Vergelijking met onbekende in vierkantswortel oplossen

[joajoajo]

Hallo allemaal,

Voor een oefening statistiek moet ik de vergelijking: [ (2.97 * sqrt(x)) + 10x - 10 000 = 0" ] oplossen. 

Hoe kan ik deze vergelijking oplossen?

Alvast bedankt!

[Professor Puntje]

Aangezien x onder het wortelteken voorkomt mogen eventuele oplossingen niet negatief zijn. Dus geldt:
 

\( x = (\sqrt{x})^2 \)

[joajoajo]

Oké bedankt, ik heb het antwoord gevonden!

Eigenlijk los je dit dus gewoon op zoals een 2de-graads vergelijking, waarbij je op het einde de uitkomst nog moet kwadrateren?

[Professor Puntje]

Eigenlijk los je dit dus gewoon op zoals een 2de-graads vergelijking,

 
Ja. Stel bijvoorbeeld z = √x .
 

waarbij je op het einde de uitkomst nog moet kwadrateren?

 
Als er reële oplossingen voor z zijn, kun je daarvan alleen de niet-negatieve gebruiken. Stel je vindt z = 3 of z = -7, dan geeft z = -7 geen oplossing voor x omdat een wortel altijd niet-negatief is (ervan uitgaande dat je niet met imaginaire getallen werkt). Voor z = 3 vind je: √x = 3 dus x = 3² = 9. Iets dergelijks doe je dan voor je eigen vergelijking. Desnoods controleer je de gevonden oplossing(en) nog door deze in de vergelijking in te vullen.

[mathfreak]

waarbij je op het einde de uitkomst nog moet kwadrateren

Wat je na het kwadrateren en verder oplossen nog wel dient te doen is nagaan of alle oplossingen aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoen.

[Professor Puntje]

Wat je na het kwadrateren en verder oplossen nog wel dient te doen is nagaan of alle oplossingen aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoen.

 
Dat kan inderdaad (en is ook verstandig) maar moet het ook? Het lijkt mij voldoende als je enkel de niet-negatieve oplossingen van de kwadratische vergelijking in aanmerking neemt. Zie ik iets over het hoofd?

[mathfreak]

Dat kan inderdaad (en is ook verstandig) maar moet het ook? Het lijkt mij voldoende als je enkel de niet-negatieve oplossingen van de kwadratische vergelijking in aanmerking neemt. Zie ik iets over het hoofd?

Ja, beschouw bijvoorbeeld de vergelijking

\(\sqrt{x+2}=x\)

Kwadrateren levert: x+2 = x², dus x²-x-2 = 0, dus (x-2)(x+1) = 0, dus x = 2 of x = -1. Ga na dat x = 2 wel aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet, omdat er dan staat dat

\(\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

Invullen van x = -1 levert echter dat

\(\sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=-1\)

Omdat de wortel uit een getal altijd positief of nul is zien we dus dat x = 2 wel aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoet, maar x = -1 niet. De oplossing x = -1 is een door het kwadrateren ingevoerde oplossing die niet aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoet.

[Professor Puntje]

@ mathfreak
 
Dat bewijst niet dat mijn aanpak tekort schiet. Je laat enkel zien hoe je het zelf zou doen.
 
Geef eens een specifieke vergelijking van de vorm
 

\( b \, \sqrt{x} + a x + c = 0 \)

 
waarbij ik ondeugdelijk oplossingen voor x zou vinden als ik daarvoor van de vergelijking
 

\( a z^2 + b z + c = 0 \)

 
enkel de eventuele niet-negatieve oplossingen voor z (die dan √x zijn) zou gebruiken.

[mathfreak]

@ mathfreak
 
Dat bewijst niet dat mijn aanpak tekort schiet. Je laat enkel zien hoe je het zelf zou doen.

Ik zeg ook niet dat jouw aanpak tekort schiet. Ik wijs er alleen maar op dat nagaan of alle oplossingen aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoen de gebruikelijke laatste stap in het oplossen van een wortelvergelijking is. De achterliggende gedachte is dat je van een implicatie uitgaat waarvan de omkering niet geldt. Je gebruikt namelijk de eigenschap dat uit a = b volgt dat a² = b². Omgekeerd geldt echter dat uit a² = b² niet alleen a = b, maar ook de mogelijkheid a = -b volgt.
 
Laten we eens uitgaan van de vergelijkiing ax+c = -b√x. Stel √x = z, dan gaat de vergelijking over in az²+bz+c = 0, dus

\(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Veronderstel dat b²-4ac>0 en

\(\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}>0\)

Stel a>0, dan geldt dat b²-4ac<b², dus ac>0, dus ook c>0. Voor a<0 geldt eveneens dat ac>0, maar dan geldt eveneens dat c<0. Stel dat z = p en z = q de oplossingen zijn van az²+bz+c = 0, waarbij p>0 en q<0, dan geldt wel dat √x = p, dus x = p², maar omdat √x≥0 betekent dit dat er niet aan √x = q kan worden voldaan omdat q negatief is, wat in strijd is met de eis dat √x≥0.

[Professor Puntje]

Als je de implicatie gebruikt moet je inderdaad achteraf controleren of de gevonden resultaten wel echte oplossingen zijn. De implicatie A(x) ⇒ B(x) houdt immers in alle x die aan A voldoen ook aan B voldoen, maar het omgekeerde hoeft dan niet het geval te zijn.

 

Bij de bi-implicatie of logische equivalentie A(x) ⇔ B(x) voldoen precies dezelfde x aan A als aan B en omgekeerd. Als je afleiding de weg van de logische equivalentie volgt is het in principe niet nodig achteraf te controleren of alle resultaten wel echte oplossingen zijn, hoewel het ter controle wel handig is om dat toch te doen. Mijn aanpak berust op de bi-implicatie.

 

Zie ook:

 

https://nl.wikipedia.org/wiki/Dan_en_slechts_dan_als

[mathfreak]

 Mijn aanpak berust op de bi-implicatie.

En dat is dus een andere dan de gebruikelijke aanpak via de implicatie die ik noemde. Dat is dus de reden waarom je na het kwadrateren en verder oplossen nog moet nagaan of alle oplossingen aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoen.