tijdverloop nav kracht als functie van plaats

[Jan Swiebinck]

Beste lezers, ik zit al een aantal dagen vast met de vraag hoe ik uit de functie F=kx^-3 N een formule kan maken waarmee ik de tijdsduur kan berekenen; met als doel het bepalen hoe lang een voorwerp er over doet, vanuit stilstand, een zekere afstand af te leggen.
Dus op de een of andere manier moet er overgestapt worden van een krachtfunctie naar een tijdfunctie. Heeft iemand een idee hoe je dit moet aanpakken? Vast dank! 
NB: Ik ben bekend met differentieren/integreren, echt op VWO-niveau...

[CoenCo]

We hebben in ieder geval nog de massa van het voorwerp nodig.

Kan je eens een schets maken van de situatie?

[Jan Swiebinck]

Dag Coen,

De constante k bevatte inderdaad niet de massa!

Een blokje met onveranderlijke massa en zonder wrijving wordt aangetrokken door een kracht, deze kracht wordt sterker naar mate het blokje dichterbij de krachtbron komt. De kracht is dus een functie van de afstand x tot de krachtbron.

De kracht op het blokje wordt gegeven door k * x^-3 . De x met exponent staat dus eigenlijk in de noemer. Dat gaat negatieve factoren leveren bij het integreren....

Het blokje staat in het begin op x=0, en beweegt dan naar links totdat x=-d. Er wordt dus een afstand d afgelegd.

Deze variabele kracht veroorzaakt dus de versnelling. Klopt het dan dat ik dus de versnelling mag schrijven als a=(k/m)*x^-3 ? Lijk mij wel omdat dit gewoon een instant iets is, op elk moment t op afstand x heb je dus een zekere unieke a die je gewoon mag uitrekenen. Nog geen probleem dus.

Nu wordt het moeilijker: mag ik zomaar integreren om uit deze functie een v_t te verkrijgen? Ik voel mij hier niet zeker over en zou erg graag een bevestiging of ontkenning en een hint hoe het dan wel moet krijgen! De bedoeling is te kunnen uitrekenen wat de uiteindelijke snelheid is, hoe lang het blokje er over deed (en van daaruit impuls, arbeid, etc.).

Met v_t = a*t:

v_t = ∫ a dt  = ∫ (k/m) x^-3 dt = k/m ∫ x^-3 dt = k/m  [(1/-2) * x^-2] over d en 0 en levert zo de waarde voor de grootheid  v_t  dus de uiteindelijke snelheid.

Kan ik nu gewoon d invullen voor x, en dan, om de tijd te berekenen:

gebruiken we:

v_t=a*t en s_t=(1/2)*a*t²,   we weten s en vullen in de 2e formule a=v_t/t in (kan dat?), en daaruit volgt dan:

s_t = (1/2) * (v_t/t) * t²     dus:

t = (2 * s_t) / v_t

Ik ben erg benieuwd om te horen of dit klopt!! Vast hartelijk dank!

 

[Jan Swiebinck]

NB We vullen geen nul in bij de uitwerking van de integraal, maar een stuk of 50 atoomradii van Si.

[CoenCo]

Nogmaals: Kan je een schets/tekening van de situatie maken?

[mathfreak]

Je kunt de formules v_t=a·t en s_t=(1/2)·a·t² hier niet toepassen omdat a van de weg afhangt en dus niet constant is. Je hebt hier te maken met een differentiaalvergelijking van de gedaante x" = f(x), waarbij x weer van de tijd t afhangt. Omdat x" = a weet je in ieder geval dat

\(f(x)=\frac{k}{m}x^{-3}\)

Voor de tijd t geldt dan dat

\(t=\pm\int{\frac{dx}{\sqrt{2\int f(x)dx+C_1}}+C_2\)

Hieruit blijkt wel dat de situatie wiskundig gezien gecompliceerder is dan jij dacht.

[Michel Markengraaf]

Dit is het beste wat ik kan tekenen.

[Jan Swiebinck]

NB: de afstand d is dus al bekend; het is de baan waarover het blokje kan bewegen.

[Professor Puntje]

Omdat je de kracht als functie van de plaats weet kun je door integreren berekenen hoeveel energie er door verplaatsing van het blokje vrij komt, en die vrij gekomen energie gaat als kinetische energie in het blokje zitten. Zo vind je de snelheid als functie van de plaats.