maximaal vermogen

[WillemB]

In de berekening komt de waarde van de condensator niet terug, je gebruikt wel de 1,8 kohm 
En als je het algemeen wilt houden met de RC tijd, zal je de R en C apart moeten benoemen. 

[ukster]

Het is feitelijk de spanning over de weerstand R van een differentiatornetwerk.
De schakeling wordt gevoed met een symmetrische blokspanning.

Differentiator 733 keer bekeken

[WillemB]

Als het inderdaad een schakeling is met een condensator en weerstand, dan is er een eenvoudige manier,
 
je neemt de begin lading Q₀=C*U van de condensator, bij de start, en de eind lading bij de cyclus Q_t=C*U,
trek deze van elkaar af, dan weet je welke lading er door de weerstand gaat, en eveneens het juiste vermogen.

[ukster]

Dit wordt interessant.
Dan zou dit hetzelfde resultaat moeten opleveren als #26
R=1k8
C=1uF
U_max=50V
U_min=50.e^-3 = 2,5V  

[Professor Puntje]

Volgens mij is dit de integraal die we nodig hebben:

 
integraal.png

Bron: http://www.wolframalpha.com/input/?i=\int_0^(3*%5Ctau)++(%5Cexp(-t%2F%5Ctau))%5E2+dt

 

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{1}{\mbox{T}} \, \int_0^T \mbox{P}(t) \, \mbox{d} t \)

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{1}{\mbox{T}} \, \int_0^T \frac{(\mbox{U}(t))^2}{\mbox{R}} \, \mbox{d} t \)

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{1}{\mbox{T} \mbox{R}} \, \int_0^T (\mbox{U}(t))^2 \, \mbox{d} t \)

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{1}{3 \tau \mbox{R}} \, \int_0^{3 \tau} \left (\hat{\mbox{U}} e^{\frac{- t}{\tau}} \right )^2 \, \mbox{d} t \)

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{\hat{\mbox{U}}^2}{3 \tau \mbox{R}} \, \int_0^{3 \tau} \left (e^{\frac{- t}{\tau}} \right )^2 \, \mbox{d} t \)

Dus:

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{\hat{\mbox{U}}^2}{3 \tau \mbox{R}} \, \frac{(e^6 - 1) \tau}{2 e^6} \)

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{\hat{\mbox{U}}^2}{3 \mbox{R}} \, \frac{e^6 - 1}{2 e^6} \)

 

\( \mbox{P}_{gem} = \frac{\hat{\mbox{U}}^2}{\mbox{R}} \, \frac{e^6 - 1}{6 e^6} \)

 
Een grappige uitkomst! 

[ukster]

 P_gem ≈ 2500/1800/6= 230mW
 
 Nu nog checken met de methode aangegeven in #33
gaat dit zo?
delta Q=C.U = (1E-6.50V - 1E-6.2,5V) = 4,75E-5 = I.t  (t=3tau=5,4ms)
I=4,75E-5/5,4ms=8,8mA
P=I^2.R=139mW (dat verschilt nogal)

[WillemB]

Als ik met de hand grof uitrekend krijg ik 9,3 mA, dus dat komt aardig in de buurt
 100%, 37%, 14 %, 5 % is de RC curve
 
 
0 RC, 50 V, 27 mA
1 RC, 18 V, 10 mA  grof gemid  18 mA
2 RC    7 V, 4   mA  grof gemid  7 mA
3 RC   2,5 V, 1 mA  grof gemid  3 mA
 
27+10+4+1 /4 is 10 mA
18 + 7 + 3 /3  komt op 9,3 mA

[ukster]

Het gaat inderdaad de goede kant op.
Ook in dit proces blijkt wederom dat het aantal samples de (on)nauwkeurigheid van het antwoord bepaald, en zal alleen integratie over (0-3τ) tot het juiste antwoord (11,3038mA) kunnen leiden.

[Professor Puntje]

Als het inderdaad een schakeling is met een condensator en weerstand, dan is er een eenvoudige manier,
 
je neemt de begin lading Q₀=C*U van de condensator, bij de start, en de eind lading bij de cyclus Q_t=C*U,
trek deze van elkaar af, dan weet je welke lading er door de weerstand gaat, en eveneens het juiste vermogen.

 
De logica van die redenering vat ik nog niet helemaal. Ik heb ook geprobeerd te bewijzen dat het zo kan, maar dat lukt niet. Ik heb dus mijn twijfels of je er zo komt. Met name over de stap dat uit de totale lading die door een weerstand vloeit volgt welke energie erin wordt opgestookt. In zijn algemeenheid kan dat al niet kloppen, want je kunt ook met een wisselstroom in een weerstand vermogen dissiperen.
 
Misschien is er wel een alternatieve weg via Fourierreeksen of een Laplace-transformatie. maar dat heb ik niet nagetrokken.

[WillemB]

Met die condensator is het als volgt, bij de start van de puls is de lading in de condensator 0,
en op het eind van de puls heeft deze een bepaalde lading dat is Q=C*U
 
Nu hoe is deze lading erin gekomen, en wel dat gedurende een bepaalde tijd, een stroom liep naar 
deze condensator, de vorm doet er niet toe, het is een vat dat gevuld wordt.
 
Net als je een vat water zou vullen met 1000 liter water en er een uur over doet.
Dan kan je dus bepalen wat het gemiddelde aantal liters is wat er gevuld is per minuut.
 
Dus als je weet wat er gedurende 10 millisec gemiddeld 1 A naar een condensator loopt, dat er dan 10 milliCoulomb in zit

@ Ukster, de waarde kan nooit groter zijn dan 10 mA, omdat ik grof 4 rechte lijnen op de RC punten heb getrokken in een differentiaal grafiek, waarvan de uiteindelijk alle waarden onder mijn rechte lijnen zit. 
 
@ Puntje, dit gaat alleen op voor enkele puls, dus nog wel voor een 1/4 sinus, maar meer niet, dat klopt.

[Professor Puntje]

@ WillemB
 
Een zekere lading Q kan binnen een tijdsduur T op allerlei manier door een weerstand  R vloeien. Dat geldt zelfs bij de beperking dat de stroom maar in één richting mag gaan. Het spreekt dan ook niet voor zich dat er dan steeds een zelfde energie W in de weerstand wordt verstookt. Probeer dat maar eens te bewijzen.

[WillemB]

Ik doe en poging,  lading Coulomb (Q) en Ampere hebben een relatie, recht evenredig is,
 
daar valt niet zoveel aan te bewijzen, Ampere mag je ook vervangen door Coulomb per seconde.
 
dus Ampere == Coulomb per seconde en dus uit wisselbaar, in elke formule mag je dit gebruiken.
 
dus P=I² x R mag ook geschreven worden als P=(Q/s)² x R

[Professor Puntje]

Ik doe en poging,  lading Coulomb (Q) en Ampere hebben een relatie, recht evenredig is,
 
daar valt niet zoveel aan te bewijzen, Ampere mag je ook vervangen door Coulomb per seconde.
 
dus Ampere == Coulomb per seconde en dus uit wisselbaar, in elke formule mag je dit gebruiken.
 
dus P=I² x R mag ook geschreven worden als P=(Q/s)² x R

 
Daarmee hebben we:
 

\( \mbox{P}(t) = \left ( \dot{Q}(t) \right )^2 \cdot \mbox{R} \)

 
waarbij:
 

\( \dot Q = \frac{\mbox{d} Q}{\mbox{d} t} \)

 
En nu verder... ?

[klazon]

dus Ampere == Coulomb per seconde en dus uit wisselbaar, in elke formule mag je dit gebruiken.

Correct. Maar dan moet je wel weten hoeveel tijd die coulombs over de reis hebben gedaan.

[EvilBro]

Een zekere lading Q kan binnen een tijdsduur T op allerlei manier door een weerstand  R vloeien.

Nou en?

Hoeveel energie zat er aan het begin van de periode in de condensator (t=0)?

\(E(0) = \frac{1}{2} C U(0)^2 = \frac{1}{2} C 50^2\)

Hoeveel energie zat er aan het eind van de periode in de condensator (t=T)?

\(E(T) = \frac{1}{2} C U(T)^2 = \frac{1}{2} C \left(50 e^{-\frac{T}{\tau}}\right)^2 = \frac{1}{2} C 50^2 e^{-\frac{2 T}{\tau}}\)

Hoeveel energie is er dus weggegaan uit de condensator?

\(\Delta E = \frac{50^2 C}{2} \left(1 - e^{-\frac{2 T}{\tau}} \right)\)

Waar is die energie heengegaan?
Die is verstookt in de weerstand (het enige resistieve element in de schakeling).
Wat is dan het gemiddelde vermogen dat in de weerstand verstookt is?

\(P_{gem} = \frac{\Delta E}{T} = \frac{50^2 C}{2 T} \left(1 - e^{-\frac{2 T}{\tau}} \right)\)

Met

\(T = 3 \tau\)

\(\tau = R C\)

hebben we dus:

\(P_{gem} = \frac{50^2}{6 R} \left(1 - e^{-6} \right)\)

Merk op dat het juiste antwoord behaald wordt met enkel het bekijken van de energiebalans. Hoe de energie bij en wanneer de energie in de weerstand verstookt is, is niet interessant.
Aangezien geldt:

\(Q(t) = C U(t)\)

kun je het bovenstaande verhaal natuurlijk ook prima doen door het alleen te hebben over lading (maar waarom zou je als de spanningsfunctie gegeven is?).