartekracht wil berekenen, deel je die massa op in (liefst zoveel mogelijk) kleine elementjes. Uiteraard moet je de positie en de massa van die elementjes zo kiezen dat ze een goede representatie zijn van het object dat je wil simuleren. Vervolgens neem je een andere puntmassa als 'testmassa'. De kracht tussen twee puntmassa's kun je simpelweg berekenen met de gravitatiewet van Newton.
 
Voor alle elementjes bereken je dan de kracht op je testmassa. Die krachten tel je bij elkaar op om de totale kracht van het voorwerp op je testmassa te krijgen.
 

Om de kracht van de ene massa op de andere te krijgen, moet je ze allebei in elementjes opdelen. Vervolgens bereken je voor elk elementje in massa 1 de totale kracht van alle elementen in massa 2. Vervolgens tel je de krachten van alle elementen in massa 1 bij elkaar op om de totale kracht van massa 2 op massa 1 te krijgen.

Ik gebruik cilindercoördinaten

\((r, \theta, z)\)

om de cilinder te beschrijven. De straal van de cilinder is R, de hoogte is h, de massa is m. Het domein van de coördinaten is dan dus:

\(r \in [0, R] \quad \theta \in [0, 2\pi] \quad z \in [0,h]\)

 
Een volume-elementje van een cilinder is (zie hier):

\(\mathrm{d}V = r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}z\)

 

De massa van dit elementje is de dichtheid rho keer dat volume.

\(\mathrm{d}M= \rho\,\mathrm{d}V = \rho \, r \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\)

met

\( \rho = \frac{m}{\pi r^2 h}.\)

 
De positie van een elementje is:

\(\vec{x} = \vec{x_0} + \left(\begin{matrix} r \cos(\theta) \\ r \sin(\theta) \\ z \end{matrix} \right)\)

De kracht op een puntmassa m door dat elementje is:

\(\mathrm{d}\vec{F} = G \frac{m\,\mathrm{d}M}{s^2} \hat{s}\)

met s de afstand tussen de twee en s-dakje de eenheids-richtingsvector.

Stel ik neem N_r punten in de radiale richting, N_theta in de angulaire, en N_z in de longitudinale, dan wordt de totale kracht op een puntmassa:

\(\vec{F} = \sum\limits_{i=1}^{N_\theta}\sum\limits_{j=1}^{N_r}\sum\limits_{k=1}^{N_z}\mathrm {d}\vec{F}\)

 
Die kracht bereken ik dus voor alle punten in het voorwerp waarop ik de kracht wil weten, en die sommeer ik dan.
 
 
Implementatie
De code is geschreven in Python 3.6.1 en maakt gebruik van o.a.de libraries numpy, scipy en matplotlib. 
 
In bericht 138 kun je een plotje zien van hoe deze verdeling in elementen eruit ziet voor verschillende N's.
 
Hieronder 2 voorbeelden van een resultaat van een berekening:

Code: Selecteer alles

============================= Simulation complete ==============================
N_r: 10             N_theta: 60             N_h: 10            
Simulation force vector [  1.20866740e-07   8.38270579e-24  -4.07534451e-26]

Simulation, total force:      1.2086674013576318e-07N
Newton, total force:          1.4288357777777776e-07N

Simulation completed in  174.2 seconds.

============================= Simulation complete ==============================
N_r: 10             N_theta: 100            N_h: 20            
Simulation force vector [  1.20684476e-07   1.04925070e-23  -2.22291519e-26]

Simulation, total force:      1.2068447606364614e-07N
Newton, total force:          1.4288357777777776e-07N

Simulation completed in 1912.9 seconds.

De 'Simulation force vector' is de vector van de totale kracht van cilinder 1 op cilinder 2. De cilinder staat op 8.4 cm in de x-richting van de ander. De kracht wijst dus alléén in de x-richting. In de y- en z-richting middelt de kracht uit naar (praktisch) 0. 'Simulation, total force' is de lengte van die vector.
 
'Newton, total force' is ter vergelijking de kracht van 2 puntmassa's met dezelfde totale massa als de cilinder op dezelfde (middelpunts)afstand. De ordegrootte van deze berekeningen lijkt dus in ieder geval in orde. 
 
Merk op dat voor de laatste simulatie één cilinder bestaat uit 10*100*20 = 20.000 punten. Het totaal aantal krachten dat dus berekend werd voor deze simulatie is dan dus (20.000)² = 400 miljoen! Dat komt dus neer op ruim 20.000 berekeningen per seconde (en inmiddels heb ik nog wat optimalisatie doorgevoerd.)
 
Als iemand interesse heeft om de broncode in te zien, stuur me dan een pb.
 
 
Validatie
Allemaal leuk en aardig, maar klopt er ook iets van? Helaas heb ik geen referentie van de zwaartekracht van een cilinder (anders was deze berekening ook niet nodig geweest). Gelukkig weet ik wel de kracht van een bol: die word namelijk beschreven door het  zgn. 'shell theorem'.
 
<b>Berekening van de zwaartekracht van een bol</b>
Met behulp van bolcoördinaten kan ik een bol ook opdelen in elementjes. Vervolgens heb ik de kracht op een puntmassa voor verschillende posities op de z-as berekend. De bol had een massa van 1 kg, de puntmassa 10 g. De straal van de bol was 1 m en deze was opgedeeld in 40.000 elementjes (N_r = 20, N_phi = 20, N_theta = 100).
 
Hier is een voorbeeld van hoe de punten verdeeld waren. De groene lijn zijn de posities van de testmassa waarvoor de kracht berekend is.

sphere_points 626 keer bekeken

 
Het resultaat zie je hier:

sphere_force 626 keer bekeken

Op de x-as staat r, in dit geval de afstand van de puntmassa tot het midden van de bol; op de y-as de kracht in Newton.
 
De resultaten van de theorie en de simulatie komen zéér goed overeen. Alleen in het midden van de bol klopt het niet helemaal, een gevolg van het eindig aantal elementen.
 
Berekening van de zwaartekracht van een holle bol

Om te controleren dat de berekening klopt, gebruiken we het shell theorem voor een holle bol. Binnen deze holle bol moet de totaalkracht op het deeltje 0 zijn. De bol is heeft weer een massa van 1 kg, en een straal van 1 m. De binnenstraal is 0.5 m. De bol is weer opgedeeld in 40.000 punten. Ook de puntmassa is hetzelfde.
 
De verdeling van de punten:

hollow_sphere_points 626 keer bekeken

 

hollow_sphere_force 626 keer bekeken

In de grafiek is duidelijk te zien dat de kracht inderdaad netjes naar 0 gaat binnen de holle bol.
 

hollow_sphere_force_detail 626 keer bekeken

Een close up met wat meer berekende punten.
 
Conclusie
De resultaten van de simulatie voor een bol en een holle bol komen zeer goed overeen met de theorie. Het is dan ook aannemelijk dat het model ook goede resultaten geeft voor simulaties van een cilinder.
 
Outlook
Vanwege symmetrie hoef ik slechts een kwart van de cilinder waarop ik de kracht wil berekenen te simuleren: bijv. de bovenste helft van de rechterhelft. Door dit kwart te 2 keer te spiegelen kan ik dan de totale kracht berekenen. Dit moet ik nog implementeren. Voordeel hiervan is dat de simulatie met meer elementen gedraaid kan worden.
 
Daarnaast ben ik aan het nadenken over een andere manier om de cilinder in elementjes te verdelen, waarbij de elementen voor grotere r niet zo 'grof' zijn.

[Emveedee]

[...] er ligt een zo goed mogelijke bepaling van het traagheidsmoment van de torsieslinger aan ten grondslag.

Met een digitale keukenweegschaal zijn alle onderdelen van de slinger zo goed als mogelijk is gewogen, en met een schuifmaat zijn alle relevante afmetingen bepaald. I.c.m. de formules voor het traagheidsmoment van verschillende vormen is zo het totale traagheidsmoment I van de hele torsieslinger berekend:

 
Parameters torsieslinger.jpg

 

Het is duidelijk dat het traagheidsmoment van de spantang en de spiegelhouder met spiegel verwaarloosd kunnen worden.

Op basis van het traagheidsmoment I en de slingerduur t kan nu de torsieconstante k van de draad, uitgedrukt in Nm per graad worden berekend (hier is als voorbeeld een periodeduur van 500 seconden genomen):

 
bepaling torsieconstante draad.jpg

 

 

Aangezien niemand anders reageert op de factor 2.7 afwijking heb ik zelf toch eens wat beter naar die torsieberekeningen gekeken.

Het lijkt me (als torsie-amateur) dat je wellicht een factor 2 fout zit in de berekening van de I's van de meetcilinders in post #86
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/203304-voorbereiding-cavendish-experiment/page-6#entry1085621

Je gebruikt voor elke cilinder I = m.r² maar ik heb door een paar websites de indruk dat dat voor elke cilinder slechts 0,5m.r² moet zijn, oftwel voor beiden samen m.r²

 

Pinokkio, je hebt gelijk. Volgens deze lijst op wikipedia is het traagheidsmoment van een cilinder inderdaad 0.5 m r². Maar ik denk niet dat dat het verschil gaat maken.
 
Het traagheidsmoment is gedefinieerd als:

\(I = \int_V r^2 \rho(r) \mathrm{d}V\)

Een integraal over het volume van de massa dus, met r de afstand van de massa tot het draaipunt en rho de massadichtheid op die plek in het volume. Uit deze integraal komt voor een cilinder die op een afstand staat dus géén I = 0.5 m r². Gelukkig kan je dit wel makkelijk berekenen met het parallel axis theorem. 

Het traagheidsmoment voor een cilinder met massa m, straal r en op afstand d van het draaipunt wordt dan

\(I = \frac1{2} m r^2 + m d^2\)

 
Voor een testmassa wordt dat dus bijv. 

\(I = 1.659 \cdot \left(\frac1{2}\cdot 0.00225^2 + 0.1525^2\right) \approx 0.039002\)

 
De benadering met puntmassa's is dus zo gek nog niet
 
Waar het verschil wel in zit... ? Voorlopig heb ik geen idee.

[Michel Uphoff]

Het is logisch dat als de torsiearm een volledige rotatie maakt (md²), de testmassa ook een keer om zijn eigen as is geroteerd (0,5mr²). We krijgen dus het traagheidsmoment van twee puntmassa's aan een arm plus die van twee cilinders die om hun eigen as draaien. Maar voorlopig is die laatste bijdrage aan het traagheidsmoment van het geheel te verwaarlozen.
De exacte formule (voor 1 testmassa) geeft 0,03858730 en de gebruikte puntmassabenadering kwam uit op 0,03858221, het verschil ligt in de orde van 1%. Dat is geen punt van zorg zolang ik nog vér af ben van een enigszins nauwkeurige bepaling.

@Emveedee:

Ik heb jouw simulatie gedraaid voor de gravitatie op verschillende afstanden tussen testmassa en meetmassa. Hier een overzichtje:

Afstand (m)	Cilinders (10.-7N)	Bollen (10.-7N)	Percentage
0,080	1,30851	1,57529	83,065
0,081	1,28104	1,53663	83,366
0,082	1,25441	1,49938	83,662
0,083	1,22859	1,46347	83,950
0,084	1,20354	1,42884	84,232
0,085	1,17924	1,39541	84,508

Op deze kleine afstanden is de gravitatiekracht tussen twee cilinders dus ongeveer 84% van die tussen twee bollen van gelijke massa. Mooi te zien is dat de verschillen kleiner worden naarmate de afstand toeneemt. Dat is logisch, ook de cilinder krijgt op grotere afstanden steeds meer het karakter van een puntbron. Op een afstand van 1 meter is de cilinder (net als de bol natuurlijk) al vrijwel te beschouwen als een puntbron:

Kracht tussen cilinders:     1.00677e-09N

Kracht tussen bollen:         1.00818e-09N

Helaas is de kracht tussen de cilinders dus kleiner dan tussen bollen, hetgeen het probleem alleen maar groter maakt. Eerst maar eens de precisie van het instrumentje op zien te schroeven.

[CoenCo]

Ten eerste: Ik lees al vanaf het begin mee, en heb ontzag voor je inspanningen en reeds behaalde resultaten.

V.w.b je afwijking, soms zit het in de kleine dingen:

Van wat ik terug kan vinden over je meetopstelling schijn je een laser op een draaiend spiegeltje. En de verplaatsing van die laser reken je terug naar de rotatie.

Wat ik niet terugzie is dat je corrigeert voor het feit dat een rotatie van de balans/spiegel van 1 graden ervoor zorgt dat de laser onder 1 graad met de nornaal invalt, en dus onder 1 graad met de normaal reflecteert. De totale afbuiging is dus 2 graden!

Heb je hier rekening mee gehouden?

[Michel Uphoff]

Heb je hier rekening mee gehouden?

 
Kuch..

En dat is nu het soort domme fouten waar ik naar op zoek was!
Met dat feitje uit de allereerste les optica heb ik geen rekening gehouden.
En daarom is mijn uitslag (ruim) twee keer te groot, want mijn gradenschaal op het projectiescherm is verkeerd .

Uit het eerste bericht:

De afgelegde afstand is 11,46 meter, zodat bij een cirkelomtrek van 72 meter iedere booggraad 20 cm op de meetschaal is.

 
Dat is wel waar, maar bij een roterende spiegel moet je dat dus wel verdubbelen, een graad torsieslinger rotatie is 40 centimeter op dat scherm. Komende dagen bezig met het zo exact mogelijk opmeten en verfijnen van alles, en dan weer opnieuw meten, maar nu met de correcte schaal en de herrekende parameters.

Dankjewel CoenCo!

[Benm]

Scherp gezien inderdaad
 
Geluk bij een ongeluk is dat je het eenvoudig kunt herberekenen zodat al je metingen tot dusver niet waardeloos zijn. 

[CoenCo]

En het tweede geluk is dat alle tot nu gevonden afwijkingen, eigenlijk slechts half zo groot waren

[Michel Uphoff]

En de stabiliteit is twee keer groter:
 
[sharedmedia=core:attachments:24747]
tussen de streep en een bolletje zit 0,025 graden
 
De maximale sweep in deze opname van ruim 4 uur is dus niet -0.02, +0.01 graden, maar -0.01 + 0.005 graden.
Minder dan een boogminuut O:).
 

[Michel Uphoff]

Inmiddels wat verbeteringen aangebracht.

- Allereerst de kast waar het geheel op staat netjes waterpas gezet.
- Omdat het glazen meetkastje met die hardboard bodem nogal gammel op die vier stelpootjes stond, de smalle zijden vervangen door wat aluminium dat met hoekstukjes op de stenen plaat werd gelijmd. Het kastje staat nu stevig en mooi waterpas. Glas laat zich moeilijk exact op maat snijden, met deze alu profielen is verzekerd dat de glazen wanden van het meetkastje mooi evenwijdig lopen op een binnenwerkse afstand van exact 6 cm. De reflecties van de laserdot door het glas aan de voor- en achterzijde van het meetkastje vallen nu keurig samen, wat eerst niet het geval was.
- Onder de twee testmassa's zijn drie stelschroefjes door de plateau's gemaakt, en in de bodem van de gewichten drie kleine putjes gedrukt. Nu zijn de testmassa's ook netjes waterpas te stellen, en kunnen de massacentra van meet- en testmassa's op gelijke hoogte worden gebracht.
- De enkele stop die ik eerst had gemaakt om de testgewichten op de draaibrug vlak voor het glas van het meetkastje te laten stoppen vervangen door een regelbare stop. Nu kunnen de testgewichten zowel links- als rechtsom draaiend met wat meer precisie op gelijke afstand van het meetkastje, c.q. de meetmassa's komen

IMG_20170717_142256589 626 keer bekeken

IMG_20170717_142232615 626 keer bekeken

IMG_20170717_151256300 626 keer bekeken

Aangepast meetkastje (nog niet vastgelijmd), testmassa met stelschroefjes en stelboutjes voor de draaibrugstopper.

Voorts alle maten en de massa's van de meet en testgewichten zo goed als mogelijk bepaald:

Image2 626 keer bekeken

De maten en massa's van de gewichten.

Een belangrijke wijziging is, dat ik de lengte van de torsiearm heb verkleind tot 262 mm effectief. Dat was nodig om het rekenen eenvoudiger te maken. Nu staat de gravitatielijn tussen test- en meetmassa zoveel mogelijk haaks op de torsiearm (de minuscule afwijking die door de rotatie van de torsiearm ontstaat verwaarloos ik):

Image1 626 keer bekeken

Nadeel van de verkorting is wel, dat nu de invloed van de andere testmassa, die nu wat dichter mij de tegenover gelegen meetmassa komt wat groter wordt. In de afbeelding; De testmassa rechtsboven trekt ook aan de linker meetmassa. Een grove indicatie geeft een invloed van ongeveer 5% op de uitslag weer. Ik zal daarvoor gaan corrigeren.
 
Een nieuwe lengte van de torsiearm geeft andere periodeduur en traagheidsmoment. De periodeduur is opnieuw vastgesteld op 460,7 seconden. Om de lineariteit a.g.v. eventuele effecten van gewijzigde luchtweerstand en energieverlies in de draad en wellicht een veranderende torsieconstante van het staal te kunnen bepalen heb ik de periodemeting over zo een groot mogelijke (+/- 1,5 graad) en zo klein mogelijke (+/- 0,05 graden) amplitude een aantal keren bepaald. De verplaatsingssnelheid (nou ja, snelheid, maximaal een centimeter per uur..) van de testmassa's door de lucht in het meetkastje varieerde dus met ruwweg een factor 30. Alleen bij zeer kleine amplituden kreeg ik een licht afwijkende periodeduur (458,9 seconden), maar bij zulke minieme verplaatsingen van de laserdot over het projectiescherm zijn de uitersten sowieso heel lastig te bepalen. Ik trek dus de conclusie dat het met de lineariteit wel goed zit, en dat ik de in het model gebruikte dempingsfactor mag blijven gebruiken.

Uit de nieuwe periodeduur wordt de torsieconstante afgeleid:

Image3 626 keer bekeken

Berekening traagheidsmoment en torsieconstante (nu met alle eerder verwaarloosde effecten inbegrepen).

Inmiddels is de kast aan het opwarmen. Morgen waarschijnlijk de eerste metingen.