boven/ondergrens bepalen van recursieve reeks

[Christoph Ronken]

Om een boven/ondergrens te bepalen wordt de limiet berekend. Hoe begin je eraan om die limiet te berekenen bij een recursief gedefinieerde reeks? 
 
2 voorbeelden:
 
voorbeeld 1:

\(s_{n+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}s_n ~ met ~ s_1 = 1\)

uitkomst is

\( 2+\sqrt{2}\)

 
Ik heb deze eerste geprobeerd uit te werken als volgt: 

\(s_{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{2^n}} = \sum_{n=0}^{\infty}\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^n} \)

 
en wegens 

\(\sum_{k=0}^{n}z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)

: 

\(s_n = \frac{1-\frac{1}{2}^{\frac{n}{2}+1}}{1-\frac{1}{2}}\)

 

\( = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \)

Dit is dus niet juist. 
 
voorbeeld 2:

\(s_{n+1} = \sqrt{2+s_n} ~ met ~ s_1 = 5\)

uitkomst is

\( 1+2\sqrt{2}\)

Deze kan ik niet herschrijven tot een niet-recursieve vorm dus heb ik geen idee hoe hieraan te beginnen. 

[Xilvo]

Je schrijft:
 

\(s_{n+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}s_n ~ met ~ s_1 = 1\)

 
Dan is
 

\(z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

 
en met
 

\(\sum_{k=0}^{n}z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)

 
vind je dan
 

\(\sum_{k=0}^{\infty}z^k =\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{2}{2-\sqrt{2}}\)

[Bart23]

2de voorbeeld.
:
Je ziet snel dat dit een stijgende rij is. Bovendien is die ook naar boven begrensd. Je kan bv per inductie bewijzen dat s_n<4.
Een naar boven begrensde stijgende rij is convergent. Noem de limiet s.
Er volgt

\(\lim s_n=\lim \sqrt{2+s_{n+1}}=\sqrt{2+\lim s_{n+1}}\)

Die laatste stap wegens continuïteit.
Dus:

\(s=\sqrt{2+s}\Leftrightarrow s^2=2+s\Leftrightarrow s^2-s-2=0\)

Dit heeft oplossingen

\(\frac{1\pm3}{2}=2\)

De oplossing -1 vervalt wegens negatief.

[Bart23]

Oh, niet gezien dat s₁=5. Moet nog aangepast worden, dan.

[Bart23]

\(s_{n+1}<s_n\Leftrightarrow\sqrt{2+s_n}<s_n\Leftrightarrow s_n^2-s_n-2>0\)

. Dit is zo als

\(s_n>2\)

. Zolang je begint met beginterm groter dan 2 klopt dit. Het is dus een dalende rij, die naar onder begrensd is (door 0). Zo'n rij is ook altijd convergent. Rest van de redenering: zoals in vorige post.