projectiel

[ukster]

Een granaat wordt op tijdstip t=0 afgeschoten met een aanvangssnelheid v₀=750m/s om een inkomend doel op een horizontale afstand van 1000m te treffen. g=9,81m/s²
Er is verder geen wrijving. Doelhoogtevergelijking h(t)=450.e^-(t/4)  [m]
Voor welke elevatiehoek α, op welke hoogte h en op welk tijdstip treft het projectiel het doel.
Mijn probleem is het berekenen van een oplossing voor de gegeven vergelijking.
Alleen een numerieke oplossingsmethode (Maple) zal soelaas bieden verwacht ik!
 
 
 

[dannypje]

Hoi Ukster,
 
dergelijke problemen interesseren mij ook wel. Niet dat ik er zo goed in ben Ik deed een gooi naar de formule, en kwam op :
 
-1/cos a = ln[100 tg(a)/45 - 16g/3(cos(a))^2]
 
Mijn redenering: ontbind de snelheid in een verticale component en een horizontale. Gebruik de horizontale component om de tijd t voor te stellen hoe lang het duurt om 1000m af te leggen. Gebruik dan die voorstelling van t om met de verticale snelheid te bepalen wanneer de granaat op een hoogte is die gelijk is aan de hoogte van het doel, volgens de hoogtevergelijking.
 
Lijkt jou dit juist ? Indien zo, denk ik dat ik het eens met je moet zijn dat dit om een numerieke oplossing vraagt.
 
grtz
D

[Rik Speybrouck]

Ik  heb het probleem even bekeken Ik heb een oplossing gevonden indien je de lanceerhoek als een vaste waarde gaat beschouwen en dus de ideale afstand x gaat berekenen volgens de gewest y hoogte. Misschien dat er iemand een oplossing weet om mijn formule uit te werken naar de ideale lanceerhoek toe maar volgens mij is een numerieke oplossing aangewezen. De ideale lanceerhoek berekenen in functie van een bepaalde x afstand kan wel wanneer y gelijk is aan nul
 
lanceerhoek = arcsin((g*x)/v^2)*1/2

[dannypje]

Hoi Ukster,
 
dergelijke problemen interesseren mij ook wel. Niet dat ik er zo goed in ben Ik deed een gooi naar de formule, en kwam op :
 
-1/cos a = ln[100 tg(a)/45 - 16g/3(cos(a))^2]
 
Mijn redenering: ontbind de snelheid in een verticale component en een horizontale. Gebruik de horizontale component om de tijd t voor te stellen hoe lang het duurt om 1000m af te leggen. Gebruik dan die voorstelling van t om met de verticale snelheid te bepalen wanneer de granaat op een hoogte is die gelijk is aan de hoogte van het doel, volgens de hoogtevergelijking.
 
Lijkt jou dit juist ? Indien zo, denk ik dat ik het eens met je moet zijn dat dit om een numerieke oplossing vraagt.
 
grtz
D

 
Negeer mijn 'oplossing' maar Daar zit een denkfout in. Back to the drawingboard.

[ukster]

@dannypje  daar is niets mis aan. deze redenering doe ik ook gevolgd.

Projectiel 1366 keer bekeken

Dit vraagt om een numerieke oplossing met α ,t en h als uitkomst.
@Rik, Ik denk dat je niet kan uitgaan van een (vaste)aangenomen lanceerhoek(elevatiehoek) α omdat in dit vraagstuk 1)de horizontale afstand, 2)de aanvangssnelheid en 3) de hoogte van het trefpunt vast liggen.
 

[Rik Speybrouck]

@dannypje  daar is niets mis aan. deze redenering doe ik ook gevolgd.
Projectiel.jpg
Dit vraagt om een numerieke oplossing met α ,t en h als uitkomst.
@Rik, Ik denk dat je niet kan uitgaan van een (vaste)aangenomen lanceerhoek(elevatiehoek) α omdat in dit vraagstuk 1)de horizontale afstand, 2)de aanvangssnelheid en 3) de hoogte van het trefpunt vast liggen.
 

Ik had een vaste hoek genomen om aan te tonen dat het wel mogelijk is om voor x een waarde te berekenen  zonder numerieke benadering door uitwerking van een kwadratische functie. De 2° formule op mijn blad vraagt volgens mij om een numerieke oplossing om de gewenste hoogte te berekenen om jouw projectiel uit de lucht te schieten. Bovendien zal je ook een evaluatie moeten maken wanneer het projectiel uit het kanon moet vertrekken om op tijd te komen
wat wel degelijk mogelijk is

[Rik Speybrouck]

ik werk volgende week eens een numerieke benadering uit

[ukster]

Ja, ik vraag me af hoe een programma als MAPLE dat doet.
misschien wel met behulp van reeksontwikkeling.

[CoenCo]

Als het numeriek moet, dan kan je bijvoorbeeld met bisectie https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bisection_method

Of newton rapson https://nl.m.wikipedia.org/wiki/Methode_van_Newton-Raphsonwerken.

Handigste in dit geval lijkt me om eerst de grafieken te plotten. Voor elke starthoek alpha, het hoogteverschil tussen projectiel en doel op het moment dat ze elkaar passeren/raken.

[Rik Speybrouck]

@dannypje  daar is niets mis aan. deze redenering doe ik ook gevolgd.
Projectiel.jpg
Dit vraagt om een numerieke oplossing met α ,t en h als uitkomst.
@Rik, Ik denk dat je niet kan uitgaan van een (vaste)aangenomen lanceerhoek(elevatiehoek) α omdat in dit vraagstuk 1)de horizontale afstand, 2)de aanvangssnelheid en 3) de hoogte van het trefpunt vast liggen.
 

Zoals beloofd heb ik een numerieke benadering uitgevoerd voor dit probleem. Ik heb ge werkt met een tussensprong van 0.01 graad voor het berekenen van de hoek. Zie bijlage.

[ukster]

Grappig, zoals ik het nu zie zij er twee ideeën over 'numeriek oplossen' met allebei het juiste (benaderde) antwoord.

1. Veel input waarden nemen en daarmee doorrekenen (dat is wat jij gedaan hebt begrijp ik)
2. Een numeriek Algoritme(Software) waarmee de computer het probleem (numeriek) oplost.(zeg maar hoe 'Maple' het probleem oplost) waar CoenCo al eerder naar verwees.

Solve numeriek 1358 keer bekeken

Maple genereert 4 hoeken als mogelijke oplossing. De 3e hoekwaarde is de hoek α die jij ook vindt.
Heb je dat in excel gedaan? want je moet hierbij toch zijn uitgegaan van een bepaalde beginhoekwaarde en heel veel (dezelfde)berekeningen maken?

[CoenCo]

Grappig, zoals ik het nu zie zij er twee ideeën over 'numeriek oplossen' met allebei het juiste (benaderde) antwoord.

1. Veel input waarden nemen en daarmee doorrekenen (dat is wat jij gedaan hebt begrijp ik)
2. Een numeriek Algoritme(Software) waarmee de computer het probleem (numeriek) oplost.(zeg maar hoe 'Maple' het probleem oplost) waar CoenCo al eerder naar verwees.

Solve numeriek.jpg
Maple genereert 4 hoeken als mogelijke oplossing. De 3e hoekwaarde is de hoek α die jij ook vindt.
Heb je dat in excel gedaan? want je moet hierbij toch zijn uitgegaan van een bepaalde beginhoekwaarde en heel veel (dezelfde)berekeningen maken?

Beide methoden komen natuurlijk op hetzelfde neer: Het net zo lang proberen van waarden tot je een antwoord hebt dat aan de eisen voldoet.
 
Bij 1 is het algoritme: probeer in stappen van xxx elke waarde tussen A en B, en kies uiteindelijk de dichtsbijzinde
Bij Bisectie is het algoritme grof gezegd: Kies een interval. Zit er een oneven aantal oplossingen in dit interval, deel dan het interval op in tweeen en begin opnieuw.
Bij newton Rapson is het grof gezegd: Kies een beginpunt, bepaal de (lineaire) raaklijn, en schat daarmee het volgende punt.
 
De verschillen zitten in:
A: óf je de oplossing uberhaupt vind
B: Hoeveel stappen je nodig hebt voor een bepaalde nauwkeurigheid.

[Rik Speybrouck]

Beide methoden komen natuurlijk op hetzelfde neer: Het net zo lang proberen van waarden tot je een antwoord hebt dat aan de eisen voldoet.
 
Bij 1 is het algoritme: probeer in stappen van xxx elke waarde tussen A en B, en kies uiteindelijk de dichtsbijzinde
Bij Bisectie is het algoritme grof gezegd: Kies een interval. Zit er een oneven aantal oplossingen in dit interval, deel dan het interval op in tweeen en begin opnieuw.
Bij newton Rapson is het grof gezegd: Kies een beginpunt, bepaal de (lineaire) raaklijn, en schat daarmee het volgende punt.
 
De verschillen zitten in:
A: óf je de oplossing uberhaupt vind
B: Hoeveel stappen je nodig hebt voor een bepaalde nauwkeurigheid.

Ik heb via  excel de berekening gemaakt met een hoekinterval van 0.01 graad, en daarna de bekomen hoek even gecontroleerd met ander excel bestand dat ik heb heb samengesteld dat toelaat allerlei berekeningen uit te voeren met een dergelijk traject in vacuum.