Newton + SRT = α ? De ontknoping

[Professor Puntje]

Hier beschouwen we het algemene geval van een foton dat een zwaar hemellichaam passeert. Aangezien de baan naar het hemellichaam toe en de baan van het hemellichaam af symmetrisch zijn hoeven we maar één van die twee te berekenen. We bekijken hier de baan vanaf het hemellichaam of preciezer uitgedrukt vanaf het perihelium (of periastron).

 

lichtbuiging 2002 keer bekeken

 

De grootte van het perihelium (of periastron) geven we aan met p. Het H-stelsel is het niet roterende referentiestelsel dat met het middelpunt O van het hemellichaam is verbonden. Het L-stelsel is het niet roterende referentiestelsel dat met het middelpunt O_L van een vrijvallende bolvormige liftcabine is verbonden. De klok op punt O in het H-stelsel wijst de eigentijd τ_H aan en net zo wijst de klok op punt O_L in het L-stelsel de eigentijd τ_L aan. Wanneer het foton het perihelium (of periastron) passeert begint de klok in het H-stelsel vanaf nul te lopen. De klok in het L-stelsel begint vanaf nul te lopen zodra het foton het middelpunt O_L passeert. We berekenen dus alleen situaties voor niet-negatieve τ_H en τ_L. Tenslotte kiezen we de beginsnelheden van opeenvolgende liftcabines op tijdstippen t_H zodanig dat v_L(t_H) = v_r(t_H) waardoor het foton zich binnen de bij die cabines behorende L-stelsels in infinitesimaal kleine tijdjes na die t_H met snelheid c enkel horizontaal langs de x_L-as beweegt.

 

 

Wegens de klok hypothese hebben we dan voor een waarnemer in het H-stelsel dat:
 

\( \mbox{d} \tau_H = \gamma \cdot \mbox{d} \tau_L \)

Met:

\( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v_L}{c})^2}} \)

 
Daarin is v_L de momentane snelheid van de liftcabine inclusief O_L zoals gemeten in het H-stelsel.

 

 

Voor een vrijvallende liftcabine met een infinitesimale breedte beweegt het foton in infinitesimale tijdjes dτ_H (bezien vanuit het H-stelsel) en dτ_L (bezien vanuit het L-stelsel) van het middelpunt van de liftcabine O_L naar de zijwand. Aangezien de breedte van de liftcabine bezien vanuit het H-stelsel en het L-stelsel hetzelfde is vinden we:

 

\( v_{\theta} \, \mbox{d} \tau_H = \mbox{c} \, \mbox{d} \tau_L \)

\( v_{\theta} \, \gamma \, \mbox{d} \tau_L = \mbox{c} \, \mbox{d} \tau_L \)

 

\( v_{\theta} \, \gamma = \mbox{c} \)

 

\( v_{\theta} = \frac{\mbox{c}}{\gamma} \)

 

\( v_{\theta} = \mbox{c} \cdot \sqrt{1 - \left ( \frac{v_L}{c} \right )^2} \)

 

\( v_{\theta} = \mbox{c} \cdot \sqrt{1 - \left ( \frac{v_r}{c} \right )^2} \)

 

\( (v_{\theta})^2 = \mbox{c}^2 \cdot \left (1 - \left ( \frac{v_r}{c} \right )^2 \right ) \)

 

\( (v_{\theta})^2 = \mbox{c}^2 - (v_r)^2 \right ) \)

\( (v_{\theta})^2 + (v_r)^2 = c^2 \)

 

Het foton blijft vanuit het H-stelsel bezien ondanks het gravitatieveld dus voortdurend met de lichtsnelheid bewegen. Dit is voor een semi-klassiek model als het onze een fraai tussenresultaat. Later meer...
 
Ondertussen wil ik de lezer van harte uitnodigen aangaande de redeneringen en afleidingen in dit topic vragen te stellen of commentaar te leveren.

[Professor Puntje]

Van de gravitatieversnelling g wordt in het geval van een foton alleen de normaalversnelling g_n gerealiseerd, een tangentiële versnelling g_t treedt bij het foton althans wanneer we dat bezien vanuit het H-stelsel niet op omdat het foton in dat stelsel een constante snelheid c heeft. Met g_n en g_t corresponderen de krachten F_n en F_t . Daarvan is de kracht F_n energieneutraal omdat zij haaks staat op de bewegingsrichting van het foton. De kracht F_t leidt bij het foton weliswaar tot een verandering van inwendige energie en bijgevolg (volgens de kwantumfysica) tot een verandering van de golflengte (en frequentie), maar voor de berekening van de baan van het foton hebben we enkel maar de normaalversnelling g_n nodig.
 
Voor de vectoriële snelheid v van het foton bezien vanuit het H-stelsel geldt dus:
 

\( \left ( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} \tau_H} \, \mathbf{v} \right )(t_H) = \mathbf{g_n}(t_H) \)

 

\( \left ( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} \tau_H} \, \mathbf{v} \right )(t_H) = \left ( - \frac{\mbox{G} \ \mbox{M}}{(\mbox{r}(t_H))^2} \, \mathbf{e_r}(t_H) \right )_n \)

 

\( \left ( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} \tau_H} \, \mathbf{v} \right )(t_H) = \left ( - \frac{\mbox{G} \ \mbox{M}}{(\mbox{r}(t_H))^2} \, \mathbf{e_r}(t_H) \,\, \bullet \,\mathbf{N}(t_H) \right ) \cdot \mathbf{N}(t_H) \)

 
Hierin is e_r(t_H) de eenheidsvector die vanuit de oorsprong 0 van het H-stelsel wijst naar de momentane positie van het foton op tijdstip t_H en is N(t_H) de eenheidsnormaalvector aan de baan van het foton eveneens op tijdstip t_H .
 
Met deze formules zou de baan van het foton volgens het hier geschetste model numeriek te berekenen moeten zijn. En zodra we de baan weten weten we ook de afbuiging.
 
Echter ben ik persoonlijk in numerieke methoden en programma's (nog) niet goed thuis, dus ik zou het leuk vinden wanneer een andere gebruiker deze uitdaging oppakt. Ondertussen zal ik proberen het vraagstuk ook analytisch op te lossen.

[HansH]

wat is de formule voor N(th)? want die staat niet in je formule overzicht. om eea (numeriek) te berekenen moet je voor elke variabele weten hoe je die moet berekenen.
 
verder is het relativistiche deel sqrt(1-(v/c)^2) voor zon en aarde tot wel 7 of 8 decimalen achter de komma gelijk aan 1. dus ik verwacht niet dat dat iets aan de baan zal veranderen waarmee je de factor 2 kan verklaren die er zit tussen klassiek en ART. hier: https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/202238-kromtestraal-van-de-ruimtetijd-2/page-9 had ik eea al numeriek opgelost zonder relativistisch deel. 
Er moet dus volgens mij een andere verklaring zijn waarom de afbuiging een factor 2 meer is.    

[Professor Puntje]

wat is de formule voor N(th)? want die staat niet in je formule overzicht. om eea (numeriek) te berekenen moet je voor elke variabele weten hoe je die moet berekenen.

 
De vector N(t_H) is de eenheidsnormaalvector aan de baan van het foton op tijdstip t_H, deze vector heeft een lengte van 1 en staat loodrecht op de snelheidsvector in de richting van het kromtemiddelpunt.
 
Ik werk overigens nog aan een vereenvoudiging van de op te lossen vergelijking(en).

[Professor Puntje]

Na de nodige pogingen denk ik dat de vergelijkingen waaraan de baan van het foton volgens ons model (bezien vanuit het H-stelsel) op alle niet-negatieve tijdstippen moet voldoen niet veel eenvoudiger kunnen worden geformuleerd dan aldus:

 

\( \left \{ \begin{array}{lcr} v = \mbox{c} \\ \mathbf{a} = - \frac{\mbox{G} \ \mbox{M}}{r^2} \, \cdot \, ( \mathbf{e_r} \, - \, ( \mathbf{e_r} \bullet \mathbf{e_t} ) \cdot \mathbf{e_t} ) \end{array} \right \)

Waarin:

v = de snelheid van het foton.

c = de bekende lichtsnelheid als natuurconstante.
a = de momentane vectoriële versnelling van het foton.

G = de gravitatieconstante.

M = de massa van het hemellichaam dat door het foton gepasseerd wordt.

r = de momentane afstand tussen het middelpunt van het hemellichaam en het foton.
e_r = is de momentane eenheidsvector die van het middelpunt van het hemellichaam wijst naar het foton.
e_t = is de momentane tangentiële eenheidsvector van het foton die in de richting van zijn beweging wijst.
 
Achterliggende gedachte bij deze vergelijkingen is dat het foton voortdurend met een snelheid c moet blijven bewegen en dat van de gravitatieversnelling alleen de normale component effect mag sorteren.
 
 

[Professor Puntje]

Voor wie de fotonbaan volgens het hier gebruikte model met de in het vorige berichtje gegeven vergelijkingen numeriek wil berekenen nog een korte toelichting. Alle tijden, plaatsen en vectoren in deze toelichting gelden voor het H-stelsel dat niet roterend met het hemellichaam waar het foton langs vliegt verbonden is. Voor het gemak zullen we het daarop wijzende subscript "_H" in deze toelichting weglaten.
 
Op het tijdstip t₀ = 0 bevindt het foton zich in het perihelium (of periastron) op de positie (0,p). Het foton vliegt daar eventjes (momentaan) zuiver horizontaal met snelheid c. Daaruit volgt ook wat r, e_r en e_t op tijdstip t₀=0 zijn. Dit zijn de beginvoorwaarden.
 
Stel dat je weet wat r, e_r en e_t op tijdstip t_n zijn. Dan zijn daarmee ook de plaatsvector r(t_n).e_r(t_n) en de vectoriële snelheid c.e_t(t_n) van het foton op tijdstip t_n bekend. Dan zal de plaatsvector van het foton een tijdje Δt later dus bij benadering r(t_n+1).e_r(t_n+1) = r(t_n).e_r(t_n) + c.e_t(t_n).Δt zijn. En de vectoriële snelheid van het foton zal dan bij benadering c.e_t(t_n+1) = c.e_t(t_n) + a(t_n).Δt zijn. Uit r, e_r en e_t op tijdstip t_n kunnen we dus met de formules uit het vorige berichtje bij benadering r, e_r en e_t op tijdstip t_n+1 berekenen.
 
Zo moet het (in principe) mogelijk zijn om uitgaande van t₀ achtereenvolgens t₁, t₂, t₃, etc. te vinden en daarmee de baan van het foton numeriek te benaderen.

[HansH]

Dit is denk ik redelijk simpel in mathcad te stoppen is. Vraag is alleen nog :hoe vertaal je het verschil in tijd tussen het h stelsel en het l stelsel?  

[Professor Puntje]

Dit is denk ik redelijk simpel in mathcad te stoppen is. Vraag is alleen nog :hoe vertaal je het verschil in tijd tussen het h stelsel en het l stelsel?

 

Die vertaling heb ik in het eerste berichtje van dit topic al gedaan. De conclusie daaruit is dat een foton op basis van het hier gehanteerde semi-klassieke model in het H-stelsel steeds met de snelheid c blijft voortbewegen ondanks het gravitatieveld van het hemellichaam waar het langs scheert. Dat gegeven van een constante lichtsnelheid leidt vervolgens tot de vergelijkingen waar we nu een numerieke oplossing voor zoeken. Er hoeft nu we die vergelijkingen eenmaal hebben ook niets meer vertaald te worden.

Het H-stelsel is het niet-rotende referentiestelsel waarvan de oorsprong het middelpunt van het hemellichaam is waar het licht langs scheert. In het geval van licht dat onze zon passeert is de oorsprong O het middelpunt van onze zon. Iedere ruimtevaarder die zich op gelijk blijvende afstand van onze zon ophoudt, verder ook niet roteert en die de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel in het middelpunt van onze zon kiest hanteert daarmee het bij onze zon horende H-stelsel. Als we weten hoe de zaak er vanuit dat H-stelsel uitziet lijkt me dat nauwkeurig genoeg.

[Professor Puntje]

Inmiddels heb ik een provisorisch programmaatje in elkaar geknutseld dat echter een heel vreemd resultaat geeft. Misschien kunnen mensen met meer deskundigheid op programmeergebied daar eens naar kijken. Er zullen vast nog de nodige fouten in zitten....

Code: Selecteer alles

//Te kiezen;

p = 6.957*10^8; // Het perihelium (of periastron);
MG = 1.327*10^(20); //Het product van de massa van het hemellichaam en de gravitatieconstante;
d = 0.5; // De genomen tijdstappen bij de baanberekening;

//Natuurconstante;

c = 2.998*10^8; // De lichtsnelheid;

//De situatie wordt weergegeven door de baanvector (x,y,v_x,v_y);

//Hulpfuncties;

function ox=otx(z) //Onttrekt x aan de baanvector;
    ox=z([1])
endfunction

function oy=oty(z) //Onttrekt y aan de baanvector;
    oy=z([2])
endfunction

function ovx=otvx(z) //Onttrekt v_x aan de baanvector;
    ovx=z([3])
endfunction

function ovy=otvy(z) //Onttrekt v_y aan de baanvector;
    ovy=z([4])
endfunction

function tang=tangb(z) //Berekent de tangens van de bewegingshoek;
    tang=(otvy(z))/(otvx(z))
endfunction

function nvxx=nuvxx(z)  //Zet v_x op de plaats van x terug in nulvector;
    nvxx = otvx(z)*[1,0,0,0]
endfunction

function nvyy=nuvyy(z)  //Zet v_y op de plaats van y terug in nulvector;
    nvyy = otvy(z)*[0,1,0,0]
endfunction

function r=lengr(z) //Berekent de lengte van de plaatsvector;
    r = sqrt((otx(z))^2 + (oty(z))^2)
endfunction

function er=ver(z) //Berekent de plaatseenheidsrichtingsvector;
    er = [otx(z)/lengr(z) , oty(z)/lengr(z)]
endfunction

function et=vet(z) //Berekent de tangentiële eenheidsrichtingsvector;
    et = [(otvx(z))/c , (otvy(z))/c]
endfunction

function va=veca(z) //Berekent het vectordeel van de versnelling;
    va = ver(z) - (ver(z)*((vet(z))'))*vet(z)
endfunction

function ac=acc(z)
    ac = ((-MG)/((lengr(z))^2))*veca(z) //Berekent de versnelling;
endfunction

function oax=otax(z) //Onttrekt a_x aan de versnellingsvector;
    oax=z([1])
endfunction

function oay=otay(z) //Onttrekt a_y aan de versnellingsvector;
    oay=z([2])
endfunction

function naxvx=nuaxvx(z)  //Zet a_x op de plaats van v_x terug in nulvector;
    naxvx = otax(z)*[0,0,1,0]
endfunction

function nayvy=nuayvy(z)  //Zet a_y op de plaats van v_y terug in nulvector;
    nayvy = otay(z)*[0,0,0,1]
endfunction


//De baanfunctie berekent de baanvector voor  t_n uit de baanvector voor  t_n-1;

function baan = baanf(n)
    if n == 0 baan = [0,p,c,0]
    else
      baan = baanf(n-1) + nuvxx(baanf(n-1))*d + nuvyy(baanf(n-1))*d + nuaxvx(baanf(n-1))*d + nuayvy(baanf(n-1))*d
        end
endfunction



// Punten van de baan vanaf het perihelium (of periastron);


tangb(baanf(0))
otx(baanf(0))
oty(baanf(0))
otvx(baanf(0))
otvy(baanf(0))


tangb(baanf(1))
otx(baanf(1))
oty(baanf(1))
otvx(baanf(1))
otvy(baanf(1))


tangb(baanf(2))
otx(baanf(2))
oty(baanf(2))
otvx(baanf(2))
otvy(baanf(2))


tangb(baanf(3))
otx(baanf(3))
oty(baanf(3))
otvx(baanf(3))
otvy(baanf(3))


tangb(baanf(4))
otx(baanf(4))
oty(baanf(4))
otvx(baanf(4))
otvy(baanf(4))


tangb(baanf(4))
otx(baanf(4))
oty(baanf(4))
otvx(baanf(4))
otvy(baanf(4))


tangb(baanf(5))
otx(baanf(5))
oty(baanf(5))
otvx(baanf(5))
otvy(baanf(5))

[HansH]

 

Die vertaling heb ik in het eerste berichtje van dit topic al gedaan. De conclusie daaruit is dat een foton op basis van het hier gehanteerde semi-klassieke model in het H-stelsel steeds met de snelheid c blijft voortbewegen ondanks het gravitatieveld van het hemellichaam waar het langs scheert. Dat gegeven van een constante lichtsnelheid leidt vervolgens tot de vergelijkingen waar we nu een numerieke oplossing voor zoeken. Er hoeft nu we die vergelijkingen eenmaal hebben ook niets meer vertaald te worden.

Het H-stelsel is het niet-rotende referentiestelsel waarvan de oorsprong het middelpunt van het hemellichaam is waar het licht langs scheert. In het geval van licht dat onze zon passeert is de oorsprong O het middelpunt van onze zon. Iedere ruimtevaarder die zich op gelijk blijvende afstand van onze zon ophoudt, verder ook niet roteert en die de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel in het middelpunt van onze zon kiest hanteert daarmee het bij onze zon horende H-stelsel. Als we weten hoe de zaak er vanuit dat H-stelsel uitziet lijkt me dat nauwkeurig genoeg.

is dat niet al hetzelfde als dit?:
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/202238-kromtestraal-van-de-ruimtetijd-2/page-8#entry1093165
 
 https://sciencetalk.nl/forum/forumdata/uploads/monthly_12_2017/post-26240-0-98470000-1513290127_thumb.gif
daar ga ik ook uit van een roterende vector voor het licht waarbij de lengte c is.

[Professor Puntje]

is dat niet al hetzelfde als dit?:
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/202238-kromtestraal-van-de-ruimtetijd-2/page-8#entry1093165
 
 https://sciencetalk.nl/forum/forumdata/uploads/monthly_12_2017/post-26240-0-98470000-1513290127_thumb.gif
daar ga ik ook uit van een roterende vector voor het licht waarbij de lengte c is.

 
Het kan niet zijn dat het licht en een valversnelling volgens Newton ondergaat en steeds met de snelheid c blijft voortbewegen. Dat levert een inconsistente theorie. Daar heb ik in dit topic een uitweg voor gevonden. Mijn formules wijken dat ook (ietsjes) af van de klassiek Newtoniaanse aanpak. Dat lijkt me het verschil.
 
Inmiddels heb ik een ernstige fout in mijn programma gevonden, aan een betere versie wordt gewerkt.

[HansH]

 
Het kan niet zijn dat het licht en een valversnelling volgens Newton ondergaat en steeds met de snelheid c blijft voortbewegen. Dat levert een inconsistente theorie. Daar heb ik in dit topic een uitweg voor gevonden. Mijn formules wijken dat ook (ietsjes) af van de klassiek Newtoniaanse aanpak. Dat lijkt me het verschil.
 

Mijn aanpak doet dat ook niet. Ik bereken de bijstelling van de richting die het licht volgt op basis van de versnelling van de lift waar het licht op dat moment doorheen gaat. Die versnelling gebruik ik dan om de richting te berekenen voor het volgende stukje lichtbaan gedurende delta-t en afgelegde weg gedurende het volgende stukje delta-t de snelheid blijft in alle gevallen gelijk aan c. volgens mij is dat ook wat jij doet. kan echter zijn dat er nog een klein foutje in mijn berekening zit. zal dat nog even nakijken.  

[Professor Puntje]

Mijn aanpak doet dat ook niet. Ik bereken de bijstelling van de richting die het licht volgt op basis van de versnelling van de lift waar het licht op dat moment doorheen gaat. Die versnelling gebruik ik dan om de richting te berekenen voor het volgende stukje lichtbaan gedurende delta-t en afgelegde weg gedurende het volgende stukje delta-t de snelheid blijft in alle gevallen gelijk aan c. volgens mij is dat ook wat jij doet. kan echter zijn dat er nog een klein foutje in mijn berekening zit. zal dat nog even nakijken.  

 
Als dat is wat je doet komt dat op hetzelfde neer.
 
We zouden dan precies dezelfde resultaten moeten vinden.

[HansH]

vanavond nogmaals de berekening nagelopen en aangepast zodat de richting van het licht afbuigt volgens de vallende lift terwijl de snelheid c blijft. Echter ook nu kom ik nog steeds op een afbuiging van 0,85 boogseconden en geen 1.72. er moet dus nog een andere effect een rol spelen.
 

[HansH]

ook nog even gekeken wat er gebeurt als in r0 verklein. de schwarzschildstraal van de zon is 3km.
het grappige is dat die in mijn simulatie ook precies de helft is nl ca 1400 meter, dan loopt het licht een rondje met straal van 1390 meter. (de stapgrootte heb ik dan verkleind tot 0.1 nsec)