Injectieve functies

[_Wisk_]

Een functie is injectief wanneer elke y-waarde hoogstens overeen komt met 1 x-waarde.

Mijn vraag is dan:

Hoe zie ik snel of bepaalde functies injectief zijn, kan dit zonder grafiek ? En hoe zoek ik het beste het inverse functie

voorschrift ?

Zijn de volgende functies injectief ? indien ja, geen dan het voorschrift van hun inverse functie.

a) R -> R x |-> 2x³ + 5

Deze is volgens mij injectief.

Inverse functie:

R -> R x |-> ³√ ((3x - 5) / 2)

b) R -> R x |-> 12x - 11

Deze is volgens mij ook injectief.

Inverse functie:

R -> R x |-> (x + 11) / 12

c) R -> R x |-> x² - 4x + 1

Deze functie is volgens mij ook weer injectief, maar volgens mij is de inverse ervan niet te bepalen.

Alvast bedankt!

[tempelier]

Probeer eens bij c) de waarden

\(x=0 \text{ en } x=4\)

Er kan bij c) wel een inverse worden bepaald als men het defintie gebied reduceert tot een gebied waar de functie 1-1 duidig is.

[_Wisk_]

Een functie is injectief wanneer elke y-waarde hoogstens overeen komt met 1 x-waarde.

Mijn vraag is dan:

Hoe zie ik snel of bepaalde functies injectief zijn, kan dit zonder grafiek ? En hoe zoek ik het beste het inverse functie

voorschrift ?

Zijn de volgende functies injectief ? indien ja, geen dan het voorschrift van hun inverse functie.

a) R -> R x |-> 2x³ + 5

Deze is volgens mij injectief.

Inverse functie:

R -> R x |-> ³√ ((3x - 5) / 2)

Voor a moet de 3 wegvallen; het moet dus het volgende zijn:

R -> R x |-> ³√ ((x - 5) / 2)

Probeer eens bij c) de waarden

\(x=0 \text{ en } x=4\)

Er kan bij c) wel een inverse worden bepaald als men het defintie gebied reduceert tot een gebied waar de functie 1-1 duidig is.

Klopt, c is dus niet injectief.

Is er een eenduidige manier om dit te bepalen ?

Of is dit gewoon 'inzicht' ?

Ik zie net in dat men in het geval van een tweedegraads functie ook zou kunnen kijken of de discriminant positief is.

Indien dat zo is, weet men ook al onmiddellijk dat de functie niet injectief is.

[tempelier]

Bij mij is het groten deels ervaring denk ik.

Er is geen algemeen snelle manier om het direkt te zien,

wel bij deze eenvoudige gevallen omdat die vaak langskomen en men dus al vaker zo'n type heeft heeft gezien.

[_Wisk_]

Bij mij is het groten deels ervaring denk ik.

Er is geen algemeen snelle manier om het direkt te zien,

wel bij deze eenvoudige gevallen omdat die vaak langskomen en men dus al vaker zo'n type heeft heeft gezien.

Ok, bedankt!

[Safe]

Een functie is injectief wanneer elke y-waarde hoogstens overeen komt met 1 x-waarde.

Mijn vraag is dan:

Hoe zie ik snel of bepaalde functies injectief zijn, kan dit zonder grafiek ? En hoe zoek ik het beste het inverse functie

voorschrift ?

Zijn de volgende functies injectief ? indien ja, geen dan het voorschrift van hun inverse functie.

a) R -> R x |-> 2x³ + 5

Deze is volgens mij injectief.

Inverse functie:

R -> R x |-> ³√ ((3x - 5) / 2)

b) R -> R x |-> 12x - 11

Deze is volgens mij ook injectief.

Inverse functie:

R -> R x |-> (x + 11) / 12

c) R -> R x |-> x² - 4x + 1

Deze functie is volgens mij ook weer injectief, maar volgens mij is de inverse ervan niet te bepalen.

Alvast bedankt!

Kies bij a) x=1 => y=..., klopt dit met je inverse?

c) is niet injectief, wijs een y aan met verschillende x-waarden via je grafiek

[hanzwan]

Zoals je zei is een functie injectief zodra elke Y waarde maar 1 keer in het domein van X wordt aangenomen. Een hulp is bijvoorbeeld om te kijken naar hoe de functie loopt. Is hij monotoom dalend of monotoom stijgend? Dit kun je proberen af te leiden dmv de afgeleide. Als deze altijd groter/kleiner dan 0 is dan ben je al een eind.

Daarnaast is een parabolische functie/even kwadratische functie snel tegen bewezen door twee punten van een even grote afstand van het middelpunt te kiezen

[Safe]

Bij een kwadratische functie is je grafiek een parabool en dus is je functie wel/niet injectief ...

Maak een keuze, waarom die keuze?

[Puntje]

Bij veel functies is het makkelijk. Stellen we hebben \(f:\rr \longrightarrow [0,\infty)\) met \(f(x)=x^2\). We willen weten of f(x) injectief is, wat inhoud dat als f(a)=f(b) dan moet a=b zijn. Invullen levert duidelijkheid:

\(f(a)=f(b) \Leftrightarrow a^2=b^2\)

\(a=\sqrt{b^2}=|b|\)

Hieruit volgt dat f(x) niet injectief is. Vaak helpt het dus om gewoon eens f(a)=f(b) uit te werken.

[hir kul]

Komt wat laat en de oplossing zal wel niet meer van toepassing zijn, maar dit zijn de drie opgaven die in het boek van hogere wiskunde 1&2 deel A voorkomen. Wat heb je gestudeerd? HI?