Bord van Galton

[wiskundeknobbelaar]

Hoi allemaal!

​Ik ga het bord van galton bouwen en ik snap de theorie achter het bord.

​Nu ik het ontwerp voor het bord aan het maken ben stuit ik toch op een aantal problemen.

​De 'pinnen' waar bijvoorbeeld pingpong ballen opvallen zijn eigenlijk roosterpunten van een grafiek. Maar de grafiek is in alle ontwerpen van het bord van Galton vervormd. Hoe kan ik weten wat de afstand tussen de pinnen is en hoe erg de grafiek dus vervormd wordt? Zit hier ook nog een theorie achter?
 
Alvast heel erg bedankt!
 

[Michel Uphoff]

Ik begrijp deze vraag niet.
 
Hier een weergave van zo'n Galton box met de kansverdeling. Wat is er nu naar jouw mening 'vervormd' ?
 

Galtonbrett_mathe 1280 keer bekeken

Bron: Honina klik

[wiskundeknobbelaar]

Ik ga het proberen duidelijker te maken:

Ik ga dus het bord van galton maken. De theorie erachter snap ik. De pinnen waar de ballen op vallen zijn eigenlijk roosterpunten. Nu is het punt dat je de roosterpunten zo ver uit elkaar kan laten springen als je wil, je kan namelijk verschillende groottes grafiek hebben.

Als ik nu dus het bord van galton wil maken, hoe bepaal ik dan hoe groot ik deze grafiek maak? Of word het gewoon proberen en kijken wat het best uitkomt? Oftewel: zit hier nog een bepaalde theorie achter?

[Michel Uphoff]

Nu is het punt dat je de roosterpunten zo ver uit elkaar kan laten springen als je wil

 
In theorie, en binnen grenzen, mogelijk wel, maar in de praktijk zie ik dat toch wat anders. Wat je wilt is dat ieder balletje bij iedere spijker een gelijke kans heeft links of rechts van de spijker te vallen. Dat houdt dan in, dat ieder balletje loodrecht, zonder zijwaartse beweging dus, op het midden van de lagere spijker terecht moet komen. Dan kan je het best de horizontale beweging van de balletjes zo volledig mogelijk gaan beperken met bijvoorbeeld verticale schotjes: 
 

Image1 1278 keer bekeken

 
De horizontale afstand tussen de buitenkant van de spijkers (hier zijn veel dikkere schijven gebruikt, maar het principe blijft hetzelfde) moet dan gelijk dan zijn aan de diameter van de balletjes. De onderlinge horizontale afstand tussen de spijker moet dan gelijk zijn aan de diameter van een balletje en een spijker (ietsje meer om eventueel klemmen te voorkomen). Ook tussen de spijkers en de schotjes moet de afstand tussen buitenzijdes gelijk zijn aan de baldiameter (ietsje meer). Zo valt ieder balletje na het raken van een spijker links of rechts loodrecht naar beneden op het midden van de spijker er onder.
 
Zou je die schotjes of een andere vorm van horizontale bewegingsbeperking (zie het voorbeeld in de eerste afbeelding) niet gebruiken, dan valt een balletje een keer, of stuitert een paar keer, op een spijker en krijgt naast een verticale- ook een horizontale snelheid mee en valt dan niet meer op het midden van de spijker er onder. Iedere initiële afwijking wordt zo versterkt, terwijl je die afwijking juist bij ieder val naar een lagere verdieping zo veel mogelijk wilt elimineren.
 
Het zal overigens helemaal niet meevallen, m.i. zelfs vrijwel onmogelijk zijn, het bord zo precies te bouwen dat de correcte kansverdeling er uit komt rollen. Of pingpongballetjes geschikt zijn betwijfel ik, maar ik ken de diameter- en rondheid toleranties daarvan niet. Stalen lagerkogels zouden mijn voorkeur hebben.
 
Ik heb een stukje Galtonbox in mijn simulatiesoftware nagebouwd, en het blijkt dat minuscule afwijkingen grote gevolgen hebben voor de kansverdeling.

[Benm]

Ik denk ook dat de kansverdeling in de praktijk heel anders uitvalt als je het bouwt met balletjes die op spijkers stuiten. 
 
In eerste instantie zal het nog wel een 50/50 zijn als het balletje precies midden op de eerste spijker valt, maar daarna ontstaat wel een horizontale snelheid, en ik vermoed dat in de uiterst linkse en rechtse bakjes onderaan veel meer balletjes belanden dan de theorie voorspelt. 

[Michel Uphoff]

Ja dat is heel duidelijk te zien.
 
Hier de uitkomsten van een eenvoudig modelletje met en zonder schotjes:
 

Image1 1277 keer bekeken

[wiskundeknobbelaar]

Bedankt alvast voor de hulp! Ik heb het ook al een beetje uitgeprobeerd te maken. Als ik het goed bgerijp moet de afstand tussen de spijkers altijd de grootte zijn van het balletje wat je gebruikt? Zowel horizontaal als verticaal gezien?

Want in de simulatie zie ik dat de horizontale afstand wel de grootte van het balletje is, maar de verticale niet? Maar toen ik het ging uitproberen leek het mij logisch dat de verticale dan ook de grootte van het balletje is

En de laatste vraag: Ik zit nog een beetje met de soort balletjes die ik ga gebruiken. In hoeverre maakt dit uit? Want elk ander soort balletje heeft weer een ander gewicht of stuiter. 

[Michel Uphoff]

De afstand moet zo zijn, dat een balletje met minieme speling tussen die spijkers past, ze mogen natuurlijk niet klemmen.
 
De verticale afstand moet minimaal ook zo groot zijn, maar meer mag. Waar het om gaat is dat de balletjes zo zuiver mogelijk verticaal vallen op het midden van de onderliggende pin.
 
Pingpongballetjes lijken mij minder geschikt, omdat ik aanneem dat die niet ideaal rond zijn en omdat ze een lasnaad hebben. Lagerkogels (klik) lijken mij geschikter.