Geregeld proces

[Professor Puntje]

Als je voor harmonische signalen van die vuistregel (s = jω) uitgaat, dan kun je jω toch gewoon voor s invullen?

[ukster]

En dan is in principe voor iedere frequentie de versterking en Fase te berekenen.
Voor het bereik ω=0 tot ω →∞ kan de computer dan een Plot hiervan maken (Bodediagram / Nyquistdiagam)
dan moet het dus mogelijk zijn om voor elke willekeurige overdracht in het frequentiedomein bij een gegeven Fase de frequentie te berekenen, waarmee dan de totale versterking kan worden uitgerekend
in de topicvraag is ook de totale versterking bekend (voor optimale stapresponsie); een onderdeel van de totale versterking (Kr.A) moet berekend worden, waarmee Kr bekend wordt voor optimale instelling van de regelkring. 

[Professor Puntje]

Dat de vuistregel (s = jω) in alle gevallen klopt is de vraag, maar technici beschouwen (gezien je citaat) eventuele uitzonderingen kennelijk als irrelevant. Dus kun je proberen langs die weg analytische oplossingen te vinden.

[ukster]

dit citaat komt uit het artikel van jouw externe link..
Ik denk dat alle laplace sources in simulatiesoftware hiervan gebruik maken
maar wat betekent dan de σ in s=σ+jω bij toepassing in het s-vlak (dit heeft tenslotte ook een Imaginaire- en reële as)     

[Professor Puntje]

Ik weet dat je citaat uit mijn link komt maar in die link worden ook voorbeelden gegeven waaruit blijkt dat de zaak wiskundig gezien ingewikkelder ligt. Het is dus maar net wat je met dit topic wilt. Wil je gewoon een technische oplossing of wil je wiskundig het naadje van de kous weten?

[ukster]

puur technische oplossing...

technische oplossing 841 keer bekeken

hoe wordt dit algebraïsch opgelost?

[Professor Puntje]

Je kan het toch doen als in mijn berichtje #8?

[ukster]

bedoel je dit?

technische oplossing 841 keer bekeken

[Professor Puntje]

Nee - ik bedoel deze aanpak:
 

(...)
 
We hebben ook:
 

\( \arg(H_{ol}) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left (- \frac{126}{180} \, \pi \right ) \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left (- \frac{126}{180} \, \pi \, + \, \pi \right ) \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left ( \frac{54}{180} \, \pi \right ) \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left ( \frac{3}{10} \, \pi \right ) \)

 

\( \frac{\mbox{Im}(H_{ol})}{\mbox{Re}(H_{ol})} = \tan \left ( \frac{3}{10} \, \pi \right ) \,\,\,\,\,\, (^*)\)

 
 
Alle waarden van s waarbij H_ol het vermelde argument heeft moeten aan bovenstaande vergelijking (*) voldoen, maar mogelijk rollen daar ook nog extra oplossingen uit die niet voldoen. De met (*) gevonden oplossingen moeten dus nog wel gecontroleerd worden.

[ukster]

ja, tan(α)=tan(α±π)
ik vermoed dat dit geen(of juist meer)frequenties oplevert ten opzichte van de 1e situatie....
kun je laten zien hoe dit gaat?
ik snap de bedoeling maar Ik heb het gevoel dat dat veel meer werk is, of vergis ik me?

[Professor Puntje]

Er geldt:
 
α = β  ⇒ tan(α) = tan(β)
 
Maar omdat de rechter vergelijking méér oplossingen heeft dan de linker, krijg zo extra (maar niet minder) oplossingen.
 
Dus als je de gevonden frequenties nog controleert blijft daarvan vanzelf de gezochte frequentie over.

[ukster]

Het Nyquistdiagram van de open loop overdracht laat zien dat er slechts 2 frequenties bestaan waarvoor arg(Hol)= -126 degr

Nyquistdiagram open loop gain 841 keer bekeken

[Professor Puntje]

post 841 keer bekeken

 
Bij het vraagteken missen wat stappen. Hoe doe je dat?

[ukster]

in de teller staan twee dezelfde expressies
het argument van een expressie is tan^-1(IM/RE) vandaar  de term 2*tan^-1(2ω)
In de noemer staan drie dezelfde puur imaginaire expressies (dus 3x90º= 270º = 3π/2 rad)
in de noemer staat ook nog een argument tan^-1(IM/RE)=tan^-1(0,1ω)
verder geldt de regel: Totaal argument= argument teller - argument noemer
 
Overigens is die andere hoek van 3π/10 rad=54º geen optie ,omdat het Nyquistdiagram niet door het 1e kwadrant loopt

[Professor Puntje]

Als afgesproken substitueren we jω voor s. Dan is H_ol dus een functie van jω. Zodat:

\( H_{ol}(j \omega) = H_r(j \omega) \cdot H_p(j \omega) \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{\mbox{K}_r ( 1 + \frac{1}{2 j \omega}) (2 j \omega + 1)}{0,1 \, j \omega + 1} \cdot \frac{\mbox{A}}{( j \omega )^2} \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r ( 1 + \frac{1}{2 j \omega}) (2 j \omega + 1)}{\omega^2 \cdot (0,1 \, j \omega + 1)} \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 10 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r ( 2 \omega - j) (2 j \omega + 1)}{2 \omega^3 \cdot (j \omega + 10)} \right \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 } \cdot \frac{( 2 \omega - j) (2 j \omega + 1)}{ j \omega + 10} \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 } \cdot \frac{( 2 \omega - j) (2 j \omega + 1)}{ j \omega + 10} \cdot \frac{- j \omega + 10}{- j \omega + 10} \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 } \cdot \frac{( 2 \omega - j) (2 j \omega + 1) (- j \omega + 10)}{ \omega^2 + 100} \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot ( 2 \omega - j) (2 j \omega + 1) (- j \omega + 10) \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot ( 4 j \omega^2 + 2 \omega + 2 \omega - j ) (- j \omega + 10) \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot ( 4 \omega + (4 \omega^2 - 1) j ) (- j \omega + 10) \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot ( -4 j \omega^2 + 40 \omega + \omega (4 \omega^2 - 1) + (40 \omega^2 - 10) j) \)

\( H_{ol}(j \omega) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot ( (36 \omega^2 - 10) j + 39 \omega + 4 \omega^3) \)

En dus:

\( \mbox{Re}(H_{ol}(j \omega)) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot (39 \omega + 4 \omega^3) \)

\( \mbox{Im}(H_{ol}(j \omega)) = \frac{- 5 \cdot \mbox{A} \cdot \mbox{K}_r }{ \omega^3 \cdot (\omega^2 + 100) } \cdot ( 36 \omega^2 - 10) \)

Waardoor:

\( \tan ( \arg(H_{ol}(j \omega)) ) = \frac{\mbox{Im}(H_{ol}(j \omega))}{\mbox{Re}(H_{ol}(j \omega))} \)

\( \tan ( \arg(H_{ol}(j \omega)) ) = \frac{36 \omega^2 - 10}{39 \omega + 4 \omega^3} \)