impedantie bij resonantie

[WillemB]

De impedantie van de 120 nF capaciteit is -j129,1  , die van de weerstand 1800 Ohm,
dan zal je dus moeten bewijzen dat de parallel schakeling een nieuwe capaciteit gaat op leveren en een nieuwe weerstand...??
 
Ik zie nog niet hoe...
 
Dat je programma het wel berekend komt omdat deze de vervang impedantie gebruikt, maar volgens
mij niet op de correcte manier

[ukster]

zou inderdaad kunnen....
 
wel zit in de Q- factor de weerstand R verwerkt
Q=Zo√(Cv/L) met Zo=((C1+C2)/C1)^{2 .}R
voor deze schakeling meet ik een Q-factor van ca 70 door eerst de bandbreedte te meten (ongeveer 147 Hz)

[Professor Puntje]

Het hangt er maar net vanaf hoe zwaar de kring of transformator door de weerstand wordt belast.
 
Met mijn voorgestelde transformatie krijgen we:
 

getransformeerd 876 keer bekeken

 
Vervolgens hebben we:
 

\( \left \{ \mbox{Im} \left ( \frac{1}{j \, \omega \, \mbox{L}} \, + \, Y \, + \, Y' \right ) \right \}_{\omega = \omega_0}\, = \, 0 \)

 

\( \left \{ \mbox{Im} \left ( \frac{1}{j \, \omega \, \mbox{L}} \right ) \right \}_{\omega = \omega_0} \, + \, \{ \mbox{Im}(Y) \}_{\omega = \omega_0} \, + \{ \, \mbox{Im}(Y') \}_{\omega = \omega_0} \, = \, 0 \)

 

\( \frac{-1}{\omega_0 \, \mbox{L}} \, + \, \{ \mbox{Im}(Y) \}_{\omega = \omega_0} \, + \{ \, \mbox{Im}(Y') \}_{\omega = \omega_0} \, = \, 0 \,\,\,\,\,\, (^*) \)

 
 
En:
 

\( \left \{ \mbox{Re} \left ( \frac{1}{j \, \omega \, \mbox{L}} \, + \, Y \, + \, Y' \right ) \right \}_{\omega = \omega_0}\, = \, \frac{1}{\mbox{R}_{kring}} \)

 

\( \left \{ \mbox{Re} \left ( \frac{1}{j \, \omega \, \mbox{L}} \right ) \right \}_{\omega = \omega_0} \, + \, \{ \mbox{Re}(Y) \}_{\omega = \omega_0} \, + \{ \, \mbox{Re}(Y') \}_{\omega = \omega_0} \, = \, \frac{1}{\mbox{R}_{kring}} \)

 

\( \{ \mbox{Re}(Y) \}_{\omega = \omega_0} \, + \{ \, \mbox{Re}(Y') \}_{\omega = \omega_0} \, = \, \frac{1}{\mbox{R}_{kring}} \,\,\,\,\,\, (^{**}) \)

 
Vergelijking (*) levert dan de resonantiefrequentie ω₀ en vergelijking (**) levert als we ω₀ weten de kringweerstand bij resonantie R_kring.

[ukster]

Niets op aan te merken Professor Puntje..
Dus dan wordt het toch stoeien met de ster-driehoek transformatieformules om in 1e instantie de resonantiefrequentie te berekenen!

[Olof Bosma]

Volgens mij is de eenvoudigste aanpak zonder complex rekenen als volgt:
Reken het parallelcircuit C₂ aan R om in een seriecircuit:
R_S = R/(1+(ωC₂R)²) (blijkt 9,22 Ω)
X_S = ωC₂R²/(1+(ωC₂R)²) (blijkt 120,6 nF)    (de vergeten macht en haakje bijgevoegd n.a.v. #36)
Dit seriecircuit in de schakeling zetten en je hebt de resonantiefrequentie, kwaliteitsfactor Q en dus ook de impedantie bij f₀.
Jammer alleen dat ω₀ nog niet bekend is.
Dus je vult deze formules in Excel in, gecombineerd met de reactantie van C₁ en L en zoekt dan de frequentie waarbij X_L - X_Ctotaal zo klein mogelijk is.
Je vindt zo f₀ = 10268 Hz, Z₀ = 45139 Ω en Q = 70

[ukster]

Het was nog niet in mij opgekomen om het parallelcircuit om te rekenen in een seriecircuit om zo tot een equivalent schema te komen.
Ik ben het zeer eens met de uitdrukking voor Rs maar volgens mij heb je in Xs een foutje staan en moet het zijn

ESR 887 keer bekeken

[Professor Puntje]

Krijg je zo een frequentie-afhankelijke weerstand R_s en frequentie-afhankelijke condensator X_s in het circuit?

[ukster]

Ja, daar zeg je zowat!

transformatie parallel naar serie 875 keer bekeken

is dit eigenlijk wel wenselijk?

[Professor Puntje]

De noemer van C_s lijkt mij zo onmogelijk, de eenheden kloppen niet. [Nu wel.]

Maar buiten dat, een trillingkring met een frequentie-afhankelijke weerstand en condensator is zeker geen normale trillingskring, en dus is het maar de vraag of de gebruikelijke formules voor een trillingskring daar nog voor gelden.

 

[ukster]

Maar buiten dat, een trillingkring met een frequentie-afhankelijke weerstand en condensator is zeker geen normale trillingskring, en dus is het maar de vraag of de gebruikelijke formules voor een trillingskring daar nog voor gelden.
 
Eens!
 
Nu krijg je dit!

transformatie 875 keer bekeken

[Olof Bosma]

Het was nog niet in mij opgekomen om het parallelcircuit om te rekenen in een seriecircuit om zo tot een equivalent schema te komen.
Ik ben het zeer eens met de uitdrukking voor Rs maar volgens mij heb je in Xs een foutje staan en moet het zijn ESR.jpg

 
Inderdaad, de macht vergeten op te schrijven (maar in de controleberekening in Excel stond die natuurlijk wel).
 
 

Krijg je zo een frequentie-afhankelijke weerstand R_s en frequentie-afhankelijke condensator X_s in het circuit?

 
Inderdaad, op deze wijze beïnvloed de weerstand de frequentie.
 
 

Maar buiten dat, een trillingkring met een frequentie-afhankelijke weerstand en condensator is zeker geen normale trillingskring, en dus is het maar de vraag of de gebruikelijke formules voor een trillingskring daar nog voor gelden.

 

 
Dat is waar, maar de bepaling van de resonantiefrequentie en de impedantie klopt wel. Pas bij bepaling van de bandbreedte treden afwijkingen op, vooral wanneer de Q lager wordt.

[Professor Puntje]

Dat is waar, maar de bepaling van de resonantiefrequentie en de impedantie klopt wel. Pas bij bepaling van de bandbreedte treden afwijkingen op, vooral wanneer de Q lager wordt.

 

Laat R in gedachten van nul naar oneindig gaan, dan zie je dat er overduidelijk een verschuiving van resonantiefrequentie en kringimpedantie moet optreden.

Maar stel dat je dat om de een of andere reden kon negeren, dan zou het nóg geen vereenvoudiging opleveren want ook zo krijg je dat de resonantiefrequentie en kringimpedantie worden uitgedrukt in termen (namelijk R_s en C_s) waarin die resonantiefrequentie ook zelf weer voorkomt. En ook dan moet je eerst weer een vergelijking in de resonantiefrequentie oplossen.

[WillemB]

Volgens mij halen we nu frequentie verschuiving en impedantie verschuiving door elkaar.
 
Voorwaarde voor resonantie is dat Z_C = Z_L waarbij  de stromen - 90º en + 90º verschoven zijn.
Het toevoegen van een weerstand verandert niets aan de frequentie, wel aan de totaal impedantie.
 
Door het toevoegen van een weerstand komt er een extra stroom te lopen die 0º in fase is.
Als je een vector diagram tekent zou dat te zien zijn, Z_C = Z_L is dan nog steeds van toepassing.
 
De resultante van de stroom door de weerstand levert een nieuwe impedantie op in dit geval van -j129 + 1800
voor het gemak wordt dan om er mee te rekenen een vervang impedantie uitgerekend die op 128,7 uitkomt maar
dat is niet hetzelfde als -j129+1800.  Omdat je met de vervang impedantie gaat rekenen met een impedantie die niet zuiver -90º is.
Welke vereist is om de resonantie frequentie te bepalen.......
 
En om dan weer een correctie op de frequentie toe te passen om de kring stromen (=impedantie) weer gelijk te krijgen lijkt me niet correct.
Omdat er geen rekening wordt gehouden met de in de kring aanwezige fase verschuivingen.
 
Want dan zou ik de hele schakeling kunnen vervangen door een weerstand van 45 KΩ of een enkele condensator of spoel
die van zichzelf bij die frequentie die impedantie heeft. Maar heeft dan niet meer de eigenschappen van het origineel.

[Professor Puntje]

@ WillemB

Dat de resonantiefrequentie hier wel van de waarde van R afhangt is eenvoudig in te zien. Daarom schreef ik ook:

 

Laat R in gedachten van nul naar oneindig gaan, dan zie je dat er overduidelijk een verschuiving van resonantiefrequentie en kringimpedantie moet optreden.

 

Bekijk de oorspronkelijke schakeling nog eens en zeg mij dan eens wat de resonantiefrequenties voor R=0 en R=∞ zijn. Zijn die resonantiefrequenties gelijk of zijn die ongelijk? En als ze ongelijk zijn wat zegt dat dan over het verloop van de resonantiefrequentie bij de tussen 0 en ∞ liggende waarden van R? 

 

[WillemB]

De resonantie frequenties blijven gelijk, het bewijs daarvoor is namelijk , (wil niet lullig doen maar),
in de definitie komt geen weerstand voor...
 
De definitie is afgeleid van het feit dat Z_C = Z_L  daar uit volgt namelijk Freq = 1/ 2π √ LC
dit is namelijk het enigste punt waarbij  de kring impedantie Z=∞  
 
De kring impedantie Z= ∞ verandert niet door toevoeging van een weerstand, klein of groot,
** wat wel verandert is de impedantie die de bron ziet, namelijk de kring en de weerstand........