Kromtestraal van de ruimtetijd (2)

[DParlevliet]

Ik heb de vraag over de natuurkunde van ART als een apart topic gestart.

[flappelap]

Ik ben niet op zoek naar een newtonse analogie want die is er natuurlijk niet.
 
het liftexperiment gaat uit van uniform zwaartekrachtsveld en op basis daarvan kun je de kromming uitrekenen die bv de 0.84 boogseconden oplevert bij de zon. de veronderstelling daar is dat je geen onderscheid kunt maken tussen versnelling of zwaartekracht. en daar rolt dan de kromming uit.  Dat is niet zo moeilijk.
 
Daarna moet je gaan kijken naar de andere 0.84 boogseconden om de totale buiging te kunnen verklaren. Die kromming moet ook het gevolg zijn van bepaalde veronderstellingen en op basis van die veronderstelingen moet Einstein de vergelijkingen voor de ruimtekromming hebben kunnen afleiden. Ik ben dus op zoek naar die veronderstellingen die ten grondslag liggen aan de afleiding van de Einstein vergelijkingen van de ART. Op basis daarvan kun je je dan hoop ik enige voorstelling maken hoe je tot zulke krommingen komt.

Ik heb de boel nog eens nagekeken aan de hand van de originele berekening van Einstein zoals in http://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm. Misschien dat je het volgende antwoord beter vindt.

Oorspronkelijk had Einstein in 1911 met zijn liftexperiment een waarde voor de afbuiging gevonden die de helft was van het juiste antwoord. Stel dat de 1e wereldoorlog geen roet in het eten had gegooid, het experiment rond 1914 was gedaan, en Einstein te horen had gekregen dat hij er een factor 2 naast zat. Hoe had hij dit kunnen verbeteren?

Ik zal de volgende notatie gebruiken:

\( \Phi(r) \equiv \frac{Gm}{r^2} \)

Ik zal verder c=1 nemen waarbij c de lichtsnelheid is zoals die gemeten wordt door inertiaalwaarnemers in een vlakke ruimtetijd, en voor de lichtsnelheid zoals die gemeten wordt in een gekromde ruimtetijd zal ik de notatie C(r) gebruiken.

Nu wist Einstein dat het equivalentieprincipe suggereert dat

\( g_{00} = -(1-2\Phi(r)) \)

Dit is ook de term die in de Newtonse limiet de juiste potentiaal geeft. Wat hij nu had kunnen doen om de factor 2 te verklaren, is het volgende. Hij had kunnen aannemen dat de ruimtetijd bolsymmetrisch is en dat \(\Phi(r)\) voor de zon zwak is. Op basis hiervan en het feit dat \(\Phi(r)\) de enige bekende parameter is die de sterkte van het zwaartekrachtsveld bepaalt, had hij voor het ruimtetijd interval de volgende benadering/gok kunnen opschrijven voor constante hoeken:

\( ds^2 = - (1-2\Phi(r))dt^2 + (1+ \alpha 2\Phi(r))dr^2 \)

Hierin is \(\alpha\) een coëfficiënt wiens waarde we gaan bepalen aan de hand van de experimentele uitkomst dat de hoek moet worden verdubbel t.o.v. het liftexperiment. Voor licht geldt ds=0. Een waarnemer op afstand r zal voor deze lichtsnelheid daarom de waarde

\( \frac{dr}{dt} = C(r) = \frac{\sqrt{1-2 \Phi(r)}}{\sqrt{1+\alpha 2\Phi(r)}} \)

meten (ds=0 oplossen naar dr/dt). Nu gebruiken we dat \(\Phi(r)\) erg klein is voor de zon. Een Taylorexpansie geeft ons dan

\( C(r) = \sqrt{(1-2\Phi(r))(1+\alpha2\Phi(r))^{-1}} \approx \sqrt{1-(\alpha+1)2\Phi(r)} \approx 1 - (\alpha + 1) \Phi(r) \)

Als we dit in Huygens principe invullen zoals gedaan wordt in http://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm, dan vinden we dat om de hoek te verdubbelen, we \(\alpha=1\) moeten kiezen.

Nu kunnen we dat ook begrijpen, want voor \(\alpha=1\) krijgen we precies de zwakke veldlimiet van de Schwarzschild oplossing terug! Einstein kende de Schwarzschildoplossing niet, maar meende (onterecht) dat hij een extra restrictie op de coördinaten moest leggen zodat de determinant van de metriek gelijk werd aan -1. Ik denk dat hij op basis hiervan zijn berekeningen kon doen zonder de expliciete oplossing te kennen, maar dat zou ik nog eens moeten nakijken.

Ik denk ook dat je moet opppassen om in Einsteins oorspronkelijke artikelen te duiken als je de ART niet goed begrijpt, want Einsteins oorspronkelijke artikelen bevatten de nodige fouten en omwegen voordat hij uiteindelijk tot de juiste theorie kwam. Dat boek van Renner is dus vooral een aanrader als je de ART al goed in de smiezen hebt, want anders zal het alleen maar voor meer verwarring zorgen, denk ik.

Persoonlijk vind ik dit wel een aardige verklaring voor die factor 2, dus ik ben er voorlopig even klaar mee

[HansH]

Wat bedoel je met g00 en met bolsymmetrisch? en hoe kom je dan op de term ds^2 die daarna volgt? daar ben ik al los.

[Professor Puntje]

Ik denk ook dat je moet opppassen om in Einsteins oorspronkelijke artikelen te duiken als je de ART niet goed begrijpt, want Einsteins oorspronkelijke artikelen bevatten de nodige fouten en omwegen voordat hij uiteindelijk tot de juiste theorie kwam. Dat boek van Renner is dus vooral een aanrader als je de ART al goed in de smiezen hebt, want anders zal het alleen maar voor meer verwarring zorgen, denk ik.

 
Ik neem aan dat je het boek van Hanoch Gutfreund en Jürgen Renn bedoelt? Die link heb ik hier vooral geplaatst omdat je daaruit kunt zien dat het een misvatting is dat de ART simpelweg zou bestaan uit de in een wiskundig jasje gestoken fysische of zelfs natuurfilosofische uitgangspunten van Einstein. Op zeker moment kwam Einstein erachter dat hij zonder zware wiskunde niet verder kwam. Vanaf dat moment speelde de wiskunde zelf ook een rol in de verdere theorievorming. Er is naar mijn mening dan ook niet zoiets als de essentie van de ART die los van de gebruikte wiskunde zou kunnen worden geformuleerd of begrepen.

[HansH]

 
Ik neem aan dat je het boek van Hanoch Gutfreund en Jürgen Renn bedoelt? Die link heb ik hier vooral geplaatst omdat je daaruit kunt zien dat het een misvatting is dat de ART simpelweg zou bestaan uit de in een wiskundig jasje gestoken fysische of zelfs natuurfilosofische uitgangspunten van Einstein. Op zeker moment kwam Einstein erachter dat hij zonder zware wiskunde niet verder kwam. Vanaf dat moment speelde de wiskunde zelf ook een rol in de verdere theorievorming. Er is naar mijn mening dan ook niet zoiets als de essentie van de ART die los van de gebruikte wiskunde zou kunnen worden geformuleerd of begrepen.

Wiskunde mbt natuurkunde is altijd gekoppelt aan een manier om iets te beschrijven tgv bepaalde aannames. bv de aanname dat er een versnelling g is op het aardoppervlak geeft als resultaat dat de plaats al functie van de tijd 1/2gt^2+v0t is. Zo moeten er ook aannames zijn die leiden tot de kromming tgv massa en de daaruit voortvloeiende baan van het licht, maar ik val in herhaling zie ik.

[flappelap]

Wat bedoel je met g00 en met bolsymmetrisch? en hoe kom je dan op de term ds^2 die daarna volgt? daar ben ik al los.

Met \(g_{00}\) bedoel ik de tijd-tijd component van de metriek. Dat is standaard notatie; je zou het ook \(g_{tt}\) kunnen noemen. Met bolsymmetrisch bedoel ik dat de kromming alleen van de radiële coördinaat r kan afhangen, en niet van de hoeken. Dit is analoog met een Newtons zwaartekrachtsveld voor een bolmassa; dit veld hangt ook alleen maar af van r.
Het lijnelement dat ik daarna knutsel is gebaseerd op het idee dat je Einsteins oorspronkelijke lijnelement, waarin er alleen maar kromming is "in de tijdsrichting" (de term die hij via het equivalentieprincipe verkreeg door naar een versnelde waarnemer te gaan en deze waarnemer equivalent te laten zijn aan een stilstaande waarnemer in een uniform zwaartekrachtsveldO) uitbreidt naar een lijnelement waar er ook kromming is in de "ruimtelijke richting". Deze kromming manifesteert zich dan, via de eerder genoemde beperkingen, alleen in de \(g_{11}\) (oftewel \(g_{rr}\)) component van de metriek. Je ziet dat op deze manier \(\Phi(r)\) een kleine afwijking beschrijft van de Minkowski-metriek (=vlakke metriek=geen zwaartekracht).

Als je niet gewend bent om met metrieken te rekenen (dat vermoed ik vanwege je notatievraag, maar misschien zit ik er naast), dan vrees ik dat al deze uitleg helaas geen hout zal snijden. Om het dan in woorden te doen:

Het liftexperiment + equivalentieprincipe suggereerde voor Einstein een kromming "in de tijdsrichting" (deze relateert de tijden van waarnemers op verschillende punten in deze gekromde ruimtetijd). Je kunt de afbuiging van het licht nog eens aanpassen door een soortgelijke kromming "in de ruimte" te introduceren. De vorm hiervan wordt beperkt als je bolsymmetrie aanneemt. Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging. De zo verkregen kromming is een kleine afwijking van het geval "geen kromming". Door vervolgens de snelheid van het licht uit te rekenen zoals gemeten door een waarnemer in het zwaartekrachtsveld (in mijn eerdere notatie C(r)) en deze lichtsnelheid in Huygens principe te stoppen, verkrijg je de afbuiging in termen van je parameter alfa. Zo zie je hoe je alfa kunt afstemmen op de verkregen meetwaarde.

Ik vrees dat ik het niet eenvoudiger kan uitleggen dan dit, dus misschien dat iemand anders dit kan mocht het nog niet duidelijk zijn. Als dit niet is waar je naar op zoek was, dan weet ik ook niet waar je wel naar op zoek bent, maar zoals je zei dreigen we in herhaling te vallen. Ik zal het hier dus ook even bij laten
 

Ik neem aan dat je het boek van Hanoch Gutfreund en Jürgen Renn bedoelt? Die link heb ik hier vooral geplaatst omdat je daaruit kunt zien dat het een misvatting is dat de ART simpelweg zou bestaan uit de in een wiskundig jasje gestoken fysische of zelfs natuurfilosofische uitgangspunten van Einstein. Op zeker moment kwam Einstein erachter dat hij zonder zware wiskunde niet verder kwam. Vanaf dat moment speelde de wiskunde zelf ook een rol in de verdere theorievorming. Er is naar mijn mening dan ook niet zoiets als de essentie van de ART die los van de gebruikte wiskunde zou kunnen worden geformuleerd of begrepen.

Ja. Je ziet dat Einstein ook heel erg worstelde met de betekenis van algemene covariantie, wat leidde tot zijn "hole argument" (loch argument; zie een ander topic in dit subforum). Daarom raad ik mensen ook af om de alg.rel. te leren door naar de oorspronkelijke artikelen te gaan. Dat kan heel verwarrend zijn.

De "essentie" van de alg.rel.theorie is het equivalentieprincipe. Dat motiveert namelijk een ruimtetijd-meetkundige voorstelling van zwaartekracht, iets dat voor andere interacties niet mogelijk is (tenzij je aan Kaluza-Klein achtige constructies denkt, maar laten we dat maar ff achterwege houden ).

[Professor Puntje]

De "essentie" van de alg.rel.theorie is het equivalentieprincipe. Dat motiveert namelijk een ruimtetijd-meetkundige voorstelling van zwaartekracht, iets dat voor andere interacties niet mogelijk is (tenzij je aan Kaluza-Klein achtige constructies denkt, maar laten we dat maar ff achterwege houden ).

 
Daarover lees ik in de vakliteratuur tegenstrijdige meningen. Ongetwijfeld speelt het equivalentieprincipe een belangrijke rol, maar je kunt het equivalentieprincipe ook binnen de klassieke mechanica gebruiken of binnen varianten van de ART. Het equivalentieprincipe op zich leidt nog niet tot de specifieke kromming van de ruimte-tijd zoals in de ART uitgewerkt. (Zie ook berichtje #226.) Tenminste als ik mensen als Jürgen Ehlers en Wolfgang Rindler mag geloven.

[HansH]

@flappelap:
Ik ben inderdaad niet thuis in metriek, maar jouw uitleg komt wel iets dichter bij het begrip voor mij omdat je zelf 2 interesante aanknopingspunten geeft:
1) kromming is "in de tijdsrichting" (de term die hij via het equivalentieprincipe verkreeg door naar een versnelde waarnemer te gaan en deze waarnemer equivalent te laten zijn aan een stilstaande waarnemer in een uniform zwaartekrachtsveldO)
 
2) kromming in de ruimterichting: Je kunt de afbuiging van het licht nog eens aanpassen door een soortgelijke kromming "in de ruimte" te introduceren. De vorm hiervan wordt beperkt als je bolsymmetrie aanneemt. Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging. 
 
Nu hebben we in dit topic al veel berekeningen gedaan en volledige onderbouwing met de serie liften die alles verklaren dus waaruit het begrip komt voor deze afbuiging in de tijd.
maar mbt de afbuiging in de ruimte is de zaak nog volledig vaag en onverklaard. Is er niet een soortgelijk gedachtenexperiment  als met de lift waar dan het begrip uit volgt waarom de ruimte kromt, bv bij bolsymmetrie? Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging, maar dat is feitelijk geen begripsvorming maar alleen fitting (net zoals je een willekeurig niet lineair effect kunt modelleren met polynomen) 
 
@DParlevliet sorry dat eea nu toch in dit topic terechtkomt, maar daar had ik al min of meer voro gewaarschuwd dat eea door elkaar gaat lopen met 2 overlappende topics

[flappelap]

Daarover lees ik in de vakliteratuur tegenstrijdige meningen. Ongetwijfeld speelt het equivalentieprincipe een belangrijke rol, maar je kunt het equivalentieprincipe ook binnen de klassieke mechanica gebruiken of binnen varianten van de ART. Het equivalentieprincipe op zich leidt nog niet tot de specifieke kromming van de ruimte-tijd zoals in de ART uitgewerkt. (Zie ook berichtje #226.) Tenminste als ik mensen als Jürgen Ehlers en Wolfgang Rindler mag geloven.

Nee, dat klopt. Je moet ook iets aannemen over de ruimtetijdstructuur zonder zwaartekracht. Anders kun je b.v. net zo goed op meetkundige formuleringen van de Newtonse zwaartekracht uitkomen.

Einstein was inderdaad nogal verward over de rol van algemene covariantie in zijn theorie. Hij meende dat het een definiërende eigenschap was. Daarop werd hij teruggefloten door Erich Kretschmann, die beweerde dat je vrijwel elke theorie algemeen-covariant kunt maken. Elie Cartan toonde dit vervolgens in 1923 aan voor Newtonse zwaartekracht, een formulering die we nu kennen als Newton-Cartan. Wat Einsteins theorie zo bijzonder maakt, is dat het een algemeen-covariante theorie is waarbij alleen de metriek als dynamisch veld optreedt. Je kunt ook andere algemeen-covariante theorieën van zwaartekracht opschrijven, maar daarvoor moet je al gauw extra velden introduceren en het wordt daardoor al gauw heel erg gekunsteld. Ook de Newton-Cartan formulering is, in vergelijk met Einsteins ART, een stuk ingewikkelder en minder elegant.

Ik kan rustig zeggen dat de preciese rol van algemene covariantie in de ART door de meeste fysici nog steeds niet helemaal doorgrond wordt. Mijn ervaring is dat wanneer je er op doorvraagt, de meeste fysici moeten erkennen dat het concept een heel stuk subtieler is dan de meeste tekstboeken je willen doen laten geloven. Geen wonder dus dat Einstein verward was over het begrip.

[flappelap]

@[background=#e7f0fa]flappelap:[/background]

[background=#e7f0fa]Ik ben inderdaad niet thuis in metriek, maar jouw uitleg komt wel iets dichter bij het begrip voor mij omdat je zelf 2 interesante aanknopingspunten geeft:[/background]
1) kromming is "in de tijdsrichting" (de term die hij via het equivalentieprincipe verkreeg door naar een versnelde waarnemer te gaan en deze waarnemer equivalent te laten zijn aan een stilstaande waarnemer in een uniform zwaartekrachtsveldO)
 
2) kromming in de ruimterichting: Je kunt de afbuiging van het licht nog eens aanpassen door een soortgelijke kromming "in de ruimte" te introduceren. De vorm hiervan wordt beperkt als je bolsymmetrie aanneemt. Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging. 
 
Nu hebben we in dit topic al veel berekeningen gedaan en volledige onderbouwing met de serie liften die alles verklaren dus waaruit het begrip komt voor deze afbuiging in de tijd.
maar mbt de afbuiging in de ruimte is de zaak nog volledig vaag en onverklaard. Is er niet een soortgelijk gedachtenexperiment  als met de lift waar dan het begrip uit volgt waarom de ruimte kromt, bv bij bolsymmetrie? Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging, maar dat is feitelijk geen begripsvorming maar alleen fitting (net zoals je een willekeurig niet lineair effect kunt modelleren met polynomen) 

Klopt, mijn uitleg was ook bedoeld als een fit, die je vervolgens identificeert als een lineaire benadering van een daadwerkelijke oplossing: die van Schwarzschild. Maar het is mij niet duidelijk wat jij als startpunt wilt nemen.

De reden waarom Einstein geloofde dat de ruimte (en in het algemeen: de ruimtetijd) ook kromt, is het equivalentieprincipe. Dus misschien moet je dat nog eens goed doornemen.

@[background=#e7f0fa]flappelap:[/background]

[background=#e7f0fa]Ik ben inderdaad niet thuis in metriek, maar jouw uitleg komt wel iets dichter bij het begrip voor mij omdat je zelf 2 interesante aanknopingspunten geeft:[/background]
1) kromming is "in de tijdsrichting" (de term die hij via het equivalentieprincipe verkreeg door naar een versnelde waarnemer te gaan en deze waarnemer equivalent te laten zijn aan een stilstaande waarnemer in een uniform zwaartekrachtsveldO)
 
2) kromming in de ruimterichting: Je kunt de afbuiging van het licht nog eens aanpassen door een soortgelijke kromming "in de ruimte" te introduceren. De vorm hiervan wordt beperkt als je bolsymmetrie aanneemt. Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging. 
 
Nu hebben we in dit topic al veel berekeningen gedaan en volledige onderbouwing met de serie liften die alles verklaren dus waaruit het begrip komt voor deze afbuiging in de tijd.
maar mbt de afbuiging in de ruimte is de zaak nog volledig vaag en onverklaard. Is er niet een soortgelijk gedachtenexperiment  als met de lift waar dan het begrip uit volgt waarom de ruimte kromt, bv bij bolsymmetrie? Je parametriseert deze kromming met een factor alfa die je uiteindelijk afstelt op de gemeten afbuiging, maar dat is feitelijk geen begripsvorming maar alleen fitting (net zoals je een willekeurig niet lineair effect kunt modelleren met polynomen) 
 
@[background=#319bdb]DParlevliet sorry dat eea nu toch in dit topic terechtkomt, maar daar had ik al min of meer voro gewaarschuwd dat eea door elkaar gaat lopen met 2 overlappende topics[/size][/background]

Klopt, mijn uitleg was ook bedoeld als een fit, die je vervolgens identificeert als een lineaire benadering van een daadwerkelijke oplossing: die van Schwarzschild. Maar het is mij niet duidelijk wat jij als startpunt wilt nemen.

De reden waarom Einstein geloofde dat de ruimte (en in het algemeen: de ruimtetijd) ook kromt, is het equivalentieprincipe. Dus misschien moet je dat nog eens goed doornemen.

-edit quoten gaat niet goed, maar de boodschap is duidelijk hoop ik

[HansH]

De reden waarom Einstein geloofde dat de ruimte (en in het algemeen: de ruimtetijd) ook kromt, is het equivalentieprincipe. Dus misschien moet je dat nog eens goed doornemen.

 

Het equivalentieprincipe gaat erover dat je geen onderscheid kunt maken tussen versnelling en zwaartekracht. op basis daarvan kom je echter niet verder dan de helft van de alfbuiging. Ik dacht de andere helft gevonden te hebben door aan te nemen dat uit het equivalentieprincipe volgt dat de ruimte kromt zie bericht
 #135
in de zwevende toestand zonder zwaartekracht gaat het licht in een serie liften (zie gele rechthoejes in het plaatje) achter elkaar gewoon rechtdoor zonder rotatie, dus moet je vanwege het equivalentieprincipe hetzelfde ervaren als je in de zelfde serie liften zit zie zich wel in een zwaartekrachtsveld bevinden, omdat het equivalentieprincipe immers zegt dat je beide situaties niet van elkaar kunt onderscheiden.
omdat de liften niet zelf roteren (omdat ze geen rotatie hebben en alleen rechtlijnig naarde massa vallen) moet de ruimte dan een kromming maken gelijk aan de kromming van het licht via de vallende liften. Dan kom je dus zo op 2 x de kromming dus zelfde als ART kromming.
 
Die redenatie werd echter afgeschoten vanwege het feit dat het equivalentieprincipe alleen geldt in een uniform zwaartekrachtsveld. Of dat waar is weet ik niet. Ik zou denken van niet omdat als je geen onderscheid kunt maken tussen versnelling en zwaartekracht dan kun je dat ook niet bij een baan waarin de zwaartekracht verandert omdat je dat dan ook kunt zien als een veranderende versnelling. 

[HansH]

Klopt, mijn uitleg was ook bedoeld als een fit, die je vervolgens identificeert als een lineaire benadering van een daadwerkelijke oplossing: die van Schwarzschild. Maar het is mij niet duidelijk wat jij als startpunt wilt nemen.

Mijn startpunt zou bij voorkeur zijn het punt waar Einstein ook gestart moet zijn,voordat er formules waren, namelijk het gedachtenexperiment  waaruit duidelijk wordt waarom de ruimte nog meer kromt dan alleen via de vallende liften is te beredeneren.  

[Professor Puntje]

Die redenatie werd echter afgeschoten vanwege het feit dat het equivalentieprincipe alleen geldt in een uniform zwaartekrachtsveld. Of dat waar is weet ik niet. 

 
Zo zit dat niet, het equivalentieprincipe geldt alleen precies in een uniform gravitatieveld. Maar lokaal (dus in een infinitesimale omgeving) geldt het equivalentieprincipe voor (nagenoeg) alle gravitatievelden.

[HansH]

 
Zo zit dat niet, het equivalentieprincipe geldt alleen precies in een uniform gravitatieveld. Maar lokaal (dus in een infinitesimale omgeving) geldt het equivalentieprincipe voor (nagenoeg) alle gravitatievelden.

waar het uiteindelijk om gaat is de vraag of je die lokale stukjes aan elkaar mag plakken om zo tot het inzicht te komen dat de extra factor voor de kromming daarmee te verklaren is, dus in feite de integraal van alle kleine stukjes bij elkaar, zie bv ook http://www.quantumuniverse.nl/relativiteit-12-zwarte-gaten

[Professor Puntje]

Pas las ik in een boek over de ART iets dat hier mogelijk uitkomst kan bieden. Met vallende liften kun je een deel van de lichtbuiging verklaren maar er is een aspect van de buiging dat daarbij buiten beeld blijft en dat is het feit dat opeenvolgende liften niet alleen naar beneden vallen maar bij het gravitatieveld van een hemellichaam ook naar elkaar toe vallen. En dat geeft een extra ruimtelijke kromming die je op basis van de infinitesimale liftcabines alleen niet terugziet.