afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[HansH]

Toch blijft het mij verbazen dat de factor tussen totale afbuiging en afbuiging tgv het equivalentieprincipe precies een factor 2 is. Dan zou je toch bijna denken dat eea met elkaar te maken moet hebben.  

[Professor Puntje]

Is het wel precies een factor 2? De gebruikte berekening is toch een benadering?

[HansH]

Ik weet niet of je het exact kunt berekenen maar ook bij een benadering (voor newton en ART worden beiden benaderingen gebruikt) is voor mij een factor 2 nauwkeurig op vele decimalen achter de komma nog steeds 'verdacht'
het ene is namelijk het resultaat van een hele simpele berekening (vallende lift is simpel te volgen) en het andere veel lastiger. als uit die verhouding een factor 2 komt dan is dat voor mij toch op zijn minst merkwaardig.  

[Professor Puntje]

Met de twee fotonen krijgen we volgens mij onderstaande situatie:
 

fotonen-2 2242 keer bekeken

 
Dus:
 

\( \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \lambda}{\mbox{d} s} \)

[Professor Puntje]

Laat een foton op oneindige afstand van een zwaar object O een energie E₀ hebben, dan correspondeert daar een massa m₀ = E₀/c² en golflengte λ₀ = (h.c)/E₀ mee.
 
Voor de potentiële energie van een massa m op afstand r van een zware massa M geldt:
 

\( E_{pot} = - \mbox{G} \, \frac{\mbox{m M}}{r} \)

 
Een stoffelijk voorwerp zou bij het vallen naar een zwaar object versnellen, maar bij een foton gaat dat niet. Wegens energiebehoud zal echter bij het bewegen naar een zwaar object ook de energie van het foton moeten toenemen, en dat gebeurt dan doordat de golflengte van het foton kleiner wordt.
 
Voor de energie E(r ) van het foton op afstand r van het zware object O vinden we dus:
 

\( E(r) = \mbox{E}_0 \, + \, \mbox{G} \, \frac{\mbox{E}_0 \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \)

 

\( E(r) = \mbox{E}_0 \cdot \left ( 1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right ) \)

 
Voor de golflengte λ van het foton op afstand r van het zware object O vinden we dan:
 

\( \lambda = \frac{h \, c}{\mbox{E}(r)} \)

 

\( \lambda = \frac{h \, c}{\mbox{E}_0 \cdot \left ( 1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )} \)

 

\( \lambda = \frac{h \, c}{\mbox{E}_0} \, \cdot \, \frac{1}{1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r}} \)

 

\( \lambda = \lambda_0 \, \cdot \, \frac{1}{1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r}} \)

[Professor Puntje]

rs 2243 keer bekeken

 
Waaruit we zien dat:
 

\( \mbox{d} r = \mbox{d} s \cdot \cos \phi \)

[Professor Puntje]

\( \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \lambda}{\mbox{d} s} \)

 

 

\( \lambda = \lambda_0 \, \cdot \, \frac{1}{1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r}} \)

 

 

\( \mbox{d} r = \mbox{d} s \cdot \cos \phi \)

 

Combinatie van deze resultaten geeft:

\( \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \lambda}{\mbox{d} s} \)

 

\( \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \lambda \cdot \cos \phi}{\mbox{d} s \cdot \cos \phi} \)

 

\( \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \lambda \cdot \cos \phi}{\mbox{d} r} \)

 

\( \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \lambda}{\mbox{d} r} \cdot \cos \phi \)

 

\( \frac{1}{\lambda_0} \cdot \frac{\lambda}{\mbox{R}} = \frac{1}{\lambda_0} \cdot \frac{\mbox{d} \lambda}{\mbox{d} r} \cdot \cos \phi \)

 

\( \frac{\frac{\lambda}{\lambda_0}}{\mbox{R}} = \frac{\mbox{d} \left ( \frac{\lambda}{\lambda_0} \right ) }{\mbox{d} r} \cdot \cos \phi \)

 

\( \frac{\lambda}{\lambda_0} = \mbox{R} \cdot \frac{\mbox{d} \left ( \frac{\lambda}{\lambda_0} \right ) }{\mbox{d} r} \cdot \cos \phi \)

 

\( \left ( 1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-1} = \mbox{R} \cdot \frac{\mbox{d} \left (1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-1} }{\mbox{d} r} \cdot \cos \phi \)

 

\( \left ( 1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-1}= \mbox{R} \cdot - \left (1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-2} \cdot - \frac{ \mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2} \, r^{-2} \cdot \cos \phi \)

 

\( \left ( 1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-1} = \mbox{R} \cdot \left (1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-2} \cdot \frac{ \mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2} \, r^{-2} \cdot \cos \phi \)

 

\( 1 = \mbox{R} \cdot \left (1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \right )^{-1} \cdot \frac{ \mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2} \, r^{-2} \cdot \cos \phi \)

 

\( 1 + \frac{\mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} = \mbox{R} \cdot \frac{ \mbox{G} \, \mbox{M}}{c^2 \, r} \, r^{-1} \cdot \cos \phi \)

 

\( \left (\frac{c^2 \, r}{\mbox{G} \, \mbox{M}} + 1 \right ) \cdot r = \mbox{R} \cdot \cos \phi \)

 

\( \mbox{R} = \frac{1 + \frac{c^2 \, r}{\mbox{G} \, \mbox{M}}}{\cos \phi} \cdot r \; \; \; \; \; \; \; (^*) \)

 
De formule (*) bepaalt een lichtbaan zodra een beginpunt en -richting gegeven zijn.

[Professor Puntje]

Maar hoe lossen we die vergelijking op? En heeft die wel een analytische oplossing?

[HansH]

initiatief is goed volgens mij, maar bovenstaande is voor mij nog iets te vaag om het op te kunnen lossen. ik zie en r en een R en wat beide de afstand van het foton tot de kern van de zware massa lijkt te zijn? en een theta maar ik zou verwachten dat er ergens een hoektoename moet zijn als functie van lopende variabele wat je ergens over zou moeten sommeren/integeren.  

[Professor Puntje]

Voor ieder punt p van de lichtbaan moet vergelijking (*) gelden, waarbij:
 
R = de kromtestraal van de lichtbaan in punt p
c = de lichtsnelheid
r = de afstand tussen punt p en het centrum van het zware lichaam O
G = de gravitatieconstante
M = de massa van het zware lichaam O
Φ = de in onderstaande tekening aangegeven hoek voor de lichtbaan in punt p
 
 

tekening 2242 keer bekeken

[HansH]

Maar hoe lossen we die vergelijking op? En heeft die wel een analytische oplossing?

maar stel dat je de vergelijking op kunt lossen evt numeriek, dan moet daar toch de afbuiging van de lichtstraal uitkomen? maar ik zie niet hoe je de formule daarop hebt voorbereid, bv theta is niet de hoek waar je naar op zoek bent. 

[Professor Puntje]

De vergelijking (*) maakt het mogelijk in stapjes de lichtbaan te benaderen door steeds een klein stukje van de plaatselijke kromtecirkel te volgen.

[HansH]

maar daarvoor heb je een formule nodig die aangeeft welke delta in afbuighoek optreedt bij een delta in een ingangsvariabele, bv de x coordinaat van het foton of de hoek die het foton maakt met de zware massa.

[Professor Puntje]

Hier een wat uitgebreider tekening van de situatie:
 

tekening2 2241 keer bekeken

 
Voor het gemak nemen we aan dat een foton zich op tijdstip t=0 in het perihelium (0,y₀) bevindt en dat het foton zich van daar af met snelheid c naar rechts over de lichtbaan beweegt. Op tijdstip t (voor t>0) heeft het foton dan de boog b doorlopen, en op dat moment beweegt het foton onder een hoek β schuin naar beneden.
 
Men kan het zich bij benadering zo voorstellen dat het foton in opeenvolgende kleine tijdjes Δt over de kromtecirkel met de ter plaatse gelden de kromtestraal R beweegt. De omtreksnelheid van het foton is daarbij ω.R waarbij ω de ter plaatse geldende hoeksnelheid voor beweging over de kromtecirkel is. Tezelfdertijd weten we dat het foton steeds met de snelheid c beweegt. Dus hebben we:
 

\( \omega \cdot R = \mbox{c} \)

 

\( \omega = \frac{\mbox{c}}{R} \)

 
Uit de tekening zien we verder dat voor de toename Δβ in tijdje Δt bij benadering geldt:
 

\( \Delta \beta = \omega \cdot \Delta t \)

 
Tijdens het numeriek oplossen kan je dus desgewenst tegelijkertijd bijhouden hoe de hoek β aangroeit.
 

 

[HansH]

Het foton zal volgens mij niet de kromtecirkel van R volgen, immers dat zou betekenen dat het foton een cirkelbaan om de massa zou maken. De kromtestraal moet dus vele malen groter zijn en wordt bepaald door het verschil in golflengte tov de breedte van de lichtstraal. dat levert een hoek toename op waarbij delta Labda/ ds gelijk is aan de tangens van die hoektoename. dat lijkt dus iets anders dan wat jij doet als ik het goed begrijp.