De Lagrangiaan

[Professor Puntje]

In een ander topic wordt onderstaande bron genoemd:
 
http://www.macs.hw.ac.uk/~simonm/mechanics.pdf
 
Ik wil graag precies weten hoe dat met die Lagrangiaan zit. Daarom start ik daar een nieuw topic over. De bovenstaande link zal ik als leidraad gebruiken. En waar ik vastloop stel ik hier mijn vragen.

[Professor Puntje]

euler-lagrange 1337 keer bekeken

 
Deze notatie vind ik verwarrend. Is onderstaande de bedoeling?
 

\( \mbox{J}(\mathsf{y}) \, := \, \int_a^b \mbox{F}(x,\mathsf{y}(x),\mathsf{y'}(x)) \, \mbox{d} x \)

 
Waarin de cursieve x en y de variabelen zijn en de niet-cursieve schreefloze y de functie is die er tussen x en y bestaat, zodat: y = y(x) . De functionaal J werkt dan op de functie y en de integrand is enkel een functie van de variabele x.

[flappelap]

Misschien een wat late reactie, maar het idee is dat jouw F alleen van de functie y(x) en zijn afgeleiden afhangt. F is dus een "functie van functies" y(x), y'(x) enzovoort. In de klassieke mechanica hangt de Lagrangiaan (hier: F) meestal alleen via y(x) af van x. De J(y) (de actie) is een functionaal, want je stopt er functies met hun afgeleiden y(x). y'(x) etc. in waar vervolgens een waarde uitkomt (je integreert immers over x tussen twee randwaarden x=a en x=b). Waar een functie dus een afbeelding is van twee deelverzamelingen van (zeg) R, is een functioneel een afbeelding van een functieruimte naar R.

[Professor Puntje]

Dat J een functionaal is dat is mij duidelijk, maar dat ook F een functionaal is dat zie ik nog niet. Wat zijn hier precies de argumenten van F? Heeft F als argumenten x, y en y' (dus een reëel getal en twee reële functies)? Of zijn de argumenten van F eerder x, y(x) en y'(x) (dus drie reële getallen)?

[flappelap]

Ik zou zeggen dat F via de functie y(x) en zijn afgeleiden y'(x), y''(x) etc van de variabele x afhangt.

Neem eens een expliciet voorbeeld, dat helpt.

[Professor Puntje]

F: R³ -> R

 

F(x₁,x₂,x₃) = 3x₁ + 5x₂ - 7x₃

 

Zou dit een Lagrangiaan kunnen zijn?

[flappelap]

Ja, in theorie zou dat denk ik wel kunnen, maar ik heb geen idee wat het zou moeten betekenen.
 
Een voorbeeld zou zijn om de lengte van een kromme y(x) uit te rekenen tussen twee vaste punten x=a en x=b. De functionaal die dit voor je doet, is
 

\(S[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx\)

 
Ik gebruik hier de notatie S[y(x)] om aan te geven dat S een functionaal is waarin je een functie y(x) (in dit geval zijn afgeleide) stopt, en waaruit een getal komt (namelijk de lengte van de curve). De Lagrangiaan is in dit geval
 

\(L(y(x), y'(x)) =  \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\)

 
Stel dat je nu die y(x) wilt vinden die de lengte minimaliseert tussen a en b, dan eis je dat de Euler-Lagrange vergelijkingen voor y(x) gelijk zijn aan nul. Of, dat \(\delta S=0\) voor elke willekeurige \(\delta y\). Als het goed is zul je dan vinden dat y(x) een rechte lijn beschrijft.
 

Opmerking moderator

LaTeX code opgeknapt

[Professor Puntje]

Met knippen en plakken kopieer je soms ongevraagd stukjes HTML mee.

 

\( S[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx \)

 

\( L(y(x), y'(x)) = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \)

Hierboven heb ik die stukjes verwijderd. De ongewenste extra code in je formules kun je weg halen door even op het knopje linksboven in het bewerkingsvenster te klikken. Dan zie je ook de verborgen code. 

Ik zou de Lagrangiaan in je voorbeeld als de onderstaande functie opvatten:

\( L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \)

\( L(x_1,x_2,x_3) = \sqrt{1+(x_3)^2} \)

Een functie is wiskundig gezien volledig bepaald wanneer je een domein en een codomein hebt gekozen en voor ieder argument (dus hier iedere vector (x₁,x₂,x₃)) uit het domein hebt aangegeven wat de functiewaarde uit het codomein is. In de teksten die ik tot nog toe heb aangetroffen blijft het (helaas) vaag wat voor de Lagrangiaan als domein genomen wordt. Daardoor lukt het mij ook niet er een helder beeld van te krijgen wat voor type functie de Lagrangiaan nu precies is.

[flappelap]

Met knippen en plakken kopieer je soms ongevraagd stukjes HTML mee.
 

\( S[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx \)

 

\( L(y(x), y'(x)) = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \)

Hierboven heb ik die stukjes verwijderd. De ongewenste extra code in je formules kun je weg halen door even op het knopje linksboven in het bewerkingsvenster te klikken. Dan zie je ook de verborgen code. 

Ik zou de Lagrangiaan in je voorbeeld als de onderstaande functie opvatten:

\( L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \)

\( L(x_1,x_2,x_3) = \sqrt{1+(x_3)^2} \)

Een functie is wiskundig gezien volledig bepaald wanneer je een domein en een codomein hebt gekozen en voor ieder argument (dus hier iedere vector (x₁,x₂,x₃)) uit het domein hebt aangegeven wat de functiewaarde uit het codomein is. In de teksten die ik tot nog toe heb aangetroffen blijft het (helaas) vaag wat voor de Lagrangiaan als domein genomen wordt. Daardoor lukt het mij ook niet er een helder beeld van te krijgen wat voor type functie de Lagrangiaan nu precies is.

 
Ok, dank daarvoor.
 
Ik denk dat je in veel natuurkundeboeken niet een hele formele definitie van de Lagrangiaan (en de actie) zult vinden. Veel van deze formele wiskunde gaat onder de naam "symplectische meetkunde", waarin de Lagrangiaan gedefiniëerd wordt in de raakruimte van de configuratieruimte (tesamen: de "raakbundel") waar de functies leven of als een zogenaamde n-vorm wanneer je in n dimensies werkt. Ik heb daar zelf niet zoveel mee; ik zou als domein van de Lagrangiaan een functieruimte in gedachten nemen waarin functies differentiëerbaar zijn. Als codomein krijg je ook weer een functieruimte, zoals je met mijn voorbeeld ziet.
 
Zoals ik zei: je zou een concreet voorbeeld moeten doorwerken om er een goed beeld van te krijgen. Het voorbeeld dat ik je gaf is denk ik heel geschikt, ook omdat je al weet wat het antwoord moet zijn.
 
In de klassieke mechanica is de Lagrangiaan het verschil tussen kinetische en potentiële energie. Je bent dan op zoek naar krommen \(x^i (t) \) (paden van deeltjes) in de ruimte (geparametriseerd met de tijd t) die de bijbehorende actie minimaliseren. Je Lagrangiaan zal dus afhangen van deze paden en hun tijdsafgeleiden.

[Professor Puntje]

Ik denk dat je in veel natuurkundeboeken niet een hele formele definitie van de Lagrangiaan (en de actie) zult vinden. Veel van deze formele wiskunde gaat onder de naam "symplectische meetkunde", waarin de Lagrangiaan gedefiniëerd wordt in de raakruimte van de configuratieruimte (tesamen: de "raakbundel") waar de functies leven of als een zogenaamde n-vorm wanneer je in n dimensies werkt. Ik heb daar zelf niet zoveel mee; ik zou als domein van de Lagrangiaan een functieruimte in gedachten nemen waarin functies differentiëerbaar zijn. Als codomein krijg je ook weer een functieruimte, zoals je met mijn voorbeeld ziet.

Dan zal ik voor de wiskundige finesses uiteindelijk ook die "symplectische meetkunde" moeten bestuderen, het is niet anders.

 

Zoals ik zei: je zou een concreet voorbeeld moeten doorwerken om er een goed beeld van te krijgen. Het voorbeeld dat ik je gaf is denk ik heel geschikt, ook omdat je al weet wat het antwoord moet zijn.

Als ik tijd heb zal ik je voorbeeld doorwerken om er althans een idee van te krijgen wat de bedoeling is.

[flappelap]

Mja, ik heb zelf niet zoveel met die formele wiskunde hoewel ik het allemaal heb doorgeploegd; om klassieke mechanica te begrijpen hoef je die formele wiskunde niet te begrijpen. Je snapt het denk ik beter door het te doen.

Overigens wordt het actieprincipe belangrijk als je kwantumveldentheorie met Feynmans padintegraalmethode wilt begrijpen. In de klassieke mechanica is het vooral een curiositeit, denk ik. Daar werk je vooral met Hamiltonianen, maar vanwege de expliciete opsplitsing van ruimte en tijd daarin wordt dit nogal bewerkelijk (lees:waarnemerafhankelijk) in relativistische theorieën.

[Professor Puntje]

Bij nog wat zoeken kwam ik hier uit:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Euler-lagrange-vergelijking
 

En tot mijn grote verrassing wordt daar wel het domein van L vermeld!
 

Ook de oplossing van je voorbeeld staat daar al.

[flappelap]

Ja, het is een bekend voorbeeld, want je bewijst ermee dat geodeten in het vlak gegeven worden door rechte lijnen.