Moeilijk vraagstuk, eenvoudig antwoord?

[Professor Puntje]

Vaak lees ik dat moeilijke natuurkundige vraagstukken na een ellenlange ingewikkelde afleiding toch een zeer eenvoudig antwoord opleveren. Voorbeeld: de afbuigingshoek van licht door een hemellichaam.
 
Is daar een wis- of natuurkundige reden voor?
 
Of is het wellicht zo dat men vraagstukken met moeilijke antwoorden maar liever niet vermeldt, zodat het enkel maar zo lijkt dat moeilijke vraagstukken vaak een eenvoudig antwoord hebben?

[Benm]

Als het antwoord zeer eenvoudig is, en bovendien nog redelijk begrijpelijk en realistisch ook, waarom zou men dan de hele afleiding daarvan opsommen? 
 
Als ik hier een kopje van tafel duw is het vrij eenvoudig te berekenen hoe snel dat de vloer gaat raken als je weet hoe hoog de tafel is. Uiteraard zou ik een complete differentiaal vergelijking voor het aarde-kopje systeem kunnen opzetten en die integreren over het traject, maar een eenvoudige formule volstaat voor alle praktiche situates. 

[Professor Puntje]

@ Benm
 
Dat is ook niet het punt dat ik aan de orde wil stellen.
 
Het verbaast mij dat zeer ingewikkelde natuurkundevraagstukken vaak toch een heel eenvoudige uitkomst hebben. Ik vind dat vreemd. Je verwacht dat berekeningen waaraan de nodige hogere wiskunde te pas komt ook eindigen in een ingewikkelde uitdrukking als uitkomst. En toch is het zo dat de uitkomst van zeer ingewikkelde natuurkundevraagstukken vaak met behulp van een paar simpele algebraïsche of rekenkundige bewerkingen en functies te noteren is.

[flappelap]

Vaak is dat een gevolg van eenheden, denk ik. Van die hoek verwacht je b.v. dat het een verhouding is van lengtes, en de karakteristieke lengtes in het probleem zijn de Schwarzschild straal en de impact parameter b. De verwachting dat de hoek kleiner wordt als b groeit geeft je de verhouding op een factor na. Die moet je nog uitrekenen.
Maar waarom die verwachting vaak uitkomt, is de vraag. Een ander voorbeeld is een ellips met korte en lange as a en b. De oppervlakte wordt gegeven door pi*a*b, wat je op basis van eenheden en het cirkelgeval a=b kunt verwachten. De omtrek laat zich echter niet zo eenvoudig beschrijven, terwijl je pi*(a+b) verwacht.

Google ook eens op "universality, quantum field theory"

[Professor Puntje]

Ik zou voor de afbuigingshoek juist een of andere ingewikkelde integraal of een differentiaalvergelijking verwachten waar geen analytische oplossing voor is.

In de dimensieanalyse gaat men ook uit van eenvoudige uitdrukkingen, maar hoe kan je dat weten?

Zoeken op "universality, quantum field theory" levert resultaten op die ver boven mijn pet gaan.

[flappelap]

Dat is volgens mij ook zo: de diff.vgl die je voor de geodetenvgl. voor je afbuiging krijgt kun je (zo uit mn hoofd; kan er naast zitten) niet analytisch oplossen; die moet je benaderen met een Taylorreeks.

Een benadering van de geodetenvgl. voor de allersimpelste oplossing van de Einsteinvgl; dan is het toch niet zo gek dat je een simpel antwoord krijgt?
En hoe je dat kunt weten mbv dimensie analyse: intuïtie verkregen door ervaring.

[Marko]

Vaak lees ik dat moeilijke natuurkundige vraagstukken na een ellenlange ingewikkelde afleiding toch een zeer eenvoudig antwoord opleveren. Voorbeeld: de afbuigingshoek van licht door een hemellichaam.
 
Is daar een wis- of natuurkundige reden voor?
 
Of is het wellicht zo dat men vraagstukken met moeilijke antwoorden maar liever niet vermeldt, zodat het enkel maar zo lijkt dat moeilijke vraagstukken vaak een eenvoudig antwoord hebben?

 
Dat laatste zeker niet.  
 
Er is een natuurkundige reden. Natuurkundig gezien is men niet geïnteresseerd in het precieze antwoord maar in een antwoord dat in overeenstemming te brengen is met metingen. In dat verband zijn 2 dingen van belang:
 
1. Het is prettig als de beschrijving zo eenvoudig mogelijk is. Hoe minder parameters, hoe minder termen in de beschrijving, hoe kleiner de afwijkingen die in de berekeningen kunnen ontstaan. Een ander voordeel is dat een eenvoudige vergelijking direct laat zien wat het verband is.
2. Omdat de metingen maar een beperkte nauwkeurigheid hebben hoeft de beschrijving ook niet oneindig nauwkeurig te zijn.
 
Het is dus gangbaar, binnen de natuurkunde, om gerichte aannames te doen, vereenvoudigingen toe te passen en verwaarlozingen te doen, om tot een zo simpel mogelijke beschrijving te komen die qua nauwkeurigheid aansluit bij de metingen.
 
Een van de meest gebruikte "trucs" is om een vergelijking te schrijven als Taylorreeks, en vervolgens de termen van hogere orde weg te gooien. Dan blijft er in veel gevallen een eenvoudig lineair of kwadratisch verband over, lekker makkelijk.
 
Een andere truc is om zaken te verwaarlozen vóór een bepaalde integraal wordt uitgewerkt. Dan wordt een analytische oplossing vanzelf mogelijk.
 
Het is dus niet zo dat er toevallig uit een of andere moeilijke integraal toch een eenvoudig ogend antwoord komt. Er zijn bewust stappen voor ondernomen om dat voor elkaar te krijgen. Een dergelijke manier van werken - kort samengevat wellicht "bruikbaarheid laten prevaleren voor exactheid" is essentieel.
 
Als je naar de afleiding van de afbuigigshoek rond de zon kijkt zie je dat dergelijke stappen gezet worden. En zo zijn talloze voorbeelden te vinden.

[flappelap]

Toch zijn er ook voorbeelden waarin ingewikkelde berekeningen simpele antwoorden geven. Denk aan Casimir's oorspronkelijke berekeningen omtrent de Van der Waals kracht.
Vanuit renormalizatie bekeken is universaliteit een reden waarom kwantumveldentheorieen een zekere mate van eenvoud hebben.

Een gerelateerde vraag is overigens waarom de natuur zich op fundamenteel niveau zo goed laat beschrijven met 1e en 2e orde differentiaalvergelijkingen.

[Benm]

Ik denk dat het komt omdat we 4 dimensies hebben, maar 3 daarvan zijn vaak eigenlijk gewoon hetzelfde. Veel fenomenen hebben iets te maken met afstand en tijd, maar of die afstand nou in de x y of z richting zit (of een willekeurige orientatie heeft) maakt niet uit. 
 
Dingen als berekenen hoeveel licht een lichtbron op een oppervlakte straalt is een voorbeeld waarbij eenvoudig wordt als die lichtbron zelf eenvoudig - voor een puntbron of een (oneindig lange) lijnbron is het supereenvoudig. Dat komt echter wel door die aannames van puntbronnen, oneindig lange dunne lijnen en dergelijke. 
 
Anderzijds blijkt dat in de praktijk dingen natuurlijk wel gaan afwijken als gevolg van die versimpelingen: Berekenen hoeveel licht er op de vloer komt als gevolg van een tl balk die de hele lengte van de kamer beslaat klopt al niet meer met de formule voor de lijnbron... maar is wellicht 'goed genoeg' voor praktisch gebruik. 

[Michel Uphoff]

Voorbeeld: de afbuigingshoek van licht door een hemellichaam.

 
Of dat een zo eenvoudig antwoord oplevert betwijfel ik. De eerste afgeleide die als antwoord tot de factor 2 t.o.v. de klassieke berekening leidt is eenvoudig genoeg, maar het is slechts een benadering, alhoewel voor de afbuigingshoek door een normale ster nauwkeurig genoeg.
 

\(\alpha=\frac{4Gm}{c^2.r}\)

 
Voor veel kleinere stralen of grotere massa's wordt voor bruikbare nauwkeurigheid de berekening complexer. Hier de eerste, tweede en derde afgeleide.
 

 
Ik heb eigenlijk geen idee tot welke afgeleide je moet doorrekenen om bijvoorbeeld de spiraalbaan van een merger van twee black holes met bruikbare precisie te berekenen. Het zou wellicht de moeite waard zijn ook de 4e tm bijvoorbeeld 10e afgeleide te bepalen (kan iemand dit hier ?). Wellicht komt er dan een ook voor geïdealiseerde black holes nog bruikbaar antwoord voor de afbuighoek uit.  
 
Ik vermoed echter dat, gezien het feit dat voor de berekening van het frequentie en amplitudeverloop van de merger van twee hypothetische black holes per dataset naar ik mij van Dr. Samaya Nissanke meen te herinneren 800 uur rekentijd op een supercomputer nodig is, bovenstaande formule ook nog een vereenvoudiging is. De Ligo wetenschappers maken voor een eerste bepaling van de parameters (massa's, afstanden, spin) gebruik van een serie van tientallen tevoren doorgerekende templates, waarmee vele duizenden uren rekentijd gemoeid gingen. Vervolgens wordt op basis van het best bij het gemeten signaal passende template verder gerekend. Op deze manier beperkte men de range van parameters, waardoor de additionele rekentijd sterk verkort werd.