Enkelvoudige Harmonische Oscillator

[emilelievens]

Hallo ik zit met een vraagje waar ik niet helemaal zeker het antwoord van ken.
Ik denk dat het antwoord A is maar ben niet zeker. Kan er mij hier iemand bij helpen?
 
 

[flappelap]

Hoi,

dat klopt. Een enkelvoudige harmonische oscillator voldoet volgens Newtons 2e wet aan de differentiaalvergelijking

\( \ddot{x}+\omega^2 x = 0 \)

waarbij x=x(t) de uitwijking is en \(\ddot{x}\) de tweede afgeleide naar de tijd is, oftewel de versnelling a. In jouw notatie krijgen we dus

\( a = -\omega^2 x \)

en kun je dus de hoekfrequentie \(\omega\) afleiden. Merk op dat het min-teken erg belangrijk is; zonder dat min-teken krijg je een exponentiële oplossing voor x(t) in plaats van een periodieke oplossing.

[Oplosser]

Goedenavond,
 
 
Probeer oplossing 1:
 
 
a(t)​ = -e * x / 4 => d^​2x / dt^​2​ + e / 4 * x = 0 => d^​2x / dt^​2​ + w^​2 * x  = 0  (met w^​2 = e / 4) => algemene oplossing: x(t) = A sin(w * t) ​+ B * cos(w * t)
 
 
x(t) = A sin(w * t)​ + B * cos(w * t)
 
d^​x / dt^​​ = v(t)^​ = A * w * cos(w * t) - B * w * sin(w * t)
 
d^​2​x / dt ^​2= ^​a(t)​ = - A * w²​ * sin(w * t) - B * w²​^​​ * cos(w * t) = -w^​2​ * (A * sin(w * t) ​+ B * cos(w * t))
 
​a(t) / x(t) = - w²​ = - e / 4 => klopt. Verder geldt per definitie eigenhoeksnelheid w = (e / 4)^​0.5​
 
 
​Oplossing 2:
 
a(t)​ = 4 / e => d^​2x / dt^​2​ - 4 / e * x = 0, de waarde - 4 / e moet positief zijn omdat de eigenhoeksnelheid positief moet zijn. Dus deze oplossing is fysisch niet mogelijk.
 
 
​Oplossing 3:
 
Een enkelvoudige harmonische oscillator heeft de vorm van oplossing 1 (een lineaire differentiaal vergelijking, dus deze oplossing vervalt ook)
 
 
 
Met vriendelijke groeten.

[emilelievens]

Dank u wel voor de uitleg, ik begrijp het nu helemaal.
 
Groeten.